采用交替投影算法重构超声信号

第１９卷第２期　２００６年６月　振　动　工　程　学　报　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｖｏ１．１９　Ｎｏ．２　Ｊｕｎ．２００６　

采用交替投影算法重构超声信号　

李　书，陈　益　

（北京航空航天大学飞机设计研究所，北京１０００８３）　

摘要：建立了超声探测缺陷回波的数学模型，讨论了信号奇异性同其小波变换之间的关系以及通过小波变换模极　大值精确重构原信号的原理和方法，利用Ｍａｌｌａｔ的交替投影算法对仿真的超声信号进行了精确重构和对实际检测　到的超声信号进行了消噪处理。结果表明，利用小波变换模极大值重构信号的交替投影算法来重构超声信号，重构　精度高，实现速度快，用于处理染噪信号，消噪效果好，是一种较为理想的处理超声信号的方法。　

关键词：小波变换；模极大值；超声信号；交替投影算法；奇异性　中圈分类号：ＴＧ１１５．２８　文献标识码：Ａ　文章编号：１００４—４５２３（２００６）０２—０２０６—０６　

引　言　

超声检测是目前国内外最为实用有效、应用最　为广泛的无损检测技术，人们更多的是利用现代数　字信号处理技术来对超声信号进行处理，而小波变　换正是一种理想的处理超声信号这种时变非稳态脉　冲信号的方法［１］。　

在信号处理中，人们总希望能提取反映信号特　征的信息，而信号的剧烈变化点（奇异点）处通常携　带有反映信号特征的重要信息，所以人们关注能否　

用信号的奇异点表征和重构原信号。最初Ｌｏｇａｎ证　明了窄带信号的过零点可以完整地表征原信号　，　但重构不稳健，难以实际应用。此后有很多学者都在　这方面展开了研究工作［３　］。而信号小波变换的奇　异点（极值点和过零点）和信号的剧烈变化处有着密　切的联系。由信号二进小波变换的奇异点在多尺度　

上的表示来表征和重构信号，是小波变换的一个重　要应用领域［６卅］。Ｍａｌｌａｔ采用信号二进小波变换模　极大值来表征信号，并且提出了用信号二进小波变　换模极大值重构信号的交替投影算法　，实验证明，　该算法具有良好的逼近特性，能精确地重构原信号。　

由于其在信号的数据压缩和信号去噪等方面的良好　应用前景，也引起了工程界的广泛关注　ｎ］。本文　

建立了超声回波信号的数学模型，讨论了信号奇异　性同其小波变换之间的关系以及通过小波变换模极　大值精确重构原信号的原理和方法，应用Ｍａｌｌａｔ的　

交替投影算法对超声信号进行了精确的重构，并利　

收稿日期：２００５—０６—０８；修订日期：２００５—１２—２６　基金项目：凡舟科研基金资助　用交替投影算法对两个实际的超声检测信号进行了　

消噪处理，消噪效果良好。　

１超声回波数学建模　

在宽带超声检测中，超声回波信号通常是一个　被探头中心频率调制的宽带信号，超声缺陷回波的　

数学模型可建立如下　。　厂（ｔ）一ｈ（ｔ）ｅｏｓ（２＝ｆｏｔ＋　（１）　

式中厂０为探头的中心频率；Ｂ。确定厂（ｔ）的带宽；　超声脉冲信号的功率谱通常被建模为Ｇａｕｓｓｉａｎ函　数　¨］，考虑包络ｈ（ｔ）为Ｇａｕｓｓｉａｎ函数时，式（１）变为　

厂（ｆ）一ｅ—ｘｐ—（　－　ｔＺ　／４一Ｂｏ）ＣＯＳ（２７ｃｆｏｔ＋　（２）　√４７ｃＢ。　

即超声缺陷回波的数学模型是Ｇａｕｓｓｉａｎ函数经过调　制得到的。考虑，ｕ（ｆ）ｅｘｐ（ｉ　（厂））为噪声　（ｔ）的频域　建模Ⅳ（厂）时，则系统接受到的信号频域表达式为　

洲　Ｉ争　Ｉ　蔓　一　

厂０一　１　ｌ＋，ｕ（ｆ）ｅｘｐ（ｉ　（厂））　（３）　

２小波变换检测信号奇异性　

信号中所包含的信息主要体现在信号的瞬变点　或瞬变的区域中，信号的瞬变程度常用信号的奇异　性来描述，而Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ指数（李氏指数）则是描述信　

号奇异性的重要指数，其定义如下　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　李　书，等：采用交替投影算法重构超声信号　２０７　

