2019版数学高考大一轮复习备考讲义(浙江专用)第四章导数及其应用4.2第3课时Word版含答案

第02节 同角三角函数的基本关系及诱导公式【考纲解读】个函数值中【知识清单】1．同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝cos αsin α，k ∈Z π. 2．利用诱导公式化简求值 六组诱导公式对于角“2kπ±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”3．特殊角的三角函数值（熟记）【重点难点突破】考点1 同角三角函数的基本关系式【1-1】若为第三象限，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【1-2】【2017届浙江杭州地区四校高三上学期联考】已知，，则的值为（）A. B.C. D.【答案】B.【1-3】【2018届陕西省咸阳市一模】已知为第二象限角，且，则（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】 由，可得，所以，所以， 又因为为第二象限角，则，所以，所以，故选A.【领悟技法】1.利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用cos αsin α＝tan α可以实现角α的弦切互化．2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 3. 三角函数求值与化简必会的三种方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,a sin 2x+b sin x cos x+c cos 2x等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:1=sin 2θ+cos 2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=tan 等.(3)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ,(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2的关系进行变形、转化. 【触类旁通】【变式一】若，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2【答案】C【解析】，因此得，由于，，因此，，由于， ，又由于，，得，故答案为C.【变式二】【2017安徽马鞍山二模】已知，则（ ）A. B. C. D. 2【答案】D【变式三】【2018届贵州省贵阳市8月摸底】已知，则__________．【答案】-3【解析】考点2 利用诱导公式化简求值【2-1】【2018届贵州省贵阳市适应性考试（二）】已知,且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题设条件可得，再根据同角三角函数关系式可得，，然后根据诱导公式化简，即可得解.详解：∵∴∵∴，则.∵∴故选A.【2-2】【2018届江西省六校第五次联考】已知，，则__________.【答案】【解析】∵，∴cosα<0.∵7sin2α=2cosα,即14sinαcosα=2cosα,∴，则.【2-3】化简【答案】当时，原式当时，原式【解析】（1）当时，原式；（2）当时，原式.【领悟技法】1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.4.利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.【触类旁通】【变式一】若，是第三象限的角，则（）A． B． C． D．【答案】B.【解析】由题意，因为是第三象限的角，所以，因此.【变式二】【2018届浙江省名校协作体上学期】已知，且，则_____，_____．【答案】【变式三】已知，求【答案】18【解析】由题有，，原式【易错试题常警惕】易错典例：,那么( )A. B. - C. D. -易错分析：(1)k值的正负一撮；（2）表达式符号易错正确解析：温馨提醒：1.本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用.2.同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。

第四章 三角函数、解三角形
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
内容索引
基础知识 题型分类
自主学习 深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 . sin α π ＝ tan α ( α ≠ ＋ k π ， k ∈ Z ) 2 (2)商数关系： cos α
解析 答案
1 (2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝ － . 5 ①求sin x－cos x的值；
解答
sin 2x＋2sin2x ②求 的值. 1－tan x
解
sin 2x＋2sin2x 2sin xcos x＋sin x ＝ sin x 1－tan x 1－cos x
2sin xcos xcos x＋sin x ＝ cos x－sin x
√
2 D.3
解析
答案
(2)(2017· 西安模拟 ) 已知函数 f(x) ＝ asin(πx ＋ α) ＋ bcos(πx ＋ β) ，且 f(4) ＝ 3 ， 则f(2 017)的值为 A.－1 B.1 C.3
√
D.－3
解析 ∵f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3， ∴f(2 017)＝asin(2 017π＋α)＋bcos(2 017π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－asin α－bcos β ＝－3.
解答
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条
件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.

