3.中考数学专训弧长与扇形面积计算 解析版

考点二十七：弧长及扇形的面积聚焦考点☆温习理解 1．弧长及扇形的面积(1)半径为r ，n °的圆心角所对的弧长公式：l ＝n πr180； (2)半径为r ，n °的圆心角所对的扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝12lr ．2．圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr .(1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl ； (2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝πrl ＋πr 2． 3．求阴影部分面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法； (3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法； (5)去重法． 名师点睛☆典例分类考点典例一、弧长公式的应用【例1】如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ） A ．32πcm B ．（2+23π）cm C ．43πcm D ．3cm【答案】C考点：弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，从开始到结束经过两次翻动，求出点B 两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．注意熟练掌握弧长的计算公式．【举一反三】1．(2015.安徽省，第12题，5分)如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，AB⌒的长为π2，则∠ACB 的大小是．【答案】20°.【解析】试题分析：连接OA、OB，由弧长公式的92180nππ⨯⨯=可求得∠AOB=40°,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠ACB=20°.考点：弧长公式；圆周角定理.2.（2015成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ）A ．2，3πB ．πC 23πD ．43π【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算． 考点典例二、扇形面积的计算【例2】（2015自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．3π D ．32π【答案】D ． 【解析】试题分析：连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴CE =DE =12CD ，故S △OCE =S △OD E ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵∠CDB =30°，∴∠COB =60°（圆周角定理），∴OC =2，故S 扇形OBD =2602360π⨯=32π，即阴影部分的面积为32π．故选D ．考点：1．扇形面积的计算；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形；5．数形结合． 【举一反三】（2015攀枝花）如图，已知⊙O 的一条直径AB 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE CE =1，则图中阴影部分的面积为（ ）A C ．29π D ．49π【答案】D ． 【解析】考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．考点典例三、扇形面积公式的运用【例3】（2015达州）如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．12π B．24π C．6π D．36π【答案】B．【解析】试题分析：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°，∴图中阴影部分的面积是：S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O=2226012116636022πππ⨯+⨯-⨯=24π．故选B．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.【举一反三】（2015.河南省，第14题，3分）如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径作CD 交OB 于点D ，若OA=2，则阴影部分的面积为 .12p .考点：利用扇形面积及直角三角形知识求阴影图形面积. 考点典例四、圆锥的侧面展开图【例4】（2015.山东莱芜第8题，3分）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A ．2.5B ．5C ．10D ．15【答案】C 【解析】试题分析：根据侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，因此可设母线长为x ，根据题意得：2πx ÷2=2π×5，解得x=10． 故选C考点：圆锥的侧面展开图【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形． 【举一反三】1.（2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【答案】A ． 【解析】试题分析：设扇形的半径为R ，根据题意得2904360r ππ=，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为r ，则12•2π•r•4=4π，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm ．故选A ． 考点：圆锥的计算．2.（2015·黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）底面周长为10πcm ，高为12cm 的圆锥的侧面积为． 【答案】65πcm 2． 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，母线为l ，∴r =102ππ=5，∴a =13，∴圆锥的侧面积=12×10π×13=65π，故答案为：65πcm 2． 考点：圆锥的计算．考点典例五、求阴影部分的面积【例5】（2015·辽宁营口）如图，点P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D ． (1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)若PD=316cm ，AC=8cm ，求图中阴影部分的面积； (3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．【答案】（1）参见解析；（2）22548cm 2π-；（3）试题解析：（1）如图，连接OC ，∵PA 切⊙O 于A ，∴∠PAO=90º．∵OP ∥BC ，∴∠AOP=∠OBC ，∠COP=∠OCB ．∵OC=OB ，∴∠OBC=∠OCB ，∴∠AOP=∠COP ．