江苏高考数学备考 解析几何综合

第4讲 圆锥曲线的综合问题（2）考点1建立目标不等式解最值或范围问题例1.(1)点A 、B 分别为椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线65x my =+与椭圆相交于P 、Q 两点，记直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，则21221k k +的最小值为（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【解析】设点()11,P x y 、()22,Q x y ，联立226544x my x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消去x 并整理得()22126440525m y my ++-=， 由韦达定理可得()1221254y y m +=-+，()12264254y y m =-+，设直线AQ 的斜率为k ，则222y k x =+，2222y k x =-， 所以，()222222222222212244444y y y y k k x x x y ⋅=⋅===-+----，214k k ∴=-， 而()12121212121212121625616162252555y y y y y y k k m x x m y y y y my my ⋅=⋅==++⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()22222642541641922561625254254m m m m m -+==---+++，因此，222112211162k k k k +=+≥==， 当且仅当18k =±时，等号成立，因此，21221k k +的最小值为12.故选：B. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系本题的关键在于求得214AQ k k =-，进而利用韦达定理法求得1AQ k k ⋅为定值，再结合基本不等式求得最值.(2)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率3，点在椭圆C 上．A 、B 分别为椭圆C 的上、下顶点，动直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，满足AP AQ ⊥，AH PQ ⊥，垂足为H ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求ABH △面积的最大值．【答案】(1)22164x y +=;(2)125【解析】（1）由题意知222223321c aa b a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解2a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22164x y +=．（2）由题意知PQ 的斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，其中2m ≠由22164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223263120k x kmx m +++-=，()()()22222236123242464k m k m k m =-+-=+-△，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122632km x x k -+=+，212231232m x x k -=+，因为AP AQ ⊥， 所以()()()()121212122222AP AQ x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-()()()2212121(2)20k x x k m x x m =++-++-=，所以()()()22222312612203232m km k k m m k k --++-+-=++，即()()()()()222221312622320k m k m m m k +---+-+=因为2m ≠，所以()()()2221(36)62320k m k m m k ++-+-+=所以222223636632640k m k m k m k m m k +++-++--=，所以25m =-，满足0>△．所以直线PQ 的方程为25y kx =-，即直线PQ 的定点20,5⎛⎫- ⎪⎝⎭．（解法一）因为ABH △存在，所以0k ≠，所以AH 的斜率为1k -，方程为12y x k=-+，联立2512y kx y x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得1215H x k k =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（H x 为H 点的横坐标）， 所以1112241242251155ABHH SAB x k k k k =⨯=⨯⨯=≤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1k k =即1k =±时等号取得，即ABH △面积的最大值为125． 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系,本题的关键利用基本不等式求得最值. 【跟踪演练】1.(1)已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点1F ，2F ，点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P 上的投影等于1F P ，1e ，2e 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的离心率，则22129e e +的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【解析】如图，设半焦距为c ．∵点P 是两曲线在第一象限的交点，且12F F 在1F P 上 的投影等于1F P ，∴PF 1⊥PF 2．设1PF m =，2PF n =，则12m n a +=， 22m n a -=．∴22()()4m n m n mn +--=＝21a ﹣22a ．在12PF F △中，由勾股定理可得：()()22222221124242c m n m n mn a a a =+=+-=--.∴222122c a a =+．两边同除以c 2，得2＝221211+e e ，所以()()222222121212222212219111==1199++10+10+6=8222e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++，当22123=e e 即16=3e 时取等号，因此9e 12+e 22的最小值是8．故选：C .(2)如图，已知椭圆22:142x y Γ+=，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，C ，D 在椭圆Γ上，点D 在第一象限.CB 的延长线交椭圆Γ于点E ，直线AE 与椭圆Γ､y 轴分别交于点F ､G ，直线CG 交椭圆Γ于点H ，DA 的延长线交FH 于点M.①设直线AE ､CG 的斜率分别为1k ､2k ，求证：12k k 为定值； ②求直线FH 的斜率k 的最小值； 【答案】①证明见解析；②62【解析】①由对称性，设0(,0)A x ，0(,0)B x -，()00,E x y --，()00,C x y - 则00:()2y AE y x x t =-，得00,2y G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故0102y k x =，02032y k x =-，则1213k k =-， ②由02:2y CG y k x =-，联立()202220220221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200224212H y x k x -=+-⋅ ，所以()202024212H y x x k -=-+， 所以()22020242212H y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+，可得()()2200202202024422,21212y y k y H x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 又01:2y AE y k x =-，联立()202210110221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200214212F y x k x -=+-⋅ ，所以()220104212F y x x k -=-+， 所以()2021*******F y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+可得：()()2200102201014422,21212y y k y F x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()122211121212112212231121221112231212H F FHH F k k k k y y k k k k k x x k k k k k k ----++-====-+--++211111661444k k k k +==+≥=，由图知10k >，所以116144k k +≥=即FH k ≥, 当且仅当116144k k =即1k =取等,所以直线FH 的斜率k考点2 构建函数模型解最值或范围问题例2.