小学数学-模型系列

数学金字塔模型公式

金字塔模型是一种常见的数学图形，它具有金字塔形状的特征。在数学中，我们可以使用公式来计算金字塔的各种属性。

首先，让我们来看一下金字塔的基本构成。金字塔由一系列的水平层级组成，每一层都比上一层多一个单位的方块。例如，第一层只有一个方块，第二层有四个方块，第三层有九个方块，以此类推。这种构成方式形成了一个等差数列。

根据金字塔的结构，我们可以推导出两个关键的数学公式。第一个公式用于计算金字塔的总方块数量，称为总数公式。第二个公式用于计算金字塔的层数，称为层数公式。

总数公式可以表达为：总数 = (层数 * (层数 + 1) * (2 * 层数 + 1)) / 6。这个公式基于等差数列的求和公式，将每一层的方块数量相加得出总数。

层数公式可以表达为：层数 = （sqrt(8 * 总数 + 1) - 1）/ 2。这个公式基于总数公式的逆推，通过解一元二次方程可以得出层数。

举个例子来说明这两个公式的使用。假设我们要计算一个金字塔的总数和层数，已知总数为36。首先，我们可以使用层数公式计算出金字塔的层数：层数 =

（sqrt(8 * 36 + 1) - 1）/ 2 = （sqrt(289) - 1）/ 2 = (17 - 1) / 2 = 8。接下来，我们可以使用总数公式计算金字塔的总方块数量：总数 = (层数 * (层数 + 1) * (2 * 层数 + 1))

/ 6 = (8 * (8 + 1) * (2 * 8 + 1)) / 6 = 36。

通过这两个公式，我们可以方便地计算金字塔的总数和层数，从而更好地理解和掌握金字塔模型在数学中的应用。数学公式的运用使得我们能够更高效地解决问题，并且扩展了我们对数学概念的理解。

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图12::SSab

s2s1baDCBA ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

板块二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则:():()ABCADESSABACADAE△△

EDCBADECBA 图⑴ 图⑵

【例 1】 如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，16ADES△平例题精讲

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．

如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图12::SSab

s2s1baDCBA ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCDSS△△；

反之，如果ACDBCDSS△△，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

板块二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则:():()ABCADESSABACADAE△△

EDCBADECBA 图⑴ 图⑵

【例 1】 如图在ABC△中，,DE分别是,ABAC上的点，且:2:5ADAB，:4:7AEAC，16ADES△平例题精讲

第二讲 几何之五大模型及其应用

1． 回顾几何图形中的倍比关系；

2． 精讲五大模型及其应用。

【例1】 ★★★（思维训练导引）

如图，平行四边形ABCD周长为75厘米，以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。

解：BC×14=CD×16，BC：CD=16：14，

BC+CD=752，BC=752×161614=20

ABCD面积=14×20=280（平方厘米）

【例2】 ★★★（小学数学奥林匹克）

如图，一个长方形被切成8块，其中三块的面积分别为12，23，32，则图中阴影部分的面积为（ ） ABCDEF平面几何也是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现（分值一般在10分～16分），名牌中学的选拔考试面积题目，有逐步增加难度的趋势，这一部分的分值又较高，希望同学们重视并好好总结归纳，本讲重点研讨几何问题中直线型面积问题，尤其强调奥数几何题中的五大模型及应用。

教学目标

专题回顾

【解】如右图，已知a+b+x=23+a+32+12+b

所以 x=23+32+12

x=67.

【点评】本题渗透等量代换思想，方程中有相抵成份，不必害怕未知数太多。

【例3】 三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。求图中阴影部分的面积。

【解】如图，连接KF，EG，BD。设KG，EF相交于O，DE，BG相交于V，

由KF∥EG∥BD，

S△KEG=S△FGE，S△DEG=S△BGE。 233212123223dcbaxHKPGFEDCBAHKPGFEDCBA设阴影阴影的面积为S,

则S= S△KGE+ S△DEG= S△FGE+ S△BGE= SBEFG

正方形BEFG的周长为14厘米，边长为3.5厘米。

所以SBEFG=3.52=12.25(平方厘米)

【点评】等积变形方法的最常见形式是在一组平行线内，两个三角形同底等高的情况。