精品文档高中数学圆的方程经典例题与解析0?yA(1,4))4P(2,3B(,2)与且圆心在直线、例1 求过两点上的圆的标准方程并判断点圆的关系．P与圆的分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆位置关系，只须看点外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．（待定系数法）解法一：222r??b)x(?a)?(y．设圆的标准方程为222r?(x?a)y?0?y0?b．上，故∴圆的方程为∵圆心在．22?r(1?a)?16??)A(1,4)B(3,2∴两点．、又∵该圆过?22?r?)?4(3?a?22220??1)?y(x20r?1a??，解之得：．所以所求圆的方程为．（直接求出圆心坐标和半径）解法二：)4(1,A)23,B(lCAB又因为两点，所以圆心因为圆过的垂直平分线、必在线段上，2?41k???),3(2llABAB的方程，故的中点为，故的垂直平分线的斜率为1，又AB31?01?x?2x?y?y?3?即为：．0?y)0C(?1,上，故圆心坐标为又知圆心在直线2222204?1)?r?AC?(1?20?1)??y(x故所求圆的方程为∴半径．．22r??251)?4PCd??(2?)P(2,4)C0?1,(．又点到圆心的距离为P∴点在圆外．都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，若将点换成直然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？??22，P244y?O：x?O，求过点相切的切线．已知圆例2与圆????，4P24?x?y?k2OPT∵点上，∴切线的直线方程可设为不在圆解： ?2k?43?k2?r?d解得根据∴42k1?3???42x?y?3x?4y?10?0所以即4精品文档．精品文档因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条2x?切线为．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．解决（也要本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于02ry?x?yxyx、．还可以运用此时没有漏解．，求出切点坐标的值来解决，注意漏解）0000224?x?y0?3x?y?23得的劣弧所对的圆心角为例3截圆、直线2222r?d?AB?3?d是等边三角，从而△解：依题意得，弦心距OAB，故弦长??AOB?.形，故截得的劣弧所对的圆心角为3229)?(y?3(x?3)?011??4y?3x的点有几个？4例圆上到直线的距离为1ll、借助图形直观求解．或先求出直线的方程，从代数计算中寻找解答．分析：2122),3(O39?3)?(x?3)?(y3r?，半径的圆心为．圆解法一：111?4?33?3?3d???2O011??4y?3x d，则的距离为设圆心．到直线12243?lO0?11?3x?4y与圆有两个交1同侧，与直线的直线如图，在圆心平行且距离为11点，这两个交点符合题意．12??d?3?r又．0??11x?4y3∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．3个．∴符合题意的点共有011??4y?3x的直线和圆的解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1m?11??1d0m?4yx3??，，则交点．设所求直线为2243?m??6m?5??16m?11?，也即∴，或，即l：3x?4y?6?0l：3x?4y?16?0．，或2122lldd：y?3O9)?()?(x3?设圆、、的圆心到直线的距离为，则12121精品文档．精品文档163?3?6?3?4?3?3?4?31?3?d?d?．，212222443??3llOOOO有两个公共点．即符与圆相切，与圆相交，与圆∴有一个公共点；与211111 3个．合题意的点共说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：11?3?4?33?3??d?2O011?4y?3x?d设圆心的距离为到直线，则．1224?3O03x?4?y?11的点有两个．∴圆距离为到110?11?y3x?4drd?，只能说明此直是圆心到直线的距离，显然，上述误解中的线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．因此到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，一般根据圆与题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．22220y??4y??x?y2x?0x条。
∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2k1 解：依题意有12k1 ，解得440k，∴k的取值X围是(0,).33----∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设m11所求直线为3x4ym0，那么d1，2234∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．22 设圆(3)(3)9O1：xy的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，那么33436334316d3，d1．1222223434∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：设圆心334311 O到直线3x4y110的距离为d，那么d23．12234∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比拟来判断．2yaya2练习1：直线xy1与圆x20(0)没有公共点，那么a的取值X围是a1解：依题意有a2，解得21a21.∵a0，∴0a21.2y2练习2：假设直线ykx2与圆(x2)(3)1有两个不同的交点，那么k的取值X围是.2 k1。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解04 圆的方程+直线与圆、圆与圆的位置关系一、典例精析拓思维（名师点拨） 知识点1 圆与方程知识点2 直线与圆的位置关系 知识点3 圆的切线知识点4 圆与圆的位置关系 二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 圆与方程例1．（2021·江苏·高二专题练习）已知圆C 经过点()20M -，，()02N ，两点，且圆心在直线0x y -=上．求圆C 的方程； 【答案】224x y +=根据题意，点()20M -，，()02N ，，则线段MN 的中垂线方程为0x y +=， 圆心为直线0x y -=和0x y +=的交点，则有00x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得0x y ==，所以圆C 的圆心坐标为()00，；半径2r ==， 所以圆C 的方程为224x y +=.练习1-1．（2021·重庆·巴南中学校高二期中）已知圆D 经过点()1,0A -，()3,0B ，()1,2C ．求圆D 的标准方程； 【答案】()2214x y -+=设圆D 的标准方程()()222x a y b r -+-=， 由题意可得()()()()()()222222222103012a b r a b r a b r ⎧--+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得102a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆D 的标准方程为()2214x y -+=. 名师点评：圆的方程两种形式：(1)标准式：222()()(0)x a y b r r -+-=>，圆心为(,)a b ，半径为r .(2)一般式：220x y Dx Ey F ++++=（其中2240D E F +->）,圆心为(,)22D E--,半径r =.本例中采用两种方法即几何法和代数法.(1)代数法是利用圆的一般方程,根据条件列出关于D ,E ,F 的方程组,然后解出D ,E ,F .所以设圆的方程为一般式,代入坐标即可求解,如本例练习1-1.(2)几何法是利用圆的标准方程,结合圆的性质,找出圆心和半径,然后得到圆的标准方程.常用的性质是圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，如本例1.