(1)已知左、右焦点分别为12F F 、的椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线1y =相交于A B 、两点，使得四边形12ABF F为面积等于,过椭圆1C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC PD 、，切点分别为C D 、，直线CD 与椭圆1C 交于E G 、两点，O 为坐标原点，则OEG 的面积OEGS的取值范围为______________.【答案】⎝⎦【解析】∵四边形12ABF F为面积等于∴12c ⨯=，故c =∴椭圆方程化为222212x y a a +=-，且点)A，∵点A 在椭圆上，∴222112a a +=-，整理得42540a a -+=，解得24a =． ∴椭圆1C 的方程为22142x y +=；设()()000,0P x y y ≠，则以线段OP 为直径的圆的方程为 ()222200001224x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又圆O 的方程为221x y +=，两式相减得直线CD 的方程为001xx yy +=.由0022124xx yy x y +=⎧⎨+=⎩消去y 整理得()2222000024240x y x x x y +-+-= ∵直线CD 与椭圆1C 交于E G 、两点，∴()()()2222220000001642242410x x y y y x ∆=-+-=+>，设()()1122,,,E x y G x y ，则12120EG x x x x =-=-又原点到直线CD的距离为d =∴1201122OEGSEG d x x y =⋅=-==设22200014=234t x y x =++， ∵204x ≤<，∴1182t <≤又OEG S =△11,82t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，∴82OEG S <≤△， 所以OEG 的面积OEGS △的取值范围为⎝⎦.故答案为:⎝⎦(2)已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），右顶点、上顶点分别为A 、B ，原点O 到直线AB 的距离为6ab ．若P ，Q 为椭圆C 上两不同点，线段PQ 的中点为M ． ①当M 的坐标为()1,1时，求直线PQ 的直线方程②当三角形OPQ 时，求OM 的取值范围．【答案】①230x y +-=，②OM ⎡∈⎣．【解析】设直线:1x yAB a b+=，即0bx ay ab +-=， 所以O 到直线AB==，所以226a b +=， 因为2222226c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪+=⎪⎪⎩，所以2242a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为22142x y +=；①因为PQ 的中点为()1,1M ，且PQ 的斜率存在，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩，所以()()222212122x x y y -=--，所以121212122x x y y y y x x +-=-+-，因为12122,2x x y y +=+=，所以121212PQ y y k x x -==--，所以PQ 的直线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=； ②若直线PQ 垂直于x轴，则2221222222p p p p p x x y x x ⎛⎫⨯=⇒-=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭22M x ⇒=，0M y =，所以OM =若直线PQ 不垂直于x 轴，设直线PQ 方程：()0y kx m m =+≠，()()1122,,,P x y Q x y ，()22222124240142y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 所以122412km x x k +=-+，21222412-⋅=+m x x k ，()()()2224412240km k m∆=-+->，即2242k m +>，因为O 到PQ的距离为d =所以12OPQS===()()()2222222222241212012m k m k k m k m ⎡⎤⇒+-=+⇒+-=⇒+=⎣⎦， 且此时2242k m +>，即0∆>满足，而12222212M x x km k x k m+-===-+， 1M M y kx m m =+=，所以OM ===， 因为2212k m +=，所以21m ≥，所以21122m ≤-<，所以1OM ≤<综上可知OM ⎡∈⎣．【跟踪演练】2.(1)在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，3DM DP =.当点P 在圆上运动时，点M 的轨迹为曲线E. （1）求曲线E 的方程；（2）过点()1,0Q -的两条相互垂直的直线分别交曲线E 于A ，B 和C ､D ，求四边形ABCD 面积的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）288649S ≤≤. 【解析】（1）设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ， ∵3DM DP =，∴0x x =，0y y =，∴00,x x y y ==， ∴点P 在224x y +=上，∴2204x y +=，∴224x y ⎫+=⎪⎭，∴曲线C 的方程为22143x y +=.（2）①当直线AB 的倾斜角为0°，||4AB =，||3CD =，1||||62ABCD S AB CD ==四边形. 同理直线AB 的倾斜角为90︒， 1||||62ABCD S AB CD ==四边形. ②当直线AB 的倾斜角不为0°和90°， 设直线AB 的方程：1x my =-， 则直线CD 的方程为：11(0)x y m m=--≠， 联立1x my =-和22143x y +=，得()2234690m y my +--=，122634m y y m +=+，122934y y m -=+，12||AB y =-==22161234mm+==⨯+，用1m-换m得221||1243mCDm+=⨯+，∴四边形ABCD面积22221111||||1212223443m mS AB CDm m++==⨯⨯⨯⨯++，令21t m=+，0m≠，∴1t>，∴101t<<，2111727272111131413412t tSt tt t t t=⨯⨯=⨯⨯=⨯+-+-+-21721111224t=⨯⎛⎫--++⎪⎝⎭，∴288649S≤<.∴综上所述，288649S≤≤.(2)椭圆C：22221x ya b+=(0)a b>>的左、右焦点分别为F1、2F，过1F向圆2F：22(2)1x y-+=引切线F1T（T为切点），切线F1T23，①求椭圆C的方程；②设(,)M x y为圆2F上的动点，O为坐标原点，过F2作OM的平行线，交椭圆C于G，H 两点，求MGH的面积的最大值．【答案】①22195x y+=；②52．【解析】①连接2F T，则F1T⊥2F T，由题意得12||4F F==，所以c＝2．因为23cea==，则a＝3，b==C的方程为22195x y+=；②设1122(,),,()G x y H x y，直线GH的方程为x＝my＋2，由222,1,95x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(902)5250m y my ++-=，222(20)4(59)(25)900(1)0m m m ∆=-+-=+>则1222059m y y m +=-+，1222559y y m =-+．所以12||y y -===所以12||GH y y ===-2223030(1)5959m m m +==++． 因为//GH OM ，所以点M 到直线GH 的距离等于原点O 到直线GH的距离，距离为△MGH的面积为222130(1)25959m S m m +==++． 因为//GH OM ，所以直线OM ：x my =，即0x my -=， 因为点(,)M x y 为圆2F 上的动点，所以点2F 到直线OM的距离1d =≤，解得23m ≥t =，则221(2)m t t =-≥，所以2230303045(1)9545t t S t t t t===-+++，因为4()5f t t t=+在[2,)+∞上单调递增，所以当t ＝2时，()f t 取得最小值，其值为12，所以△MGH 的面积的最大值为52．【仿真练习】一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点P ，Q 分别为圆()2231x y +-=和椭圆2212516y x +=上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】依题意可知圆心()0,3C ，半径是1r =.设椭圆2212516y x +=上的点()4cos ,5sin Q θθ[)()0,2θπ∈，此时Q 点到圆上的点的最大距离为QC r +，即()()224cos 5sin 31QC r θθ+-=++229sin 30sin 251(3sin 5)153sin 163sin θθθθθ=-++=-+=-+=-，由[)0,2θ∈π，得[]sin 1,1θ∈-，即363sin 9θ≤-≤所以QC r +的最大值为9，即P ，Q 两点间的最大距离是9.故选：D2.