高中数学学案：常见曲线的参数方程
基础诊断
1. 方程
⎩⎨⎧x ＝
t ，y ＝
3t 3
(t
为
参
数
)
表
示
的
曲
线
是
________________________________________________________________________．
2. 直线⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的公共点的个数为________．
3. 参数方程⎩⎨⎧x ＝3t 2＋2，
y ＝t 2
－1
(t 为参数),且0≤t ≤5表示的曲线是________．(填序号)
①线段；②双曲线；③圆弧；④射线．
4. 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋1
2t ，y ＝－33＋3
2t (t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点,则AB 的中点坐标为
________．
范例导航
考向
例1 (1) 将参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ＋1t ，y ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －1t (t 为参数)化为普通方程；
(2) 将参数方程⎩⎨⎧x ＝2sin θ，
y ＝1＋2cos 2
θ(θ为参数)化为普通方程．
在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，
y ＝sin θ
(θ为参数)上求一点,使它到直线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22＋1
2t ，y ＝1－12t
(t 为参数)
的距离最小,并求出该点的坐标和最小距离．
考向
例2已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α＝6.
(1) 写出直线l的参数方程；
(2) 设直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点,求点P到A、B两点的距离之积．
点P(x,y)是椭圆2x2＋3y2＝12上的一个动点,求x＋2y的最大值．
考向
例3 已知P(x,y)是圆x 2＋y 2＝2y 上的动点． (1) 求2x ＋y 的取值范围；
(2) 若x ＋y ＋a ≥0恒成立,求实数a 的取值范围．
自测反馈
1. P(x,y)是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)上任意一点,则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为
________．
2. 直线⎩⎨⎧x ＝2t －1，
y ＝t ＋1
(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长等于________．
3. 若P 为曲线⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，
y ＝1＋sin θ(θ为参数)上一点,则点P 与坐标原点的最短距离为________．
4. 曲线C: ⎩⎨⎧x ＝cos θ，
y ＝－1＋sin θ(θ为参数)的普通方程是________________________,如果曲线C
与直线x ＋y ＋a ＝0 有公共点,那么实数a 的取值范围是________．
1. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧(如整体代换)；二要注意变量取值范围的一致性,这一点最易被忽视．
2. 解答参数方程的有关问题时,首先要弄清参数是谁？代表的几何意义是什么？其次要认真观察方程的表现形式,以便于寻找最佳化简途径．
3. 写出直线,圆,椭圆的参数方程：
________________________________________________________________________.
第16课 常见曲线的参数方程
基础诊断
1. 一条射线 解析：由⎩⎨
⎧x ＝
t ，
y ＝
3t 3
(t 为参数),得y ＝3
3x,x ≥0,故该参数方程对应的曲线为一条射线．
2. 2 解析：直线的普通方程为y ＝1
2x,曲线的普通方程为(x －2)2＋y 2＝1,则该曲线是以点(2,0)为圆心,1为半径的圆．因为圆心到直线的距离d ＝
|1|⎝ ⎛⎭
⎪⎫
122＋12＝25
5<1,所以直线与曲线的
公共点的个数为2.
3. ① 解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧t 2＝x －23，t 2＝y ＋1(t 为参数),则x －23＝y ＋1,即x －3y －5＝0,又0≤t ≤5,所以该曲线为线段,故选①.
4. (3,－3) 解析：由⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16,得t 2－8t ＋12＝0,t 1＋t 22＝－－81×12＝
4,所以AB 中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋1
2×4，y ＝－33＋32×4，
即⎩⎨⎧x ＝3，
y ＝－3，
故AB 的中点坐标为(3,－
3)．
范例导航
例1 解析：(1) 方法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42
＝4,化简得普通方程为x 216
－y 2
64
＝1. 方法二：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫
t －1t (t 为参数),所以t ＝2x ＋y 8,1t ＝2x －y
8,相乘得()2x ＋y ()2x －y 64＝1,
化简得普通方程为x 216－y 2
64＝1.