例2．（2021·江苏·高二专题练习）已知两个定点()()0401A B ，，，，动点P 满足2.PA PB =设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-．求曲线E 的轨迹方程；【答案】224x y += 设点P 的坐标为()x y ，，由2PA PB =整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=；练习2-1．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知圆O ：224x y +=，点A 是圆上一动点，点(4,0)B ，点C 是线段AB 的中点. （1）求点C 的轨迹方程；（2）求点C 到直线290x y --=的距离的最小值. 【答案】()2221x y -+=设点()00,A x y ，∵点C （x ，y ）是AB 的中点， 00422x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，即00242x x y y =-⎧⎨=⎩，又2222004,(24)(2)4x y x y +=∴-+=，即()2221x y -+=，∴点C 的轨迹方程为()2221x y -+=练习2-2．（2021·四川·成都市温江区第二中学校高二期末（理））已知动点P 到定点()2,0A -的距离与它到定点()2,0BP 的轨迹E 的方程； 【答案】()22412x y -+=设(),P x y ，由题意得=化简得：()22412x y -+=.名师点评：轨迹方程常用求解方法： （1）定义法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
专题10.1圆的方程（精讲精析篇）提纲挈领点点突破热门考点01 圆的方程1．圆的定义：在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ,则该圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=． (2) 方程222()()x a y b r -+-=表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：220x y Dx Ey F ++++=.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：220x y Dx Ey F ++++=. ①若2240D E F +->,则方程表示以(2D -,)2E -为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； ②若0422=-+F E D ,则方程只表示一个点(2D -,2E-； ③若0422<-+F E D ,则方程不表示任何图形． 4.点00()A x y ，与⊙C 的位置关系(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔22200()()x a y b r <－＋－； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔22200()()x a y b r =－＋－；(3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔22200()()x a y b r >－＋－.【典例1】（2018·天津高考真题（文））在平面直角坐标系中,经过三点（0,0）,（1,1）,（2,0）的圆的方程为__________．【典例2】（2013·江西高考真题（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y ＝1相切,则圆C 的方程是_________.【典例3】（2019·云南高三月考（文））古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0,k ≠1）的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中,设A （﹣3,0）,B （3,0）,动点M 满足MA MB ｜｜｜｜＝2,则动点M 的轨迹方程为（ ）A ．（x ﹣5）2+y 2＝16B ．x 2+（y ﹣5）2＝9C ．（x +5）2+y 2＝16D ．x 2+（y +5）2＝9【总结提升】1.求圆的方程,主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时,切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程,再由题目给出的条件,列出等式,求出相关量．一般地,与圆心和半径有关,选择标准式,否则,选择一般式．不论是哪种形式,都要确定三个独立参数,所以应该有三个独立等式．2.求轨迹方程的常见方法有:①直接法,设出动点的坐标(),x y ,根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程；③参数法,把,x y 分别用第三个变量表示,消去参数即可；④逆代法,将()()00{x g x y h x ==代入()00,0f x y =.本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.热门考点02 圆的方程综合应用1. 圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=2．圆的一般方程．：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）.3.点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离：d =.【典例4】（2016高考天津文）已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上,点(0,5)M 在圆C 上,且圆心到直线20x y -=的距离为45,则圆C 的方程为__________. 【典例5】（2019·天津南开中学高考模拟）已知直线()600,0ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为25,则ab 的最大值为________.【典例6】设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧,其弧长之比为3：1；③圆心到直线:20l x y -=的距离为55,求该圆的方程． 【总结提升】注意应用圆的几何性质：① 心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上．热门考点03 直线与圆相切1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ,然后令d ＝r ,进而求出k .【典例7】（2019·浙江高考真题）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ,半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --,则m =_____,r =______. 【典例8】（2015·江苏高考真题）在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为【总结提升】判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：几何法：圆心到直线的距离等于半径,即d r =；(2)代数法：联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断．0∆=,方程组有一组不同的解. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交． 提醒：上述方法中最常用的是几何法．热门考点04 直线与圆相交及弦长1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离小于半径,即d r <；3.代数法：0∆>,方程组有两组不同的解.【典例9】（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点,则AB =________．【典例10】（2016·全国高考真题（理））已知直线：与圆交于,两点,过,分别作的垂线与轴交于,两点,若,则__________．