已知12,F F ，分别为椭圆22142x y +=的左右焦点，P 为椭圆上一动点，2F 关于直线1PF 的对称点为1,M F ，关于直线2PF 的对称点为N ，当MN 最大时，则点P 到x 轴的距离为（ ） A ．2 B ．1C ．63D ．33【答案】C【解析】连接,PM PN ，则21,PM PF PN PF ==， 所以2124MN PM PN PF PF a ≤+=+==， 当且仅当,,M P N 三点共线时等号成立.如下图，当,,M P N 三点共线时，有1122MPF F PF NPF ∠=∠=∠，故当,,M P N 三点共线时，有11223MPF F PF NPF π∠=∠=∠=.因为124PF PF +=且2212122cos 4283PF PF PF PF π+-⨯⨯=⨯=，故1283PF PF ⨯=，所以121831222322F PF P S y =⨯⨯=⨯， 解得6P y =，故选：C. 3.若随机变量()2~3,2019N ξ，且(1)()P P a ξξ≤=≥.已知F 为抛物线24yx =的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，若点A 在抛物线上，且||AF a =，则||||PA PO +的最小值为（ ） A 5B 13C ．5D ．13【答案】D 【解析】随机变量()2~3,2019N ξ，且(1)()P P a ξξ≤=≥，∴1和a 关于3x =对称， ∴5a =即||5AF =，设A 为第一象限中的点，(),A x y ， 抛物线方程为：24y x =，()1,0F ，∴15AF x =+= 解得4x =即()4,4A ， ∴()4,4A 关于准线1x =-的对称点为()6,4A '-，根据对称性可得：PA PA '=∴()22||||||6452213PA PO PA PO A O ''+=+≥=-+==当且仅当,,A P O '三点共线时等号成立.如图故选：D4.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为3y x =，若动点P 在C的右支上，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，2OP OF ⋅的最小值是2a （其中O 为坐标原点），则212||||PF PF 的最小值为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】依题意知：22232ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩， 解得1a =，3b =设2PF t =（1t ≥），则12PF t =+， 所以()22122444248PF t t t PF tt t+==++≥⨯=，（当4t t =即2t =时取等号），即212||||PF PF 的最小值为8. 故选：B . 5.已知椭圆22:12x C y +=，直线l 过椭圆C 的左焦点F 且交椭圆于A ，B 两点，AB 的中垂线交x 轴于M 点，则2||||FM AB 的取值范围为（ ）A ．11,164⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,162⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】椭圆22:12x C y +=的左焦点为()1,0F -,当l ：0y =时，())(),,0,0A BM，1,FM AB ==所以2||1||8FM AB =，设():10l x my m =-≠与椭圆联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()222210m y my +--=， 由韦达定理得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，取AB 中点为222,22m D m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以AB 的中垂线方程为：2212:22DM m l x y m m m ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭， 令0y = ，得21,02M m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，所以221||2m MF m +=+， 又()()2222281||2m AB m +==+， 所以2222||121111=1(,)||818184FM m AB m m ⎛⎫+⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，综上所述2||11,||84FM AB ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．6.已知曲线C 的方程为2210()91y x x +<≤=，()()()0,3,0,3,1,0A B D --，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线5x =交于点M ，直线BP 与直线5x =交于点N ，则DMN 的面积可能为（ ） A ．73 B ．76C ．68D ．72【答案】ABD【解析】设()00,P x y ，则22002299919PA PBy y k k y x --⋅===--． 设(0)A p k k k =>，则9PB k k=-，直线AP 的方程为3y kx =-，则点M 的坐标为(5,53)k -，直线BP 的方程为93y x k =-+，则点N 的坐标为455,3k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．所以4545||53356624MN k k k k ⎛⎫=---+=+-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当455k k=，即3k =时等号成立． 从而DMN 面积的最小值为1246722⨯⨯=. 故选：ABD ．7.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M .点,P Q 是抛物线上不同的两点.下面说法中正确的是（ ）A ．若直线PQ 过焦点F ，则以线段PQ 为直径的圆与准线l 相切；B ．过点M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多两条； C ．对于抛物线内的一点(1,1)T ，则||||3PT PF +≥；D ．若直线PQ 垂直于x 轴，则直线PM 与直线QF 的交点在抛物线C 上. 【答案】ACD【解析】如图一：过P 作PA ⊥准线于A ，过Q 作QB ⊥准线于B ， 过PQ 中点C 作CD ⊥准线于D ，则()()111222CD PA QB PF QF PQ =+=+=， 故以线段PQ 为直径的圆与准线l 相切，A 正确；点M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线包括两条切线和x 轴所在直线，B 错误； 如图二：过P 作PA ⊥准线于A ，过T 作TH ⊥准线于H ，准线方程为2x =-，3PT PF PT PA HT +=+≥=，当,,H P T 共线时等号成立，C 正确；设2,8yP y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,8yQ y⎛⎫-⎪⎝⎭，()2,0M-，()2,0F，则直线PM：()2228yy xy=++，QF：()2228yy xy-=--，交点2003216,y y⎛⎫⎪⎝⎭，带入满足抛物线方程，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．8.已知F为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点，点()1,P m在C上，且PF x⊥轴，椭圆C的离心率为12,则椭圆C的方程为___________；若直线:2l y kx=+与椭圆C相交于A，B两点，且2OA OB⋅>（O为坐标原点），则k的取值范围为___________.【答案】22143x y+=2112,,2222⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】因为(c,0)F为椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点，点()1,P m在C上，且PF x⊥轴，所以1c=，又椭圆C的离心率为12，所以2a=，因此222413b a c=-=-=，所以椭圆C的方程为22143x y+=；设11(,)A x y，22(,)B x y，由222143y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)1640k x kx+++=，所以1221634k x x k +=-+，122434x x k =+， 故2212121212228(2)(2)2()4434k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=++， 由2OA OB ⋅>，得12122x x y y +>，即224284234k k-+>+， 整理得212k <，解得22k -<<； 又因2221616(34)0k k ∆=-+>，整理得214k >，解得12k >或12k <-；综上，k的取值范围是11,,2222⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:22143x y +=11,2222⎛⎫⎛--⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭. 