又∵OA=OC ，OP=OP ，∴△PAO ≌△PCO (SAS)，∴∠PAO=∠PCO=90 º，又∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；（2）由（1）得PA ，PC 都为圆的切线，∴PA=PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO=∠PAO=90º，∴∠PAD+∠DAO=∠DAO+∠AOD ，∴∠PAD =∠AOD ，∴△ADO ∽△PDA ．∴AD DOPD AD=，∴2AD PD DO =⋅，∵AC=8， PD=163，∴AD=12AC=4，OD=3，AO=5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC=2OD=6，AB=10．∴S 阴=S 半⊙O －S △ACB =()221101254868=cm 2222ππ-⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭．∴阴影部分的面积为22548cm 2π-；（3）如图，连接AE ，BE ，∵点E 是AB ︵的中点,AB 是直径，则△AEB 是等腰直角三角形，过点B 作BM ⊥CE 于点M ．∴∠CMB=∠EMB=∠AEB=90º，由同弧所对的圆周角相等，∴∠ECB=∠EAB=45º，∴∠CBM=45º，∵BC=6，∴CM=MB==，BE=ABcos45º=10×=，∴在Rt △EBM 中， EM=，∴CE=CM+EM=()cm ,∴CE 的长为．考点：1.圆的有关性质；2.三角形全等与相似的判定；3.解直角三角形.【点睛】本题考查了圆的有关性质、三角形全等与相似的判定、解直角三角形等知识点的综合运用． 【举一反三】（2015•聊城，第12题）如图，点O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O ，则阴影部分的面积是⊙O 面积的（ ）A.12 B.13 C.23 D.35【答案】B 【解析】试题分析：作OD⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ，CO ，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=AOC S 扇形得出阴影部分的面积是⊙O 面积的13. 故选B考点：翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算 课时作业☆能力提升 一、选择题1. (2015·湖北衡阳，17题，3分)圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）． 【答案】3π 【解析】试题分析： 此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式2360n πr S =，即可求解.根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为212033360πS π==. 考点： 扇形面积的计算2. （2015·湖北鄂州，14题，3分）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为 ．考点：圆锥的计算．3. （2015·山东潍坊，第10题，3分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水部分的面积是（ ）A. （163π-2cm B. （163π-2cm C. （83π-）2cm D. （43π-2cm【答案】A 【解析】试题分析：如图：过点O 作OD ⊥AB,垂足为C ，连结OA,OB,则AC=BC=12AB,OA=OB=OD=4，CD=2，所以在Rt△OAC 中，OC=2，AC=∠AOC=60°,所以AB=∠AOB=120°,所以阴影部分的面积=扇形AOB 的面积-△OAB 的面积=21204116236023ππ⨯-⨯=-，故选：A.考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.扇形的面积.4.（2014·宿迁）若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）A. 15πB. 20πC.24πD. 30π 【答案】A ．考点：1.简单几何体的三视图；2. 圆锥的计算．5. （2015凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm 【答案】A ． 【解析】试题分析：设扇形的半径为R，根据题意得2904360rππ=，解得R=4，设圆锥的底面圆的半径为r，则12•2π•r•4=4π，解得r=1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm．故选A．考点：圆锥的计算．6. （2015.山东德州第9题，3分）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288° B．144° C．216° D．120°【答案】A．【解析】试题分析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则524180n xxππ⨯⨯=，解得：n=288，故选A．考点：圆锥的计算．7．（2015甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4【答案】A．【解析】试题分析：S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB=29021223602π⨯-⨯⨯=π﹣2．故选A．考点：扇形面积的计算．二、填空题8(2015.宁夏，第12题，3分)已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π，则此扇形的面积是．【答案】163π. 【解析】试题分析：设扇形的半径为r ，根据弧长公式38180120ππ=r 可求得r=4，根据扇形的面积公式可得3164382121ππ=⨯⨯==lr S 扇形. 考点：弧长公式；扇形的面积公式.9．（2015·湖南常德）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是 2厘米（结果保留π）。

弧长计算公式：弧 长 = 圆心角 / 360° × 圆的周长
圆心角单位：弧长 计算中的圆心角单 位必须是弧度制， 而不是度数
圆周率取值：弧长 计算中一般采用圆 周率π的近似值， 如3.14或3.14159
弧长与半径关系： 弧长随着圆心角和 半径的增大而增大 ，与半径成正比关 系
扇形是圆的一部分，由两条半径和一条弧围成 扇形面积的计算公式为：S = (θ/360) × π × r^2，其中θ为扇形的圆心角，r为半径 当θ=90°时，扇形面积=1/4×π×r^2 扇形面积也可以通过底边长度和高的关系计算得出
弧长和扇形面积在几何图形中的应用：通过具体实例说明弧长和扇形面积在几何 图形中的重要性和应用价值
弧长和扇形面积在解决实际问题中的应用：通过具体案例说明弧长和扇形面积在 实际问题中的应用方法和技巧
弧长和扇形面积与其他几何量的关系：说明弧长和扇形面积与其他几何量之间的 联系和相互影响
弧长和扇形面积在几 何学中有着密切的联 系，它们是描述二维 图形的重要参数。
题目：一个扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形的半径为 _______． 题目：已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形的面积是 _______． 题目：已知扇形的圆心角为150°，半径为3，则扇形的弧长为 _______． 题目：已知扇形的圆心角为135°，弧长为3，则扇形的面积是 _______．
