加法原理和乘法原理

两个基本计数原理加法原理和乘法原理

两个基本计数原理：加法原理和乘法原理

在我们日常生活和数学学习中，计数是一项非常重要的任务。而加法原理和乘法原理就是两个帮助我们解决计数问题的基本原理。

让我们先来聊聊加法原理。想象一下，你要从 A 地去 B 地，有三条不同的路可以走，分别是路 1、路 2 和路 3。那么从 A 地到 B 地，总的路线选择就是这三条路的总和，这就是加法原理。加法原理说的是，如果完成一件事情有 n 类不同的方式，在第一类方式中有 m1 种不同的方法，在第二类方式中有 m2 种不同的方法，以此类推，在第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1 ＋

m2 ＋ … ＋ mn 种。

比如说，在一个班级里评选优秀学生，有学习成绩优秀的、品德优秀的、社会实践积极的三种类型。假设学习成绩优秀的有 10 人，品德优秀的有 8 人，社会实践积极的有 6 人。那么这个班级里优秀学生的总数就是 10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。

再比如，你周末想去图书馆看书，图书馆在三个不同的区域分别有分馆，第一个区域有 2 家分馆，第二个区域有 3 家分馆，第三个区域有 1 家分馆。那么你可以选择去的图书馆分馆总数就是 2 ＋ 3 ＋ 1 ＝ 6

家。 接下来，我们说一说乘法原理。假设你早上要穿衣服出门，上衣有

3 件不同的款式可以选择，裤子有 2 条不同的款式可以选择。那么你搭配衣服的方式总共有 3×2 ＝ 6 种。这就是乘法原理。乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1 种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，以此类推，做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情总的方法数就是 m1×m2×…×mn 种。

比如说，要从 0 、 1 、 2 、 3 这 4 个数字中选出 3 个数字组成一个三位数，百位上有 3 种选择（因为 0 不能在百位），十位上有 3 种选择，个位上有 2 种选择，那么总共能组成的三位数个数就是 3×3×2 ＝

乘法原理和加法原理

加法原理:完成一件工作有几种不同的方法，每种方法又有很多种不同的方法，而且这些方法彼此互斥，那么完成这件方法的总数就是等于各类完成这件工作的综合。这类方法称为加法原理，也叫分类计数原理。

乘法原理:如果完成一件工作需要很多步骤，每个步骤又有很多种方法，那么完成这件工作的方法就是把每一步骤中的不同方法乘起来，这类方法称为乘法原理，也叫分步计数原理。

例题:

例1. 小军、小兰和小红三个小朋友排成一排照相，有多少种不同的排法,

例2. 书架上有5本不同的科技书，6本不同的故事书，8本不同的英语书。如果从中各取

一本科技书、一本故事书、一本英语书，那么共有多少种取法,

例3.一个盒子里装有5个小球，另一个盒子里装有9个小球，所有的这些小球的颜色各不相同。

(1)从两个盒子任取一个球，有多少种不同的取法,

(2)从两个盒子里各取一个球，有多少种不同的取法,

例4.四个数字3、5、6、8可以组成多个没有重复数字的四位数,

例5.用四种不同的颜色给下面的图形涂色，使相邻的长方形颜色不相同，有多少种不同的涂法,

B

A

C

D 当堂练:

1. 五一前夕，学校举行亲子活动，玲玲有红、白、黄、花四件上衣和蓝、黄、青共三种颜

色的裙子，找出来搭配着穿，一共有多少种不同的搭配方法,

2.甲、乙、丙三个组，甲组6人，乙组5人，丙组4人，如果从三组中选出一个代表，有多少种不同的选法,

3.有7、3、6三个数字卡片，能组成几个不同的三位数,

课堂作业:

1. 春节期间，有四个小朋友，如果他们互相寄一张贺卡，一共寄了多少张,

2. 有8,0,2,4,6五个数字可以组成几个不同的五位数,

3. 一个袋子里装有6个白色乒乓球，另一个袋子里装有8个黄色乒乓球。

(1).从两个袋子里任取一个乒乓球，共有多少种不同取法?