9.已知双曲线2218:8x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF △的周长最小时，MAF △的面积为_________.【答案】12【解析】如图，设双曲线C 的右焦点为F '.由题意可得4040a F F '=-（，）,（，）. 因为点M 在右支上，所以2MF MF a '-==，所以MF MF '=+，则MAF △的周长为MA MF AF MA MF AF ''++=++≥+=即当M 在M '处时，MAF △的周长最小，此时直线AF '的方程为4y x =-+.联立224188y x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得10y -=，则1M y '=，故MAF △的面积为111'84112222M FF OA FF y ''-=⨯⨯-=（）. 故答案为：1210.已知过抛物线C ：28y x =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，连接OP 并延长，交抛物线C 于点Q ，则OP OQ的取值范围为________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】抛物线2:8C y x =的焦点(2,0)F ，直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y ，整理得：22224(2)40k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，3(Q x ，3)y ，则21224(2)k x x k ++=，则212022(2)2x x k x k ++==，004(2)y k x k =-=， 02022OQ y kk x k ∴==+， 则直线OQ 的方程为222k y x k =+，联立22228k y x k y x⎧=⎪+⎨⎪=⎩，解得：22322(2)k x k +=， 由20k >，则023||1||212x OP OQ x k +==<， 所以OP OQ的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题：本题共4小题，共40分。

§9.8抛物线考情考向分析抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有基础性的填空题，又有综合性较强的解答题．1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质概念方法微思考1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示过点F且与l垂直的直线．2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2．[P53练习T2]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则PQ ＝________. 答案 8解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，PQ ＝PF ＋QF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．[P51T3]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________． 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)． 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .4．[P74T14]若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是________． 答案 2解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.题组三 易错自纠5．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是________． 答案 y 2＝±42x解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)． 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .6．(2019·如皋调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在直线2x ＋y －2＝0上，则p 的值为________． 答案 2解析 直线2x ＋y －2＝0与x 轴的交点坐标为(1,0)， 所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，即p2＝1，p ＝2.7．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________． 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.题型一 抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________． 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4， 即PB ＋PF 的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求PB ＋PF 的最小值． 解 由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵PB ＋PF 的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)， ∴PB ＋PF ≥BF ＝22＋42＝25， 即PB ＋PF 的最小值为2 5.2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值． 解 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)． 点P 到y 轴的距离d 1＝PF －1， 所以d 1＋d 2＝d 2＋PF －1.易知d 2＋PF 的最小值为点F 到直线l 的距离， 故d 2＋PF 的最小值为|1＋5|12＋(－1)2＝32，所以d 1＋d 2的最小值为32－1. 命题点2 求标准方程例2 设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，MF ＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为________________． 答案 y 2＝4x 或y 2＝16x解析 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p 2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．跟踪训练1 (1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________． 答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离． 于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小， 显然，连结AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－(－1)]2＋(0－1)2＝ 5.(2)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的标准方程为________．答案 y 2＝3x解析 分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件BC ＝2BF ，得BC ＝2BB 1，所以∠BCB 1＝30°. 又AA 1＝AF ＝3， 所以AC ＝2AA 1＝6，所以CF ＝AC －AF ＝6－3＝3， 所以F 为线段AC 的中点． 故点F 到准线的距离为 p ＝12AA 1＝32， 故抛物线的标准方程为y 2＝3x .题型二 抛物线的几何性质例3 (1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝________. 答案233p 2解析 不妨设P 在第一象限，过Q 作QR ⊥PM ，垂足为R ，设准线与x 轴的交点为E ，∵直线PQ 的斜率为3，∴直线PQ 的倾斜角为60°.由抛物线焦点弦的性质可得PQ ＝PF ＋QF ＝p 1－cos 60°＋p 1＋cos 60°＝2p sin 260°＝83p .在Rt △PRQ 中，sin ∠RPQ ＝QRPQ ，∴QR ＝PQ ·sin ∠RPQ ＝83p ×32＝433p ，由题意可知MN ＝QR ＝433p ，∴S △MNF ＝12MN ·FE ＝12×433p ×p ＝233p 2.(2)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且P A ＝12AB ，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为________． 