考虑扇形所在的圆的整体：在计算扇形面积时，需要考虑扇形所在的整个圆的情况， 以确保计算结果的准确性。
弧长和扇形面积的计算公式 弧长和扇形面积的关系：弧长越大，扇形面积越大 弧长和扇形面积的几何意义 弧长和扇形面积在几何图形中的应用
弧长和扇形面积的关系：弧长和扇形面积的计算公式及其推导过程

弧长与扇形面积一.选择题1. (2019，山西，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =32，BC =2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）A.2435π- B.2435π+ C.π-32 D.234π-【解析】作DE ⊥AB 于点E ，连接OD ，在Rt △ABC 中：tan ∠CAB =33322==AB BC ，∴∠CAB =30°，∠BOD =2∠CAB =60°. 在Rt △ODE 中：OE =21OD =23，DE =3OE =23.S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD =2360602121OB DE OD BC AB ⋅⋅︒︒-⋅⋅-⋅⋅π =2435)3(3606023321232212ππ-=⨯⨯︒︒-⨯⨯-⨯⨯，故选A2．（2019•浙江绍兴•4分）如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°．若BC ＝2，则的长为（ ）A．πB．πC．2πD．2π【分析】连接OB，O C．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．【解答】解：连接OB，O C．∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝2，∴OB＝OC＝2，∴的长为＝π，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2019•浙江宁波•4分）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据题意，得＝π（6﹣x），解得x＝4．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4.（2019，山东枣庄，3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可．【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．5.（2019，四川巴中，4分）如图，圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则圆锥的侧面积是（）A．15πB．30πC．45πD．60π【分析】圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl，求出圆锥的母线l即可解决问题．【解答】解：圆锥的母线l＝＝＝10，∴圆锥的侧面积＝π•10•6＝60π，故选：D．【点评】本题考查圆锥的侧面积，勾股定理等知识，解题的关键是记住圆锥的圆锥的侧面积公式．6. （2019•湖南长沙•3分）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是（）A．2πB．4πC．12πD．24π【分析】根据扇形的面积公式S＝计算即可．【解答】解：S＝＝12π，故选：C．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．7. （2019•湖北武汉•3分）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A.B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C.E两点的运动路径长的比是（）A．B．C．D．【分析】如图，连接E B．设OA＝r．易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C 的运动轨迹是，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．【解答】解：如图，连接E B．设OA＝r．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵E是△ACB的内心，∴∠AEB＝135°，∵∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝DB＝r，∴∠ADB＝90°，易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上，运动轨迹是，点C的运动轨迹是，∵∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α∴＝＝．故选：A．【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. （2019•湖北十堰•3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为6π．【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：＝6π，故答案为：6π．【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2. （2019•湖北天门•3分）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是 6 cm．【分析】由弧长公式：l＝计算．【解答】解：由题意得：圆的半径R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm．故本题答案为：6．【点评】本题考查了弧长公式．3. （2019•甘肃武威•4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π．【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积．4. （2019•甘肃•3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A.B为圆心，A D.BD长为半径画弧，分别交A C.BC于点E.F，则图中阴影部分的面积为2﹣．【分析】根据S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE，计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝，∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣，故答案为：2﹣【点评】本题考查扇形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．5. (2019甘肃省天水市)（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A.B两点，点B坐标为（0，2），OC与⊙D交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为______．【答案】2π-2【解析】解：连接AB，∵∠AOB=90°，∴AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，∵OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2×=2，AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，∴S阴影=S半圆-S△ABO=-×2×2=2π-2．