2018-2019学年北京四中九年级(上)期中数学试卷

2018-2019学年北京四中九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每小题2分，共16分）

1．（2分）抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的顶点坐标（）

A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，﹣4）D．（3，4）2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（）

A．B．C．D．

3．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）

A．B．C．D．

4．（2分）若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y=﹣（x+2）2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3小关系是（）

A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 5．（2分）如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（）

A．y=B．y=﹣C．y=﹣D．y=

6．（2分）如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE∽△ABC 成立，则这个条件是（）

A．∠D=∠B B．C．D．∠AED=∠C 7．（2分）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列4个结论：①abc ＞0；②b2＞4ac；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0．其中正确的有（）个．

A．1B．2C．3D．4

8．（2分）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）

A．0B．﹣1C．1D．2

二、填空题（每小题2分，共16分）

9．（2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，tanA=，则AC=．10．（2分）若，则=．

11．（2分）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P

处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．

12．（2分）抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式是．

13．（2分）已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是．

14．（2分）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣2，4），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c=0的解为．

15．（2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中自变量x 与函数值y之间满足下面的对应关系：

x…357…

y… 2.5 2.5﹣1.5…

则a+b+c=．

16．（2分）如图，在△ABC中，AM：MD=4，BD：DC=2：3，则AE：EC=．

三、解答题

17．（6分）求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°．

18．（6分）若二次函数y=ax2+bx+3的图象经过A（1，0）、B（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．

19．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高．（1）求证：△ABC∽△CBD；

（2）如果AC=4，BC=3，求BD的长．

20．（6分）某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式是y=﹣10x+700．当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？并求出利润的最大值．

21．（6分）已知抛物线y1=x2+2（m+2）x+m﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），对称轴为直线x=﹣1．

（1）m的值为；在坐标系中利用描点法画出此抛物线；

x……

y……

（2）若直线y2=kx+b过点B且与抛物线交于点P（﹣2，﹣3），根据图象直接写出当x取什么值时，y2≤y1．

22．（6分）已知：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A（A为楼底）、D、E，她在D处测

得广告牌顶端C的仰角为60°，在E两处测得商场大楼楼顶B 的仰角为45°，DE=5米．已知，广告牌的高度BC=2.35米，求这座商场大楼的高度AB（取

1.73，取1.41，小红的身高不计，结果保留整数）．

23．（7分）在正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．

（1）求PD的长；

（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，求CE的长．

24．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3=0．

（1）求证：该方程有两个实数根；

（2）如果抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m为正整数，求此抛物线的表达式；

（3）在（2）的条件下，抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G向右平移n（n＞0）个单位长度后与直线CD有公共点，求n的取值范围．

25．（9分）如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．

（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE 与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．

26．（8分）阅读下列材料：

某同学遇到这样一个问题：在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x，点A （1，t）在抛物线y=x2﹣4x+5上，求点A到直线l的距离d．

如图1，他过点A作AB⊥l于点B，AD∥y轴分别交x轴于点C，交直线l于点D．他发现OC=CD，∠ADB=45°，可求出AD的长，再利用Rt△ABD求出AB的长，即为点A到直线l的距离d．

请回答：