答案 53解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵P A ＝12AB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练2 (1)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________． 答案 94解析 由已知得焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫34，0， 因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0，解得y A ，B ＝123±(－123)2＋4×4×98＝33±62，即y A ＋y B ＝33，y A ·y B ＝－94，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12OF ·|y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二 联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0，即x A ，B ＝212± ⎝⎛⎭⎫－2122－4×9162＝214±27，故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有AB ＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38，因此S △OAB ＝12AB ·h ＝94.(2)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________. 答案433解析 经过第一象限的双曲线C 2的渐近线方程为y ＝33x .抛物线C 1的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线C 2的右焦点为F 2(2,0)．因为y ＝12p x 2，所以y ′＝1p x .所以抛物线C 1在点M ⎝⎛⎭⎫x 0，x 202p 处的切线斜率为33，即1p x 0＝33，所以x 0＝33p .因为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，F 2(2,0)，M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6三点共线，所以p 2－00－2＝p 6－p 233p －0，解得p ＝433.题型三 直线与抛物线例4 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的长是8，AB 的中点到x 轴的距离是3. (1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m 在y 轴上的截距为6，且与抛物线交于P ，Q 两点．连结QF 并延长交抛物线的准线于点R ，当直线PR 恰与抛物线相切时，求直线m 的方程．解 (1)设抛物线的方程是x 2＝2py (p >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义可知y 1＋y 2＋p ＝8， 又AB 的中点到x 轴的距离为3， ∴y 1＋y 2＝6，∴p ＝2， ∴抛物线的标准方程是x 2＝4y .(2)由题意知，直线m 的斜率存在，设直线m ：y ＝kx ＋6(k ≠0)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋6，x 2＝4y 消去y 得x 2－4kx －24＝0， ∴x 3,4＝4k ±16k 2＋24×42，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝4k ，x 3·x 4＝－24. (*)易知抛物线在点P ⎝⎛⎭⎫x 3，x 234处的切线方程为y －x 234＝x32(x －x 3)， 令y ＝－1，得 x ＝x 23－42x 3，∴R ⎝⎛⎭⎫x 23－42x 3，－1， 又Q ，F ，R 三点共线，∴k QF ＝k FR ，又F (0,1)，∴x 244－1x 4＝－1－1x 23－42x 3，即(x 23－4)(x 24－4)＋16x 3x 4＝0，整理得(x 3x 4)2－4[(x 3＋x 4)2－2x 3x 4]＋16＋16x 3x 4＝0， 将(*)式代入上式得k 2＝14，∴k ＝±12，∴直线m 的方程为y ＝±12x ＋6.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要联立直线与抛物线方程求解．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长AB ＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．③以弦AB 为直径的圆与准线相切．④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．跟踪训练3 (1)(2019·南京外国语学校阶段测试)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝________.答案 8解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过点(－2,0)且斜率为23的直线为3y ＝2x ＋4，联立直线与抛物线C ：y 2＝4x ， 消去x 可得y 2－6y ＋8＝0，解得y 1＝2，y 2＝4，不妨设M (1,2)，N (4,4)，FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)． 则FM →·FN →＝(0,2)·(3,4)＝8.(2)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________． 答案 2 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立得方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴NF ＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， MF ＝MN ＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.直线与圆锥曲线问题的求解策略例 (14分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 规范解答解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，14m .[2分] (2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.[4分](3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0(m >0)，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)＝8m ＋4>0恒成立， 方程必有两个不等实根．[6分]设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，∴x 1,2＝2±4＋8m 2m，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m. (*)∵P 是线段AB 的中点， ∴P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，mx 21＋mx 222，即P ⎝⎛⎭⎫1m ，y P ，∴Q ⎝⎛⎭⎫1m ，1m ，[9分] 得QA →＝⎝⎛⎭⎫x 1－1m ，mx 21－1m ， QB →＝⎝⎛⎭⎫x 2－1m ，mx 22－1m . 若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0， 即⎝⎛⎭⎫x 1－1m ·⎝⎛⎭⎫x 2－1m ＋⎝⎛⎭⎫mx 21－1m ⎝⎛⎭⎫mx 22－1m ＝0，[12分] 结合(*)式化简得－4m 2－6m＋4＝0， 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，∵m >0，∴m ＝2.∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[14分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：求出两根，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为________． 答案 5解析 依题意可知抛物线的准线方程为y ＝－1， ∴点A 到准线的距离为4＋1＝5， ∴点A 与抛物线焦点的距离为5.2．若抛物线y 2＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点，则实数a 的值为________．答案 1解析 抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点为(a 2＋3，0)，由题意，得a 2＋3＝2，解得a ＝1.3．动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为____________． 答案 x 2＝8y解析 ∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y .4．