第2课时 导数与函数的极值、最值题型一 用导数求解函数极值问题命题点1 根据函数图象判断极值典例 (2017温州“十五校联合体”期中联考)设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图象的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A.f (－2)与f (2) B.f (－1)与f (1) C.f (2)与f (－2) D.f (1)与f (－1)答案 A解析 由图象知，当x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <0时，f ′(x )<0；当0<x <2时，f ′(x )<0； 当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在区间(－∞，－2)上为增函数，在区间(－2,2)上为减函数，在区间(2，＋∞)上为增函数，所以f (x )的极大值与极小值分别是f (－2)与f (2). 命题点2 求函数的极值典例 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由. 解 f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1(x >－1).令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞). ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点. ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8). a.当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，无极值点. b.当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14.由g (－1)＝1>0，可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增.因此函数有两个极值点. ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0， 可得x 1<－1<x 2.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减. 所以函数有一个极值点.综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点； 当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a >89时，函数f (x )有两个极值点.命题点3 根据极值求参数典例 (1)已知函数f (x )＝ln x ＋12ax 2－2x 有两个极值点，则a 的取值范围是( )A.(－∞，1)B.(0,2)C.(0,1)D.(0,3)答案 C解析 ∵f ′(x )＝1x ＋ax －2，∴f ′(x )＝0有两个不等的正实数根， ∴ax 2－2x ＋1＝0有两个不等的正实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ>0，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0，解不等式组得a 的取值范围为(0,1).(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，52 B.⎣⎡⎭⎫2，52 C.⎝⎛⎭⎫2，103 D.⎣⎡⎭⎫2，103 答案 C解析 方法一 若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝⎛⎭⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0恒成立或当x ∈⎝⎛⎭⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立.当x ∈⎝⎛⎭⎫12，3时，y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎡⎭⎫2，103. 当x ∈⎝⎛⎭⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0， 即a ≤x ＋1x 恒成立，此时a ≤2；当x ∈⎝⎛⎭⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0， 即a ≥x ＋1x 恒成立，此时a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点， 实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103. 方法二 原问题等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，由f ′(x )＝0有2个不相等的实根得a ＜－2或a ＞2.由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内有根得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解， 又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103， ∴2≤a ＜103.综上得2＜a ＜103.思维升华 函数极值的两类热点问题 (1)求函数f (x )极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号. (2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. ②验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练 (1)(2013·浙江)已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )A.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值B.当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C.当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D.当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0. ∴x ＝1不是f (x )的极值点.当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2) 则f ′(1)＝0，且x 在1的左边附近f ′(x )<0， x 在1的右边附近f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值.故选C.(2)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ B.(1，＋∞) C.(1,2) D.(2，＋∞)答案 C解析 f ′(x )＝ax －(1＋2a )＋2x ＝ax 2－(2a ＋1)x ＋2x(a >0，x >0)，若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内有极大值，即f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，1内有解.则f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1内先大于0，再小于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝⎛⎭⎫12>0，f ′(1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧14a －12(2a ＋1)＋212>0，a －(2a ＋1)＋2<0，解得1<a <2，故选C. 题型二 用导数求函数的最值典例 已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e ，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值. 解 f ′(x )＝－x －(1－x )x 2＋k x ＝kx －1x2.①若k ＝0，则f ′(x )＝－1x 2在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有f ′(x )<0， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减.②若k ≠0，则f ′(x )＝kx －1x 2＝k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2.(ⅰ)若k <0，则在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒有k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2<0. 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减， (ⅱ)若k >0，由k <1e，得1k >e ，则x －1k <0在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上恒成立， 所以k ⎝⎛⎭⎫x －1k x 2<0，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减.综上，当k <1e 时，f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1e ＋k －1，f (x )max＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －k －1. 引申探究本例中若函数为“f (x )＝ln x －12x 2”，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值如何？ 解 由f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，因为当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e ≤x <1；令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，所以f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f (x )max ＝f (1)＝－12.