对于任意给定信号厂（ｆ），若存在常数Ｋ＞０及　

一　］阶的多项式户　（ｆ），使得对于任意ｔ　ｌ厂（ｆ）一户“（ｆ）ｌ≤Ｋ　ｌｔ—ｔ。ｌ　（４）　

称厂（ｆ）在ｔ。处具有李氏指数口。　李氏指数口和信号厂（ｆ）在ｔ。或在区间［口，６］上　

的可微性有关，用来衡量信号厂（ｆ）在此处的可微程　度。若厂（ｆ）在此处的导数阶次越高，相应的ａ越大，　

反映在信号的特征上，ｆ（ｔ）在此处越平滑；若ｆ（ｔ）　在此处的李氏指数小于１，则信号在此处是不可微　的，也就是奇异的。　设　（ｆ）ＥＬ　（Ｒ）（　（Ｒ）表示平方可积的实数空　间，即能量有限的信号空间），其傅立叶变换为　（　）。当　（　）满足相容性条件　

ｃ　一　ｄ　＜。。　㈣　

时，称　（ｆ）为一个基本小波或母小波。将母函数　（ｆ）　经过伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。对于　连续的情况，小波序列为　

一　）　Ｒ㈤　

式中ａ为伸缩因子，ｂ为平移因子。　

用。表示卷积操作，则对于任意的函数厂（ｆ）Ｅ　

Ｌ　（Ｒ），它的连续小波变换为　Ｗｏ，　厂（ｆ）一厂。　．　（ｆ）　（７）　

假定　（ｆ）是一个低通函数，且高阶可微，令　“　（ｆ）一ｄＯ（ｔ）／ｄｔ，　（ｆ）一ｄ２０（ｔ）／ｄｔ　，贝Ｕ　

Ｉ　“　（ｔ）ｄｔ一０，Ｉ　（ｔ）ｄｔ一０　（８）　

所以，　“　（ｆ）和　（ｆ）是带通函数，它们可以作为小　

波母函数使用，定义　

￡（ｆ）一｛　ｆ—ｔ　１　（９）　

则对于任意的函数厂（ｆ）ＥＬ　（Ｒ），有　

ｆ）一厂ｏ（ｓ　ｄｅ，）∽一　

ｊ　（１０）　Ｕ（厂。　）（ｆ）　

厂ｏ（８２警　一　

ｒ｛２　（１１）　ｓ　（厂。　）（ｆ）　

式（１０），（１１）两式说明对信号平滑（即通过一个　低通滤波器）后求一阶或二阶导数等效于直接用该　

平滑函数（即低通函数　（ｆ））的一阶或二阶导数来滤　波。此等效过程还可以推广到　（ｆ）的更高阶导数，如　

信号ｆ（ｔ）通过０（ｆ）后求户阶导数等效于直接让　厂（ｆ）通过　（ｆ）一ｄｐＯ（ｔ）／ｄｔ　。从数学的角度，一个　函数的一阶导数等于零的点对应于该函数的极值　点，而二阶导数等于零的点对应于该函数的拐点，即　

转折点。这样，如果用于小波变换的小波函数是来自　于某一个低通函数的一阶导数或二阶导数，那么小　波变换的结果将体现出信号的极值点或转折点。　

信号中常见的瞬变有两种，一是边缘的突变，这　相当于在该处叠加了一个阶跃信号；另一个是峰值　的突变，这相当于在该处叠加了一个冲激信号。这两　种情况分别对应了信号的极值点和转折点，它们统　

称为信号的奇异点。显然，这些奇异点一般都可以在　其小波变换的幅值中反映出来，即或是对应小波变　换的过零点，或是对应小波变换的峰值点。具体的　说，用　“　（ｆ）对厂（ｆ）做小波变换，其等于零的点反　映了厂（ｆ）的极值，因此可以实现极值点的检测；用　姑　（ｆ）对ｆ（ｔ）做小波变换，其等于零的点反映了　

厂（ｆ）的转折点，从而可实现转折点的检测。　

３小波变换模极大值与李氏指数　

设厂（ｆ）ＥＬ　（Ｒ），并且厂（ｆ）在ｔ。处具有李氏指　

数口≤　，　ＥＺ　为小波　（ｆ）的消失矩的阶数，则存在　常数　使得［　

ｌ　／。（ｆ）ｌ≤　（口。＋ｌｔ—ｔ。ｌ。）　ａ　Ｅ　Ｒ　，ｔ　Ｅ　Ｒ　

（１２）　成立。考虑厂（ｆ）在ｔ。处有一个奇异点的情况，很容　易想象，厂（ｆ）在ｔ。处的奇异点将不会影响到整个尺　度时间平面上的小波变换，而主要影响该平面上围　绕ｔ。的一个小的范围。该范围成为ｔ。的影响锥。假　

定所使用的小波　（ｆ）具有紧支撑，支撑范围是［ｃ，　ｃ］，那么　．　（ｆ）的支撑范围是［ｆ一　，ｔ＋ｃｎ］，所谓　

影响锥，是指尺度时间平面上使得ｔ。包含在　，　（ｆ）　范围内所有点的集合。所以，ｔ。的影响锥为　ｌｔ—ｔ０　ｌ≤Ｃａ　（１３）　

将式（１３）带人式（１２）可得　ＩＷｏｆ（ｔ）Ｉ≤Ａ　ａ。　（１４）　

在二进制小波变换中，令ａ一２　，对式（１４）两边取以　２为底的对数，有　ｌ　。／。（ｆ）ｌ≤ｌｂＡ＋ｊａ　（１５）　由上式可知，对于任意的信号厂（ｆ），有　１）若ｔ。处的李氏指数口＞０，那么小波变换的模　极大值随着尺度　的增大而增大；　