(2018·盐城模拟)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________． 答案 3解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 5．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是________． 答案 4 3解析 由抛物线的定义可得AF ＝AH ，∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°，∵AH 垂直于准线，∴∠F AH ＝60°，故△AHF 为等边三角形．设A ⎝⎛⎭⎫m ，m 24，m >0，过F 作FM ⊥AH 于M ，则在△F AM 中，AM ＝12AF ，∴m 24－1＝12⎝⎛⎭⎫m24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长AH ＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin 60°＝4 3.6．抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p ＝________. 答案 8解析 ∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切， ∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径． ∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6. 又∵圆心在OF 的垂直平分线上，OF ＝p2，∴p 2＋p4＝6，∴p ＝8.7．已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝－12，则抛物线C 的方程为________． 答案 y 2＝8x解析 由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋p2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＝my ＋p 2， 消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1,2＝2pm ±4p 2m 2＋4p 22，所以y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋p 2⎝⎛⎭⎫my 2＋p 2＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋pm 2(y 1＋y 2)＋p 24＋y 1y 2＝－34p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，即抛物线C 的方程为y 2＝8x .8．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－3)∪(0，＋∞)解析 由题意知k ≠0.因为直线l 与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1，即k 2＝t 2＋2t .由k 2>0，得t >0或t <－2，再把直线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是由Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，得t >0或t <－3.综上，实数t 的取值范围是t >0或t <－3.9．(2018·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________． 答案 6解析 由抛物线方程为y 2＝6x ，可知焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝⎛⎭⎫x －32， 当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝⎛⎭⎫－32，33， 因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33，可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫92，33， 根据抛物线的定义可知PF ＝P A ＝92－⎝⎛⎭⎫－32＝6. 10．(2018·南京模拟)已知直线l ：y ＝kx －k (k ∈R )与抛物线C ：y 2＝4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若2FM →＝MN →，则实数k ＝________. 答案 ±3解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，直线l ：y ＝kx －k 过抛物线的焦点．当k >0时，如图所示，过点M 作MM ′垂直于准线x ＝－1，垂足为M ′，由抛物线的定义，得MM ′＝MF ，易知∠M ′MN 与直线l 的倾斜角相等，由2FM →＝MN →，得cos ∠M ′MN ＝MM ′MN ＝12，则tan ∠M ′MN ＝3，∴直线l 的斜率k ＝3；当k <0时，可得直线l 的斜率k ＝－ 3.11．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且AB ＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0. 由题意知，Δ＝25p 2－16p 2＝9p 2>0，方程必有两个不等实根． 所以x 1,2＝5p ±3p8，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得AB ＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x . (2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0， 即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)， 则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且AB ＝8. (1)求l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标．解 (1)易知点F 的坐标为(1,0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)>0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1,2＝(2k 2＋4)±16(k 2＋1)2k 2，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，由抛物线定义知AB ＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214＝4y 2－y 1，∴直线BD 的方程为y ＋y 1＝4y 2－y 1(x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 21＝4x －4x 1，∵y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)，∴直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0，恒过点(－1,0)．13．如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且AF ＝4，则线段AB 的长为________．答案163解析 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，AD ＝AF ＝4，由F 是AC 的中点，知AF ＝2MF ＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF ＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，解得y 1＝23，所以A (3,23)，又F (1,0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得，3x 2－10x ＋3＝0，所以x 2＝13，AB＝x 1＋x 2＋p ＝163.方法二 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，AD ＝AF ＝4，由F 是AC 的中点，知AF ＝2MF ＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AF ＝x 1＋p 2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝163.方法三 如图所示，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 并交l 于点D ，由抛物线的定义知，AD ＝AF ＝4，由F 是AC 的中点，知AF ＝2MF ＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .因为1AF ＋1BF ＝2p ，AF ＝4，所以BF ＝43，所以AB ＝AF ＋BF ＝4＋43＝163.14.如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则：①若AB 的斜率为1，则AB ＝4；②(AB )min ＝2；③y M ＝－1；④若AB 的斜率为1，则x M ＝1；⑤x A ·x B ＝－4.