思维升华 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ，b )内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b ).(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.跟踪训练 (1)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为________.答案 12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＝x －1x ＞0，x ＞0，得x ＞1，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＝x －1x ＜0，x ＞0，得0＜x ＜1， ∴f (x )在x ＝1时取得最小值f (1)＝12－ln 1＝12.(2)设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，72 解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得3x 2－x －2＝0， 解得x ＝1或x ＝－23，又f (1)＝72，f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727， f (－1)＝112，f (2)＝7，故f (x )min ＝72，∴a <72.题型三 函数极值和最值的综合问题典例 (2017·丽水质检)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ce x (a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值. 解 (1)f ′(x )＝(2ax ＋b )e x －(ax 2＋bx ＋c )e x(e x )2＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c e x.令g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c ， 因为e x >0，所以y ＝f ′(x )的零点就是g (x )＝－ax 2＋(2a －b )x ＋b －c 的零点且f ′(x )与g (x )符号相同.又因为a >0，所以当－3<x <0时，g (x )>0，即f ′(x )>0， 当x <－3或x >0时，g (x )<0，即f ′(x )<0， 所以f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞). (2)由(1)知，x ＝－3是f (x )的极小值点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c e －3＝－e 3，g (0)＝b －c ＝0，g (－3)＝－9a －3(2a －b )＋b －c ＝0，解得a ＝1，b ＝5，c ＝5， 所以f (x )＝x 2＋5x ＋5e x.因为f (x )的单调递增区间是(－3,0)， 单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)， 所以f (0)＝5为函数f (x )的极大值，故f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值取f (－5)和f (0)中的最大者，而f (－5)＝5e －5＝5e 5>5＝f (0)，所以函数f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e 5.思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小. (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论.(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 跟踪训练 若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5,0) B.(－5,0) C.[－3,0) D.(－3,0)答案 C解析 由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数， 在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23，得 x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0).利用导数求函数的最值典例 (14分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值.思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域.(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值. (3)两小问中，由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论. 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). [2分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎫0，1a ， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞.[5分]综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. [6分](2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数， 所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . [7分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数， 所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[8分] ③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数， 在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数. 又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . [12分]综上可知，当0<a <ln 2时， 函数f (x )的最小值是f (1)＝－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[14分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤 第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； 第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； 第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.1.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A.y ＝x 3 B.y ＝ln(－x ) C.y ＝x e －xD.y ＝x ＋2x答案 D解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数；A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)；D 选项中的函数既为奇函数又存在极值. 2.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极大值为( )A.283B.6C.263 D.7 答案 A解析 f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)，f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝283. 3.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1,2)B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)C.(－3,6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2－4×3(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0. ∴a >6或a <－3.4.(2017·台州调研)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B.1 C.0 D.不存在 答案 A解析 f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x且x >0.令f ′(x )>0，得x >1.令f ′(x )<0，得0<x <1. ∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值， 且f (1)＝12－ln 1＝12.5.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A.11或18 B.11 C.18 D.17或18答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11. 而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去.∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.6.若函数f (x )＝13x 3－⎝⎛⎭⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A.2b －43B.32b －23 C.0 D.b 2－16b 3答案 A解析 f ′(x )＝x 2－(2＋b )x ＋2b ＝(x －b )(x －2)， ∵函数f (x )在区间[－3,1]上不是单调函数， ∴－3<b <1，则由f ′(x )>0，得x <b 或x >2， 由f ′(x )<0，得b <x <2，∴函数f (x )的极小值为f (2)＝2b －43.7.(2017·丽水模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝______. 答案 5解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3.