最全圆锥曲线知识点总结

高中数学椭圆的知识总结

1.椭圆的定义：

平面内一个动点P 到两个定点12,F F 的距离之和等于常数（12122PF PF a F F +=>），这个动点P 的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

注意：若1212PF PF F F +=，则动点P 的轨迹为线段12F F ；若1212PF PF F F +<，则动点P 的轨迹无图形.

（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b

y a x （222

a b c =+）⇔{

cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时22

22b

x a y +＝1（0a b >>）。

2. 椭圆的几何性质：

（1）椭圆（以

122

22=+b

y

a x （0a

b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)

c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点

(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ； ④离心率：c

e a

=，椭圆⇔01e <<，e

越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。⑥

（2）.点与椭圆的位置关系：①点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200

221x y a b

+>；

②点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b

y a x +＝1；③点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200

221x y a b +<

3．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交：0∆>⇔直线与椭圆相交；（2）相切：0∆=⇔直线与椭圆相切； （3）相离：0∆<⇔直线与椭圆相离；

如:直线y ―kx ―1=0与椭圆

22

15x y m

+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______； 4.焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）

5.弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则AB ＝2

121k

x x +-，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则AB ＝2121

1y y k

-+

，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB ＝2

121k

y y +-。

6.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

122

22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0

202y a x b ； 如（1）如果椭圆

22

1369

x y +=弦被点A （4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ； （2）已知直线y=－x+1与椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在

直线L ：x －2y=0上，则此椭圆的离心率为_______；

（3）试确定m 的取值范围，使得椭圆13

42

2=+y x 上有不同的两点关于直线m x y +=4对称；

特别提醒：因为0∆>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称

问题时，务必别忘了检验0∆>！

椭圆知识点的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。

确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义

椭圆标准方程中，c b a ,,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：

)0(>>b a ，)0(>>c a ，且)(222c b a +=。

可借助右图理解记忆：

c b a ,,恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边，b 、c 为两条直角边。 3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置

椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x ，2

y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4．方程均不为零）C B A C By Ax ,,(2

2

=+是表示椭圆的条件

方程C By Ax =+2

2

可化为

122=+C

By C Ax ，即12

2=+B

C By A C x ，所以只有A 、B 、C 同号，且A ≠B 时，方程表示椭圆。当

B C A C >时，椭圆的焦点在x 轴上；当B

C

A C <时，椭圆的焦点在y 轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：

①待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数c b a ,,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，则c 相同。与椭圆122

22=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为

12

222=+++m

b y m a x )(2

b m ->，此类问题常用待定系数法求解。 7．判断曲线关于x 轴、y 轴、原点对称的依据：

① 若把曲线方程中的x 换成x -，方程不变，则曲线关于y 轴对称； ② 若把曲线方程中的y 换成y -，方程不变，则曲线关于x 轴对称；

③ 若把曲线方程中的x 、y 同时换成x -、y -，方程不变，则曲线关于原点对称。 8．如何求解与焦点三角形△PF 1F 2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？

思路分析：与焦点三角形△PF 1F 2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦

定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin 2

1

21PF F PF PF S F PF ∠⨯⨯=∆相结合的

方法进行计算解题。

将有关线段2121F F PF PF 、、，有关角21PF F ∠ (21PF F ∠≤21BF F ∠)结合起来，建立

21PF PF +、21PF PF ⨯之间的关系. 9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(<<=

e a

c

e ，因为222b a c -=，0>>c a ，用b a 、表示为)10()(12<<-=e a

b

e 。

显然：当a b 越小时，)10(<

b

越大，)10(<

椭圆形状越趋近于圆。

题型1:椭圆定义的运用

例1.已知1,F F 为椭圆22

1259

x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B +=，则AB =______.

例2.如果方程2

2

2x ky +=表示焦点在x 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.

例3.已知P 为椭圆

22

12516

x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为

题型2： 求椭圆的标准方程

例1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)

经过两点2),(A B --；

(2)经过点(2，－3)且与椭圆2

2

9436x y +=具有共同的焦点；

(3)

一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4. 题型3:求椭圆的离心率

例1、ABC ∆

中，30,2,o

ABC

A A

B S ∠===若以,A B 为焦点的椭圆经过点

C ，则椭圆的

离心率为 .

例2、过椭圆的一个焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P ，若 12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为

题型4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

例1.已知实数,x y 满足22

142

x y +=,则22x y x +-的范围为 例2.已知点,A B 是椭圆22

221x y m n

+=（0,0m n >>）上两点,且AO BO λ=,则λ=

题型5：焦点三角形问题

例1.已知12,F F 为椭圆22

194

x y +=的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 为一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >,求

1

2

PF PF 的值. 例2.已知12,F F 为椭圆C:22

184

x y +=的两个焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点的个数为 . 例3.已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -,且离心率1

e 2

= ① 求椭圆的方程; ② 设点P 在椭圆上,且121=-PF PF ,求cos 21PF F ∠.