以上结论正确的个数是________．答案 2解析 由题意得，焦点F (0,1)，对于①，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0， 所以y A ，B ＝6±422＝3±22，所以y A ＋y B ＝6，则AB ＝y A ＋y B ＋p ＝8，则①错误； 对于②，(AB )min ＝2p ＝4，则②错误； 因为y ′＝x 2，则l AM ：y －y A ＝x A2(x －x A )，即y ＝12x A x －x 2A4，l BM ：y －y B ＝x B 2(x －x B )，即y ＝12x B x －x 2B4，联立l AM 与l BM的方程得⎩⎨⎧y ＝12x A x －x 2A 4，y ＝12x Bx －x2B4，解得M ⎝⎛⎭⎫x A ＋x B 2，x A ·x B 4. 设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ，B ＝4k ±16k 2＋162＝2k ±2k 2＋1，所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，所以y M ＝－1，③和⑤均正确；对于④，当AB 的斜率为1时，x M ＝2，则④错误．15．已知曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15及点A ⎝⎛⎭⎫12，0，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直线l ：2x ＋1＝0的距离分别为AB 和AC ，则AB ＋AC ＝________. 答案 15解析 曲线G ：y ＝－x 2＋16x －15，即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C 为半圆M 与抛物线y 2＝2x 的两个交点，由y 2＝2x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)联立方程组得x 2－14x ＋15＝0，方程必有两个不等实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1,2＝14±(－14)2－15×42.所以AB ＋AC ＝x 1＋12＋x 2＋12＝14＋1＝15.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________． 答案 (2,4)解析 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2. 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1，即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23<y 0<23， 因为点M 在圆上，所以(x0－5)2＋y20＝r2，故r2＝y20＋4<12＋4＝16.又y20＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，所以4<r2<16，即2<r<4.。

第九章 平面解析几何 热点探究训练5 直线与圆的综合问题A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________. 【导学号：62172257】－43或－34 [由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.]2．若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________．(－∞，4) [圆的方程可变为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ， 可知圆心(1，－3)，且10－5a >0，即a <2. ∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称， ∴点(1，－3)在直线上，则b ＝－2. ∴a －b ＝2＋a <4.]3．已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为________．9 [直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行， ∴2n ＝m (n －1)， ∴m ＋2n ＝mn ，又m >0，n >0，得2m ＋1n＝1.∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n≥5＋22n m ·2mn＝9.当且仅当2n m ＝2mn时取等号．∴2m ＋n 的最小值为9.]4．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 [因l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则l 的斜率存在，设斜率为k ，所以直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0， 则圆心到l 的距离d ＝|3k －1|1＋k2. 依题意，得|3k －1|1＋k2≤1，解得0≤k ≤ 3. 故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.]5．若圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0上恰有两点到直线2x ＋y ＋c ＝0(c >0)的距离等于1，则c 的取值范围为________．(5，35) [圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径r ＝2，要使圆上恰有两点到直线2x ＋y ＋c ＝0(c >0)的距离为1，则1<|2－2＋c |4＋1<3，解得5<c <35或－35<c <－5，又c >0，故c 的取值范围为(5，35)．] 6．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为________. 【导学号：62172258】x －2y ＋3＝0 [当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小，k CM ＝－2，∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12，∴l 的方程为：x －2y ＋3＝0.]7．在圆x 2＋y 2＝4上与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离最小的点的坐标是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65 [过圆(0,0)与直线l 垂直的直线方程为3x －4y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝－65.结合图象(图略)可知所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65.]8．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是________．2＋52，2－52[如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45， 故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1，又AB ＝5，故△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.] 9．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为________．2 [圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )．化为：(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1.∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.∴ab 的最大值为2.]10．(2017·苏州模拟)设曲线C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线上的点到直线l 的距离为71010的点的个数为________．2 [由(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，得圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝3，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋－2＝710＝71010.要使曲线上的点到直线l 的距离为71010，此时对应的点在直径上，故有两个点．]二、解答题11．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)圆C 是否经过定点(与b 的取值无关)？证明你的结论.【导学号：62172259】[解] (1)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2＋2x ＋b ＝0是同一个方程，故D ＝2，F ＝b ；令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得E ＝－b －1，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.