(2).从两个袋子里各取一个乒乓球，有多少种不同取法,

1 加法原理和乘法原理

1、加法原理：做一件事情分几类，每一类方法数之和就是完成这件事情的总方法数。

2、乘法原理：做一件事情分几步，每一步方法数之积就是完成这件事情的总方法数。

P29作业

1、分四步组成四位数

第一步：写好千位上的数，有3种选择（0不能作千位数）（所以一定要先考虑千位）

第二步：写好百位上的数，有3种选择

第三步：写好十位上的数，有2种选择

第四步：写好个位上的数，有1种选择

所以共有3×3×2×1=18个

2、分三步组成三位数

第一步：写好百位上的数，有4种选择（哪一位先考虑都行）

第二步：写好十位上的数，有3种选择

第三步：写好个位上的数，有2种选择

所以共有4×3×2=24个

3、分三步组成三位数

第一步：写好个位上的数，有2种选择（个位一定是2或4）（所以一定要先考虑个位）

第二步：写好十位上的数，有3种选择

第三步：写好百位上的数，有2种选择

所以共有2×3×2=12个

4、分三步完成借书的事情

第一步：第一个人来借书有7种选择

第二步：第二个人来借书有6种选择

第三步：第三个人来借书有5种选择

所以共有7×6×5=210种

5、分五步组成五位数

第一步：写好万位上的数，有5种选择（哪一位先考虑都行）

第二步：写好千位上的数，有4种选择

第三步：写好百位上的数，有3种选择

第四步：写好十位上的数，有2种选择

第五步：写好个位上的数，有1种选择

所以共有5×4×3×2×1=120个

6、分三步完成种菜的任务

第一步：第一块田里种菜有4种选择

第二步：第一块田里种菜有3种选择

第三步：第一块田里种菜有2种选择

所以共有4×3×2=24种

7、分类完成选书的事情

第一类：选语文、数学（这一类在分2步完成，第一步选语文有3种选择，第二步选数学有4种选择，所以一共有3×4=12种）

第二类：选数学、外语（同理，有4×5=20种） 2 第三类：选外语、语文（同理，有3×5=15种）

两个基本计数原理加法原理和乘法原理

两个基本计数原理：加法原理和乘法原理

在我们日常生活和数学学习中，计数是一项经常会遇到的任务。而两个基本的计数原理——加法原理和乘法原理，为我们解决各种计数问题提供了重要的方法和思路。

先来说说加法原理。加法原理可以这样来理解：假如完成一件事情有若干种不同的方式，而每一种方式都能够独立地完成这件事情，那么完成这件事情的方法总数，就等于把每种方式的数量相加。

比如说，从 A 地到 B 地，你可以选择坐火车、汽车或者飞机。如果坐火车有 3 种车次可选，坐汽车有 2 种车次可选，坐飞机有 4 种航班可选，那么从 A 地到 B 地总的出行方式就有 3 ＋ 2 ＋ 4 ＝ 9 种。

再举个例子，在一个班级里，要选一名班长，候选人有男生 5 名，女生 7 名，那么总的候选人数量就是 5 ＋ 7 ＝ 12 名，也就是选班长的可能性有 12 种。

加法原理的关键在于，这些不同的方式之间是相互独立的，不存在交叉或者重复的情况。

接下来谈谈乘法原理。乘法原理是指：如果完成一件事情需要分步骤进行，完成第一步有 m 种方法，完成第二步有 n 种方法，以此类推，完成第 k 步有 p 种方法，那么完成这件事情的总的方法数就是把这些步骤的方法数相乘，即 m × n × … × p 。

比如说，你要从你的家去学校，首先要选择一种交通工具，有公交车、自行车、步行 3 种选择；选好交通工具后，又要选择走哪条路，假设每条交通方式都对应着 2 条不同的路线。那么你去学校的总路线数就是 3 × 2 ＝ 6 种。

再比如，一个密码由三位数字组成，第一位数字可以是 0 到 9 中的任意一个，第二位数字同样可以是 0 到 9 中的任意一个，第三位数字也是如此。那么总共可能的密码数量就是 10 × 10 × 10 ＝ 1000 种。

乘法原理的重点在于，每一步的选择都是相互依存的，前一步的选择会影响到后一步的可能性。