由题意知，－3是方程f ′(x )＝0的根， 所以3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5. 经检验，当a ＝5时，f (x )在x ＝－3处取得极值.8.函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫22，＋∞解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增， ∴f (x )的极大值为f (－a )，极小值为f (a ).∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0， 解得a >22.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，＋∞. 9.已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝⎛⎭⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________. 答案 1解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )>0；当x >1a 时，f ′(x )<0.∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1.10.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________. 答案 －4解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4. 11.(2017·北京)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值. 解 (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，所以f ′(0)＝0，又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －1＝0. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减. 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减. 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1，最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. 12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值. 解 (1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值f (0)＝0， 函数f (x )的极大值点为x ＝23.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎡⎭⎫23，1上单调递减，在⎣⎡⎦⎤0，23上单调递增. 因为f (－1)＝2，f ⎝⎛⎭⎫23＝427，f (0)＝0， 所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ， 当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， 则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .故当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.13.已知函数f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m 在[0,1]上的最小值为13，则实数m 的值为________.答案 2解析 由f (x )＝13x 3－x 2－x ＋m ，可得f ′(x )＝x 2－2x －1， 令x 2－2x －1＝0，可得x ＝1±2. 当x ∈(1－2，1＋2)时，f ′(x )<0， 即函数f (x )在(1－2，1＋2)上是减函数，即f (x )在[0,1]上为减函数，故f (x )在[0,1]上的最小值为f (1)，所以13－1－1＋m ＝13，解得m ＝2.14.设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为________. 答案22解析 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0，当t >22时，f ′(t )>0， ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值.15.若函数f (x )＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ，且M >0，则实数m 的取值范围是____________. 答案 ⎝⎛⎭⎫e1＋e ，1解析 f ′(x )＝mx ＋(m －1)＝(m －1)x ＋m x(x >0)，当m ≤0或m ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调，此时函数f (x )无最大值.当0<m <1时，令f ′(x )＝0，则x ＝m1－m ，∴当0<m <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，m 1－m 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫m 1－m ，＋∞上单调递减，∴当0<m <1时，函数f (x )有最大值，最大值M ＝f ⎝⎛⎭⎫m 1－m ＝m ln m 1－m －m .∵M >0，∴m lnm1－m －m >0，解得m >e1＋e ，∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e1＋e ，1.16.(2018·湖州五中模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a ＝3，b ＝－9时，函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，f′(1)＝g′(1)，即a＋1＝1＋b且2a＝3＋b，解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x).当a＝3，b＝－9时，h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，则h′(x)＝3x2＋6x－9，令h′(x)＝0，解得x1＝－3，x2＝1.当x∈(－∞，2]时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：由此可知，当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28；当－3<k<2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k的取值范围是(－∞，－3].。

2019年高考数学讲练测【浙江版】【练】第四章 三角函数第02节 同角三角形函数基本关系式及诱导公式A 基础巩固训练1. 【2019宁夏银川二中】已知α是第四象限角，且3tan α4=-，则sin α=（ ） （A ）35- （B ）35 （C ）45 （D ）45-2. 【2007年.浙江卷.文2】已知cos 2πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝(A) (B) (C) (D) 3. 【2019河北衡水模拟已知31)3sin(=+απ，则=+)65cos(απ（ ） A ．31 B ．31- C ．322 D ．322- 4. 已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin cos αα⋅＝( ) A.－25 B.25 C.25或－25 D.－155.【2019甘肃省质检】 向量()1,tan ,cos ,13a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，且||a b ，则cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭= （ ） A ．31- B ．31 C ．32- D ．322- B 水平提升训练1.【2019青岛一模】若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3 2. 【1-4】若α为第三象限，则αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-的值为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．1-3. 【2019湖北龙泉中学】若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则tan θ=（ ） A ．1 B ．1- C ．3 D ．3-4. 【2019安徽淮南市模拟】已知sin()2sin()2ππαα-=-+，则tan α的值为（ ） A ．12 B ． 2 C ．12- D ．-2 5. 在△ABC 中，3sin π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C 等于( )A.π3B.π4C.π2D.2π3 C 思维扩展训练1. 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＋α＝15，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14－α＝ .2. 【2019届南开中学】已知sin α=44sin cos αα-的值为 ． 3. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝lg 310，则cos （π＋α）cos α[cos （π－α）－1]＋ cos （α－2π）cos αcos （π－α）＋cos （α－2π）的值为 . 4. 【2019成都二模】若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝________. 5. 【2019·镇江统考】如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心O 为坐标原点，单位圆与y 轴的正半轴交于点A ，与钝角α的终边OB 交于点B (x B ，y B )，设∠BAO ＝β.(1)用β表示α；(2)如果 sin β＝45，求点B (x B ， y B )坐标； (3)求x B －y B 的最小值．。