２）若ｔ。处的李氏指数ａｄＯ，那么小波变换的模　极大值随着尺度　的增大而减小；　３）若ｔ

。处的李氏指数ａ＝０，那么小波变换的模　维普资讯 http://www.cqvip.com ２０８　振　动　工　程　学　报　第ｌ９卷　

极大值不随尺度　的变化而变化。　

４小波变换模极大值重构信号　

设信号厂（￡）∈Ｌ　（尺），其二进小波变换为　

｛Ｗ　厂（￡）｝ｊｅｚ，二进小波变换在｛ｔ：｝　∈ｚ处取得局部模　极大值ｌＷ￣ｆ（ｔｊ）Ｉ。为了通过小波变换模极大值重　构原信号厂（￡），假定有一个信号集合ｈ（￡），该集合　

中信号的小波变换和厂（￡）的小波变换具有相同的　模极大值。显然，希望在某一准则下在ｈ（￡）中选取　

一个信号来最佳地逼近厂（￡）。记ｈ（￡）的小波变换为　

｛　（￡）｝　∈　，则ｈ（￡）必须满足以下两个条件：　１　对应每一个尺度　，在所有的模极大值横坐　

标｛ｔ：｝　∈ｚ处，都应有　Ｉ　旃（￡：）Ｉ—ＩＷ　厂（￡：）Ｉ　（１６）　

２对应每一个尺度　，｛　＾（￡）｝ｊｅｚ的局部模　

极大值都应位于模极大值横坐标｛ｔ：｝　ｅｚ处。　

对于条件１，由于对于任意的点ｔ。有　

Ｗ￣ｆ（ｔ。）一厂。　２　（￡。）一　，．、　＜ｆ（￡），　２　（　一ｔ）＞　

所以条件１等价于　＜ｈ（￡），　２　（　一￡）＞一＜厂（￡），　２　（　一￡）＞　

（１８）　设ｕ为函数族｛　（　一￡））　，　∈ｚ所张成的　

（尺）的闭子空间，所以函数ｈ（￡）满足式（１８）的充　分必要条件是ｈ（￡）在　上的正交投影等于厂（￡）在　上的正交投影。　记０为　在Ｌ　（尺）中的正交补空间，即　

ｏ　０　Ｕ—Ｌ　（Ｒ）　（１９）　取ｇ（￡）∈０，则有　ｈ（￡）一ｆ（￡）＋ｇ（￡）　（２Ｏ）　由此可见，只有０一｛０｝时，才有ｈ（￡）一厂（￡），而在一　

般情况下，０≠｛０｝，所以条件１下ｈ（￡）并不能唯一　确定ｆ（￡）。　对于条件２，这是一个很难实现的要求。要求　

｛　ｚ旃（￡）｝』∈ｚ的局部极值点都位于模极大值横坐标　｛ｔ：｝　∈ｚ处，Ｍａｌｌａｔ提出了一个近似的方法，其思路　

是：条件１确定了｛　＾（￡）｝』∈　在｛ｔ　｝　∈　处取模极大　

值，但不强求｛　（￡）｝』∈　在其他的横坐标处没有　

模极大值，把条件２修改为要求Ｉ　（￡）Ｉ　在其他　

点上的平均值尽可能为最小。｛　（￡）｝』∈　模极大　值点数的多少取决于其振荡情况，为了使　

｛　ｚ　＾（￡）｝ｊ∈ｚ在｛ｔＪ｝　∈ｚ以外有尽可能少的模极大值　

点，除了要求ｌｌ　Ｗｅｂ（￡）　最小外，还需要求｛　（￡）｝　∈　导数的能量也最小。为此，引入Ｓｏｂｏｌｅｖ范　

数［¨］　

…　ｌ２＝ｊ￣ｚ　ｌ　ＩＩ　Ｗｅｂ∽　

（２１）　该范数将两个最小都包括了进去。通过式（２１）求解　出使得　ｈ　ｌｌ　Ｉ　为最小的Ｗｅｂ（￡），就可以得到　

厂（￡）的最佳逼近ｈ（￡），采用交替投影方法求解。　

５信号重构的交替投影算法　

令　是Ｌ　（尺）上所有信号的二进小波变换所　

组成的空间，令Ｋ是序列ｇ　（￡）所组成的空间，ｇ　（￡）　

满足　

…ｇＩｌ　Ｉ２＝　ＩＩ　ｇｊ∽　ｎ　ｎ　ｏ。　』∈Ｚ　一’　ｚ一　（２２）　

显然，Ｋ二＝）　。对比式（２１）可知，序列ｇ』（￡）应是某一　个序列的小波变换。令ｒ是空间Ｋ上的一个闭包，