故答案为：2π-2．连接AB，根据∠AOB=90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C=30°，由锐角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S阴影=S半圆-S△ABO即可得出结论．本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6. (2019甘肃省陇南市)（4分）把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于4﹣π．【分析】恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积，依此列式计算即可．【解答】解：如图：新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π＝4﹣π．故答案为4﹣π．【点评】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积＝边长为2的正方形面积﹣半径为1的圆的面积．7. （2019•湖南岳阳•4分）如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A.B两点分别作PE的垂线A C.BD，垂足分别为C.D，连接AM，则下列结论正确的是①②④．（写出所有正确结论的序号）①AM平分∠CAB；②AM2＝AC•AB；③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；④若AC＝3，BD＝1，则有CM＝DM＝．【分析】连接OM，可证OM∥AC，得出∠CAM＝∠AMO，由OA＝OM可得∠OAM＝∠AMO，故①正确；证明△ACM∽△AMB，则可得出②正确；求出∠MOP＝60°，OB＝2，则用弧长公式可求出的长为，故③错误；由BD∥AC可得PB＝，则PB＝OB＝OA，得出∠OPM＝30°，则PM＝2，可得出CM＝DM＝DP＝，故④正确．【解答】解：连接OM，∵PE为⊙O的切线，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴，∴AM2＝AC•AB，故②正确；∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴的长为，故③错误；∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴，∴PB＝，∴，BD＝，∴PB＝OB＝OA，∴在Rt△OMP中，OM＝＝2，∴∠OPM＝30°，∴PM＝2，∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查圆知识的综合应用，涉及切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质、弧长公式、含30度直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题．8. （2019•江苏苏州•3分）如图，扇形OAB 中，90AOB ∠=︒。

专题38 弧长及扇形的面积 聚焦考点☆温习理解1．弧长及扇形的面积(1)半径为r ，n °的圆心角所对的弧长公式：l ＝n πr 180； (2)半径为r ，n °的圆心角所对的扇形面积公式：S ＝n πr 2360＝12lr ． 2．圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，那么这个扇形的半径为l ，扇形的弧长为2πr .(1)圆锥侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl ；(2)圆锥全面积公式：S 圆锥全＝πrl ＋πr 2．3．求阴影部分面积的几种常见方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法． 名师点睛☆典例分类考点典例一、弧长公式的应用【例1】（2016湖南长沙第15题）如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留π）【答案】2π．【解析】试题分析：已知扇形OAB 的圆心角为120°，半径为3，根据弧长公式可得扇形的弧长为1203180π⨯=2π． 考点：弧长公式.【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练掌握弧长的计算公式．【举一反三】（2016湖南岳阳第11题）在半径为6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 cm ．【答案】4π．【解析】试题分析：根据弧长公式可得半径为6cm 的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：1806120⨯π=4πcm ． 考点：弧长的计算．考点典例二、扇形面积的计算【例2】（2016山东东营第17题）如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD 的面积为______________.【答案】25.考点：扇形的计算.【举一反三】（2016辽宁营口第12题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 垂直平分OB ，垂足为点E ，连接OD 、BC ，若BC =1，则扇形OBD 的面积为 ．【答案】6π．考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．考点典例三、扇形面积公式的运用【例3】（莱芜）如图，AB 为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B 顺时针旋转45°，点A 旋转到A ′的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．πB ．2πC ．2π D ．4π【答案】B.【解析】试题分析：根据题意可得出阴影部分的面积等于扇形ABA ′的面积加上半圆面积再减去半圆面积，即为扇形面积即可．试题解析：∵S 阴影=S 扇形ABA ′+S 半圆-S 半圆=S 扇形ABA ′ =2454360π⨯⨯=2π， 故选：B ．考点：扇形面积的计算；旋转的性质．【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.【举一反三】(2016山东枣庄第11题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝32，则阴影部分的面积为A．2π B．Π C. π3D.2π3【答案】D.考点：垂径定理；圆周角定理；扇形面积公式.考点典例四、圆锥的侧面展开图【例4】（2016湖北十堰第9题）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．103cm D．202cm【答案】D.第11题图考点：圆锥的计算．【点睛】就圆锥而言，“底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形．【举一反三】（2016湖南衡阳第17题）若圆锥底面圆的周长为8π，侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的母线长为 ．【答案】16．