2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1

§3.1导数的概念及运算1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率

Δy Δx＝f(x1)－f(x0)

x1－x0

＝

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，

通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim

x1→x0f(x1)－f(x0)

x1－x0

＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3．函数f(x)的导函数

如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim

Δx→0 f(x＋Δx)－f(x)

Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式

函数导函数

f(x)＝c (c为常数)f′(x)＝__0__

f(x)＝xα (α为实数)f′(x)＝αxα－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝tan x f ′(x )＝1

cos 2x

f (x )＝cot x f ′(x )＝－1

sin 2x

f (x )＝a x (a >0) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x

f ′(x )＝e x f (x )＝lo

g a x (a >0，且a ≠1)

f ′(x )＝1

x ln a

f (x )＝ln x

f ′(x )＝ 1

x

5． 导数的运算法则

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡

⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )

[g (x )]2

(g (x )≠0)．

1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．

( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．

( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．

( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1

x

＝2.

( × )

2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.

答案 2

解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1

t

＋1，∴f ′(1)＝2.

3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是

( )

A ．－1

B ．±1

C ．1

D ．±3

答案 B

解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.

又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直， ∴3a 2·(－1

3)＝－1，

∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.

4． 如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )

答案 D

解析 由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，

说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C. 又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，

说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．已知点P 在曲线y ＝

4

e x ＋1

上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________． 答案 [3

4π，π)

解析 ∵y ＝4

e x ＋1

，

∴y ′＝－4e x

(e x ＋1)2＝－4e x

e 2x ＋2e x ＋1＝－4

e x ＋1e x ＋2

.

∵e x >0，∴e x ＋1

e

x ≥2，

∴y ′∈[－1,0)，∴tan α∈[－1,0)． 又α∈[0，π)，∴α∈[3π

4

，π)．

题型一 利用定义求函数的导数

例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切

线与曲线f (x )＝x 3的交点．

思维启迪 掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键． 解 f ′(x 0)＝lim x →x 0

f (x )－f (x 0)x －x 0

＝lim x →x 0 x 3－x 30

x －x 0

＝lim x →x 0

(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20

. 曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为

y －x 30＝3x 20·(x －x 0

)， 即y ＝3x 20x －2x 3

0，由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 3

0，

得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.

若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 3

0)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．

思维升华 求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；

(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →0

Δy

Δx

. (1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率Δy

Δx

＝________；该函数在x

＝1处的导数是________．

(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )

h

的值为( )

A ．f ′(x 0)

B ．2f ′(x 0)

C ．－2f ′(x 0)

D ．0

答案 (1)1－1

x (x ＋Δx ) 0 (2)B

解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1

x

＝Δx ＋1x ＋Δx －1

x