中南大学考试试卷（A 卷）
2015 - 2016学年上学期 时间110分钟
《机械振动基础》 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭 卷 专业年级： 机械13级 总分100分，占总评成绩 70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上
1、简述机械振动定义，以及产生的内在原因。 （10分） 答：机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。（5分） 产生机械振动的内在原因是系统本身具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。（5分）
2、简述随机振动问题的求解方法，随机过程基本的数字特征包括哪些？ （10分） 答：随机振动问题只能用概率统计方法来求解，只能知道系统激励和相应的统计值（5分）。 随机过程基本的数字特征包括：均值、方差、自相关函数、互相关函数。（5分）
3、阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？ （10分） 答：阻尼消耗振动系统的能量，它使自由振动系统的振动幅值快速减小（5分）。增加黏性阻尼量，可使指针快速回零位（5分）。
4、简述求解周期强迫振动和瞬态强迫振动问题的方法。 （10分） 答：求解周期强迫振动时，可利用傅里叶级数将周期激励力转化为简谐激励力，然后利用简谐激励情况下的周期解叠加，可以得到周期强迫振动的解（5分）。求解瞬态强迫振动的解时，利用脉冲激励后的自由振动函数，即单位脉冲响应函数，与瞬态激励外力进行卷积积分，可以求得瞬态激励响应（5分）。周期强迫振动和瞬态强迫振动，也可以通过傅里叶积分变换、拉普拉斯积分变换来求解。
5、如图1所示，系统中质量m 位于硬质杆2L （杆质量忽略）的中心，阻尼器的阻尼系数为c ，弹簧弹性系数为k ，
（1）建立此系统的运动微分方程； （5分） （2）求出临界阻尼系数表示式； （5分） （3）阻尼振动的固有频率表示式。 （5分） 答：（1）可以用力矩平衡方法列写平衡方程，也可以用能量方法列写方程，广义坐标可以选质
量块的垂直直线运动，也可以选择杆的摆角，以质量块直线运动坐标为例，动能21
2
T E mx =，
势能2
1(2)2U k x =，能量耗散212D cx =，由222,,T T ij ij ij i j i j i j
E D U m c k x x x x x x ∂∂∂===
∂∂∂∂∂∂，得到：40mx cx kx ++=；
（2
）e c ==
（3
）d n ω==
6、如图2所示系统，两个圆盘的直径均为r ，设I 1=I 2=I ，k 1=k 2=k ，k 3=3k ，
（1）选取适当的坐标，求出系统动能、势能函数； （5分） （2）求出系统的质量矩阵、刚度矩阵； （5分） （3）写出该系统自由振动时运动微分方程。 （5分）
图1 图2
答：（1）取θ1, θ2,x 位描述系统运动的广义坐标，即：{X }={θ1, θ2,x }T ，各个自由度的原点均取静平衡位置，分别以顺时针方向旋转、垂直向下为坐标正方向。
222222112211212321111111111
;()()()2222222222
T E I I mx U k r k r r k x r θθθθθθ=++=++++；
（注：如果同学将r 当成半径，或者注明r 为半径，可不扣分）
（2）2
2
;;T ij ij i j i j
E U
m m x x x x ∂∂==∂∂∂∂2
21
22211024001
30
0;420
3032
kr
kr I M I K kr kr kr m kr k ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎣
⎦
。 （3）{0};MX KX +=其中，12{,
,}T X x θθ=。
7、如图3所示，由一弹簧是连接两个质量1m ，2m 构成的系统以速度v 撞击制动器1k ，求1m 与2m 之间弹簧k 所受到的最大压缩力。设v 为常数且弹簧无初始变形，并设12m m =与12k k =。(30分）
图3
答：设1m ，2m 的坐标1()x t ，2()x t 向左运动为正方向，碰撞时刻为原点。碰撞后，按照线性系统规律运动。
1031;;{0}011
1M m K k MX KX -⎡⎤⎡⎤
==+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
（5分）
系统固有频率：
12ωω=
=（5分）
振型：
1112212211;
11u
u U u u ⎡⎤⎡⎤==⎥⎢⎥⎣⎦⎦
（5分）
系统振动的初始条件：
11220;;0x x v x x v ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭
（5分）
按照振型叠加法求解：
1111211122222122sin()sin()x u u c t c t x u u ωϕωϕ⎧⎫⎧⎫⎧⎫
=-+-⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭
（2分）
将初始条件代入可以得到：
1212120;0;;;22v v c c ϕϕωω===
=
（3分）
得到解：
12121211sin sin ;221111cos cos ;
22211v v X t t v v X t t ωωωωωω⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪
=
+⎬⎨⎬+
⎪
⎪⎪
⎭⎩⎭
⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪
=+⎨
⎬⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎭⎩
⎭
求弹簧k 的压缩量
21()()x x t x t ∆=-最大值，令
0d
x dt
∆=，得到：
121
2
sin sin 22x t t ωωωω∆=
-
；
12()0d
x t t dt ωω
∆=-=
1212
212112
cos cos 0;cos cos ;2;
2sin sin ;t t t t t t t t t ωωωωωπωπ
ωωωω-===-=-=
+
12111
2
1
2
11212
max()sin sin sin sin 2222112()sin 2x t t t t
ωωωωωωωωωπωωωω∆=
-
=
+
=
++
（4分）
因此，1m 与2m 之间弹簧k 所受到的压缩力的最大值：
