正弦定理的几种证明方法
1.利用三角形的高证明正弦定理
（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有
=sin CD a B ,sin CD b A =。
由此，得
sin sin a
b
A
B =
，
同理可得
sin sin c
b
C
B
=
，
故有
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.从而这个结论在锐角三角形中成立.
（2）当∆ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 =
∠sin sin a
b
A
ABC ，
同理可得
=
∠sin sin c
b
C
ABC
故有
=
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
由(1)(2)可知，在∆ABC 中，
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
成立.
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C =
.
1’用知识的最近生长点来证明：
实际应用问题中，我们常遇到问题：
已知点A ，点B 之间的距｜AB|，可测量角A 与角B ，
a
b D
A
B
C
A
B C D
b
a
需要定位点C ，即：
在如图△ABC 中，已知角A ，角B ，｜AB ｜＝c ，
求边AC 的长b
解：过C 作CD?AB 交AB 于D ，则
推论：
sin sin b c
B C
= 同理可证：
sin sin sin a b c
A B C
== 2.利用三角形面积证明正弦定理
已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为D.则Rt △ADB 中,AB
AD
B =
sin ,∴AD=AB·sinB=csinB.
∴S △ABC =B ac AD a sin 21
21=•.
同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 2
1
sin 21=.
∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2
1
sin 21sin 21==.
∴absinc=bcsinA=acsinB,
在等式两端同除以ABC,可得
b
B
a A c C sin sin sin =
=.即
C
c
B b A a sin sin sin =
=. 3.向量法证明正弦定理
(1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与CB 的夹角为90°-C .
由向量的加法原则可得
AB CB AC =+,
为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量
D
C B
A
积运算,得到AB j CB AC j •=+•)(
由分配律可得AB j CB j AC •=•+.
B
∴|j |
AC Co s90°+|j |CB Co s(90°-C )=|j |AB Co s(90°-A ).
j
∴asinC=csinA.∴C
c
A a sin sin =
. A
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 的夹角为90°+B ,可得
B
b
C c sin sin =
.
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j 与AC
的夹角为
90°-C ,j 与
AB 的夹角为90°-B )
∴
C
c
B b A a sin sin sin =
=.
(2)△ABC 为钝角三角形,不妨设A ＞90°,过点A 作与AC 垂直的单位向量j ,则j 与AB 的
夹角为A -90°,j 与CB 的夹角为90°-C .
由AB CB AC
=+,得j ·AC
+j ·CB =j ·AB ,
j 即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A -90°),∴asinC=csinA.
∴
C
c
A a sin sin =
另外,过点C 作与CB 垂直的单位向量j ,则j 与AC 的夹角为90°+C ,j 与AB 夹角为
90°+B .同理,可得
C
c
B b sin sin =
.∴
C
c
B b simA a sin sin =
= 4.外接圆证明正弦定理
A
C
C
B
A