【典例11】（2019·江苏高三）已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ,0y ),过点P 作圆O 的两条切线,切点分别为A,B,且∠AOB＝120°．若点C(8,0)和点P 满足PO ＝λPC,则λ的范围是_______． 【总结提升】 1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d ,圆的半径长为r ,则弦长l ＝2r 2－d 2.2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．热门考点05 圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为1C 、2C ,圆心距为12d C C =,半径分别为R 、r (R r >). (1)两圆相离：无公共点；d R r >+,方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；d R r =+,方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；R r d R r -<<+,方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；d R r =-,方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；0d R r ≤<-,方程组无解.特别地,0d =时,为两个同心圆.【典例12】（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值为__________． 【典例13】（2019·天津耀华中学高三月考）已知圆2212x y +=与圆22360x y x ++-=交于A,B两点,过A,B 分别作直线AB 的垂线,与x 轴分别交于C,D 两点,则CD =__________. 【总结提升】1.判断两圆位置关系的方法常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差的绝对值的关系,一般不用代数法． 2．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长,先求出公共弦所在直线的方程,转化为直线与圆相交的弦长问题． 3.比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系； 4.两圆方程相减即得公共弦方程； 5.公共弦长要通过解直角三角形获得．热门考点06 直线、圆的位置关系的综合应用【典例14】（2018·全国高考真题（文））直线20x y ++=分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆()2222x y -+=上,则ABP △面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【典例15】（2019·江苏高三开学考试（文））在平面直角坐标系xOy 中,己知圆22:240C x y x y F ++-+=,且圆C 被直线30x y -++=截得的弦长为2.（1）求圆C 的标准方程；（2）若圆C 的切线l 在x 轴和y 轴上的截距相等,求切线l 的方程；（3）若圆22:()(1)2D x a y -+-=上存在点P ,由点P 向圆C 引一条切线,切点为M ,且满足PM =,求实数a 的取值范围.【总结提升】直线与圆的位置关系常用处理方法：（1）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直,构建直角三角形,进而利用勾股定理可以建立等量关系；（2）直线与圆相交,利用垂径定理也可以构建直角三角形； （3）直线与圆相离时,当过圆心作直线垂线时长度最小．巩固提升1.（重庆高考真题（文））圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为（ ）A ．22(2)1x y ++= B ．22(2)1x y +-= C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．22(3)1x y +-=2．（2013·安徽高考真题（文））直线2550x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．463．（2015·广东高考真题（理））（5分）（2015•广东）平行于直线2x+y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是（ ）A ．2x+y+5=0或2x+y ﹣5=0B ．2x+y+=0或2x+y ﹣=0C ．2x ﹣y+5=0或2x ﹣y ﹣5=0D ．2x ﹣y+=0或2x ﹣y ﹣=04．（2015·重庆高考真题（理））已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线,切点为B ,则||AB =（ ） A ．2B ．2C ．6D ．2105．（2015·山东高考真题（理））一条光线从点()2,3--射出,经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切,则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．53-或53- B ．35-或32-C ．23-或23- D ．54-或54- 6．（2019·重庆高二月考）点(),M x y 为圆224x y +=上任意一点,则()223x y +-的最小值为（ ） A ．4B ．2C 5D ．17．（2019·云南师大附中高三月考（文））若直线0x y a ++=平分圆222410x y x y +-++=,则a 的值为（ ） A ．1B ．－1C ．2D ．－28．（2019·江西洪都中学高二月考（文））已知直线y x m =-+与曲线22y x x =--有两个不同交点,则（ ）． A ．021m ≤<B ．021m ≤≤C ．2121m -<<D ．021m <≤9．（2019·上海市高境第一中学高二期中）若圆221:240C xy x y +--=与圆2C 关于直线y x =对称,则圆2C 的方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y -+-= B ．22(2)(1)5x y -+-= C ．22(2)(1)5x y -++=D ．22(2)(1)5x y -++=10．（2019·上海高三）若对于任意角θ,都有cos (2)sin 1x y θθ+-=,则直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=围成的正多边形的最小面积是（ ） A ．23B ．4C ．33D ．不确定11.（广东高考真题（文））以点(2,－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________________. 12.（2015·重庆高考真题（文））若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P 处的切线方程为__________．13.（2019·江西洪都中学高二月考（文））圆221:430C x y x +-+=与圆()()222:14C x y a ++-=恰有三条公切线,则实数a 的值是______．14.（2019·上海复旦附中高二期中）直线l 与圆22(5)4x y -+=相切,且l 在两坐标轴上截距的绝对值相等,这样的直线l 共有________条.15.（2015·湖北高考真题（文））如图,已知圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点A,B （B在A 的上方）,且．（Ⅰ）圆的标准方程为_________；（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________．16.（2019·全国高三（理））唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy 中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x 2+y 2≤94},河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P (32,12)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为______.最短总路程为______。