【解析】试题分析：设该圆锥的母线长为l ，圆锥的侧面展开图为一扇形，根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长可得8π=18090l π，解得l=16，即该圆锥的母线长为16．考点：圆锥的计算.考点典例五、求阴影部分的面积【例5】(2016湖北襄阳第15题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 、D 是半圆O 的三等分点，若弦CD =2，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】23π.考点：扇形的面积计算.【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.【举一反三】（2016山东威海第22题）如图，在△BCE 中，点A 时边BE 上一点，以AB 为直径的⊙O 与CE 相切于点D ，AD ∥OC ，点F 为OC 与⊙O 的交点，连接AF ．（1）求证：CB 是⊙O 的切线；（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）23. 【解析】（2）由（1）可知∠3=∠BCO ，∠1=∠2，∵∠ECB=60°，∴∠3=21∠ECB=30°， ∴∠1=∠2=60°，∴∠4=60°，∵OA=OD ，∴△OAD 是等边三角形，∴AD=OD=OF ，∵∠1=∠ADO ，在△ADG 和△FOG 中，，∴△ADG ≌△FOG ，∴S △ADG =S △FOG ，∵AB=6，∴⊙O 的半径r=3，∴S 阴=S 扇形ODF == 23． 考点：切线的性质和判定；扇形的面积公式；全等三角形的判定及性质. 课时作业☆能力提升1. （2016贵州遵义第10题）如图，半圆的圆心为O ，直径AB 的长为12，C 为半圆上一点，∠CAB =30°，AC 的长是（ ）A ．12πB ．6πC ．5πD ．4π【答案】D ．考点：弧长的计算．2. （2016四川甘孜州第10题）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到△A ′OB ′，则A 点运动的路径'AA 的长为（ ）A．πB．2πC．4πD．8π【答案】B．考点：弧长的计算；旋转的性质．3.（2016福建泉州第6题）如图，圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为（）A．3 B．6 C．3πD．6π【答案】B．【解析】试题分析：已知圆锥底面半径为rcm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，所以2πr=216 360×2π×10，解得r=6．故选B．考点：圆锥的计算．4.（2016内蒙古通辽第8题）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=积为（）A ．23π B ．π C ．2π D ．4π 【答案】A ．考点：扇形面积的计算．5. （2016重庆A 卷第9题）如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC =BC 影部分的面积是（ ）A ．4πB ．124π+C ．2π D ．122π+ 【答案】A ．【解析】试题分析：∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∵AC =BC ACB 为等腰直角三角形，∴OC ⊥AB ，∴△AOC和△BOC 都是等腰直角三角形，∴S △AOC =S △BOC ，OA =1，∴S 阴影部分=S 扇形AOC =2901360π⨯=4π．故选A ． 考点：扇形面积的计算．6. （2016浙江台州第13题）如图，△ABC 的外接圆O 的半径为2，∠C =40°，则AB 的长是 ．【答案】89π．【解析】试题分析：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°，∴AB的长是802180π⨯⨯=89π．故答案为：89π．考点：三角形的外接圆与外心；弧长的计算．7.（2016湖南株洲第14题）如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为．【答案】π．考点：正多边形和圆；弧长的计算．8.（2016青海第8题）如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，CO=5cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的面积为cm2（结果保留π）．【答案】500π．考点：扇形面积的计算；旋转的性质．9.（2014·南京） 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm ，扇形圆心角120θ=︒，则该圆锥母线长l 为 ▲ cm.【答案】6.【解析】试题分析：∵圆锥底面圆半径r=2cm ， ∴根据圆的周长公式，得圆的周长为2r 4ππ=∵侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，∴扇形弧长4π=.又∵侧面展开后所得扇形的圆心角为120°， ∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为()120l 4l 6180cm ππ⋅⋅=⇒=. 考点：圆锥和扇形的计算．10. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第16题）小杨用一个半径为36cm 、面积为324πcm 2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为 cm ．【答案】9.【解析】试题分析：已知扇形的半径为36cm ，面积为324πcm 2，所以扇形的弧长L=2232436S R π⨯==18π，即可得帽子的底面半径12L R π==9cm ． 考点：圆锥的计算．11.（2016江苏盐城第14题）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 ．【答案】8π．【解析】试题分析：底面半径是2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=12×4π×4=8π．故答案为：8π． 考点：圆锥的计算．12.（2016贵州铜仁第24题）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 为圆上一点，点C 为AB 延长线上一点，PA =PC ，∠C =30°．（1）求证：C P 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的直径为8，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）83π-考点：切线的判定；扇形面积的计算．13.（2016辽宁葫芦岛第23题）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交线段BC ，AC 于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ，线段FD ，AB 的延长线相交于点G ．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若CF=1，【答案】（1）详见解析；（2）考点：切线的判定；等腰三角形的性质；扇形面积的计算．14.（2016辽宁沈阳第21题）（2016•沈阳）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．【答案】（1）详见解析；（2） 35．考点：切线的性质；弧长的计算．。