(2)圆C 必过定点(0,1)，(－2,1)．证明如下：原方程转化为(x 2＋y 2＋2x －y )＋b (1－y )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －y ＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.12．(2017·南京盐城二模)如图4，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C ，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C 相切的小道AB .图4问：A ，B 两点应选在何处可使得小道AB 最短？[解] 如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy .设A (a,0)，B (0，b )(0＜a ＜1,0＜b ＜1)， 则直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 因为AB 与圆C 相切，所以|b ＋a －ab |b 2＋a 2＝1.化简得 ab －2(a ＋b )＋2＝0，即ab ＝2(a ＋b )－2. 因此AB ＝a 2＋b 2＝a ＋b2－2ab＝a ＋b 2－a ＋b ＋4＝a ＋b －2.因为0＜a ＜1,0＜b ＜1，所以0＜a ＋b ＜2， 于是AB ＝2－(a ＋b )． 又ab ＝2(a ＋b )－2≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，解得0＜a ＋b ≤4－22或a ＋b ≥4＋2 2. 因为0＜a ＋b ＜2，所以0＜a ＋b ≤4－22，所以AB ＝2－(a ＋b ) ≥2－(4－22)＝22－2， 当且仅当a ＝b ＝2－2时取等号，所以AB 的最小值为22－2，此时a ＝b ＝2－ 2.即当A ，B 两点离道路的交点都为2－2百米/时，小道AB 最短．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22 [设∠PCA ＝θ，所以PQ ＝22sin θ. 又cos θ＝2AC，AC ∈[3，＋∞)，所以cos θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23， 所以cos 2θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，29，sin 2θ＝1－cos 2θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫79，1，所以sin θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫73，1，所以PQ ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2143，22.] 2．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为__________．4 [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．要使弦AB 最短，只需弦心距最大，根据图形知点P (1,3)到圆心的距离最大，则OP ＝10，圆的半径为14.∴AB min ＝2r 2－OP 2＝214－10＝4.]3．(2017·连云港、徐州、淮安、宿迁四市一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－3,4)，B (9,0)，若C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD .图5(1)若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2)证明：△OCD 的外接圆恒过定点(异于原点O )． [解] (1)因为A (－3,4)，所以OA ＝－2＋42＝5，又因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，由BD ＝4，得D (5,0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－17，所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2)证明：设C (－3m,4m )(0<m ≤1)，则OC ＝5m .则AC ＝OA －OC ＝5－5m ，因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4， 所以D 点的坐标为(5m ＋4,0)，又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，m ＋2＋m ＋D ＋F ＝0.解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0， 整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m (x ＋2y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以△OCD 的外接圆恒过定点为(2，－1)．4．(2017·南京模拟)已知在△ABC 中，点A ，B 的坐标分别为(－2,0)和(2,0)，点C 在x 轴上方．(1)若点C 的坐标为(2,3)，求以A 、B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程； (2)若∠ACB ＝45°，求△ABC 的外接圆的方程；(3)若在给定直线y ＝x ＋t 上任取一点P ，从点P 向(2)中圆引一条切线，切点为Q .问是否存在一个定点M ，恒有PM ＝PQ ？请说明理由．[解] (1)因为AC ＝5，BC ＝3，所以椭圆的长轴长2a ＝AC ＋BC ＝8， 又c ＝2，所以b ＝23，故所求椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)因为ABsin C＝2R ，所以2R ＝42，即R ＝2 2又圆心在AB 的垂直平分线上，故可设圆心为(0，s )(s >0)， 则由4＋s 2＝8，所以△ABC 的外接圆的方程为x 2＋(y －2)2＝8.(3)假设存在这样的点M (m ，n )，设点P 的坐标为(x ，x ＋t )，因为恒有PM ＝PQ ，所以(x －m )2＋(x ＋t －n )2＝x 2＋(x ＋t －2)2－8，即(2m ＋2n －4)x －(m 2＋n 2－2nt ＋4t ＋4)＝0，对x ∈R ，恒成立，从而⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋2n －4＝0，m 2＋n 2－2nt ＋4t ＋4＝0，消去m ，得n 2－(t ＋2)n ＋(2t ＋4)＝0. 因为方程判别式△＝t 2－4t －12，所以①当－2<t <6时，因为方程无实数解，所以不存在这样的点M ；②当t ≥6或t ≤－2时，因为方程有实数解，且此时直线y ＝x ＋t 与圆相离或相切，故此时这样的点M 存在．。

所以A→M·A→N＝A→C·A→N＝－5；
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
则由yx＝＋k3yx＋＋61＝，0， 得 N－13＋k－3k6，1－＋53kk，
则A→N＝1－＋53k，1－＋53kk， 所以A→M·A→N＝A→C·A→N＝1－＋53k＋－ 1＋153kk＝－5. 综上，A→M·A→N与直线 l 的倾斜角无关，且A→M·A→N＝－5. 【精要点评】一般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题 时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑 直线的斜率存在与不存在两种情况．
知圆 C：x2＋y2－6x＋5＝0，点 A，B 在圆 C 上，且 AB＝2 3，
那么|O→A＋O→B|的最大值是____8____．
【解析】设弦 AB 的中点为 M，则O→A＋O→B＝2O→M.又圆 C：
(x－3)2＋y2＝4，AB＝2 3，从而 CM＝ 4－3＝1，因此|O→M|max ＝3＋1＝4，所以|O→A＋O→B|max＝8.
2. (必修2P115复习题20改编)若集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}， N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，当M∩N＝N时，实数r的 取值范围是__________．(0,2－ 2]
【解析】集合 M 表示以原点为圆心、2 为半径的圆面， 集合 N 表示以(1,1)为圆心、r 为半径的圆面．因为 M∩N＝N， 所以点集 N 全部含在 M 中，作图可知当且仅当圆 x2＋y2＝4 与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2 内切时，r 最大，此时 r＝2－ 2，所 以 r∈(0,2－ 2].
4. (必修 2P117 练习 23 改编)若直线 y＝x＋b 与曲线 x＝ 1－y2 恰 有 一 个 交 点 ， 则 实 数 b 的 取 值 范 围 是 __{_b_|－___1_<_b_≤__1_或___b_＝__－___2_}___．