微积分(一)综合测试1

第一章综合测试一、选择题（本大题共10小题，共50分）1.已知集合{}15A x x =≤＜，{}3B x a x a =-+＜≤.若()B A B ⊆，则a 的取值范围为（ ）A .312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B .32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，C .()1-∞-，D .32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 2.已知集合M ，P 满足MP M =，则下列关系中：①M P =；②M P ；③M P P =；④P M ⊆.一定正确的是（ ）A .①②B .③④C .③D .④3.有下列四个命题：①{}0是空集；②若a ∈N ，则a -∉N ； ③集合{}2210A x x x =∈-+=R 有两个元素； ④集合6B x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭N N 是有限集. 其中正确命题的个数是（ ）A .0B .1C .2D .34.下列命题中，真命题的个数是（ ）①若a b ＞，0c ＜，则c c a b＞②“1a ＞，1b ＞”是“1ab ＞”的充分不必要条件 ③若0a ＜，则12a a+≤-④命题：“若1xy ≠，则1x ≠或1y ≠” A .1 B .2 C .3 D .45.“关于x 的不等式220x ax a -+＞对x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）A .01a ＜＜B .01a ≤≤C .102a ＜＜ D .1a ≥或a ≤06.已知集合65M a a a +⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z ，且，则M 等于（ ） A .{}23， B .{}1234，，， C .{}1236，，， D .{}1234-，，， 7.已知集合{}220A x x x =--＜，B 是函数()2lg 1y x =-的定义域，则（ ）A .AB = B .A B ⊂C .B A ⊂D .A B =∅8.已知集合401x A x x ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭≤，()(){}2210B x x a x a =---＜，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A .()2+∞， B .{}[)12+∞， C .()1+∞， D .[)2+∞，9.已知集合{}2340A x x x =--＜，()(){}20B x x m x m =-⎡-+⎤⎣⎦＞，若AB =R ，则实数m 的取值范围是（ ） A .()1-+∞， B .()2-∞， C .()12-， D .[]12-，10.不等式23208kx kx +-＜对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） A .()30-， B .(]30-， C .[]30-， D .()[)30-∞-+∞，，二、填空题（本大题共4小题，共20分）11.已知集合{}2021A a a =-，，，{}519B a a =--，，，且()9A B ∈，则a =________. 12.已知集合{}2280P x x x =--＞，{}Q x x a =≥，若P Q Q =，则实数a 的取值范围是________.13.命题:p x ∀∈R ，20x ax a ++≥，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是________.14.若全集U =R ，集合{}24M x x =＞，103x N x x ⎧⎫+=⎨⎬-⎩⎭＜，则M N =________.三、解答题（本大题共7小题，共80分）15.设集合{}2320A x x x =-+=，集合()(){}()222150B x x a x a a =+++-=∈R .（1）若{}1AB =，求实数a 的值；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围.16.设集合{}2230A x x x =+-＜，集合{}10B x x a a =+＜，＞，命题:p x ∈A ，命题:p x ∈B .（1）若p 是q 的充要条件，求正实数a 的值；（2）若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求正实数a 的取值范围.17.已知集合{}30A x x a =-＞，{}260B x x x =--＞.（1）当3a =时，求A B ，A B ；（2）若()AC B ≠∅R ，求实数a 的取值范围.18.设集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}220C x x mx =-+=，且A B A =，A C C =，求实数a ，m 的取值范围.19.已知二次函数()()20f x ax ax c a =-+≠，且不等式()2f x x ＞的解集为()12，. （1）求函数()f x 的解析式（2）若()f x x d +≥在x ∈R 时恒成立，求实数d 的取值范围.20.（1）已知()22f x x bx c =-++，不等式()0f x ＞的解集是()13-，，求b 的值.（2）若对于任意[]10x ∈-，，不等式()4f x t +≤恒成立，则实数t 的取值范围是多少？21.已知函数()()223f x x a x =+--.（1）若函数()f x 在[]24-，上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[]11x ∈-，时，不等式()24f x m x +-＞恒成立，求实数m 的范围.第一章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】解：由条件得()B AB ⊆，又因为()A B B ⊆， 所以A B B =，即有B A ⊆.①当B =∅，有3a a -+≥，解得：32a -≤； ②当B ≠∅，有3135a a a a -+⎧⎪-⎨⎪+⎩＜≥＜，解得：312a --＜≤. 综上，实数a 的取值范围为：312⎛⎤-- ⎥⎝⎦，. 2.【答案】B【解析】解：已知集合M ，P 满足M P M =，则P M ⊆，故④正确，①错误，②错误；由P M ⊆可得MP P =，故③正确. 3.【答案】B【解析】解：①{}0不是空集，故①不正确；②若a ∈N ，当0a =时，a -∈N ，故②不正确； ③集合{}{}22101A x x x =∈-+==R ，只有1个元素，故③不正确； ④集合{}61236B x x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭N N ，，，，是有限集，故④正确. 故选B.4.【答案】C【解析】解：若a b ＞，0c ＜，则()c b a c c a b ab -=-可知，当0ab ＞时，有c c a b ＞；当0ab ＜时，有c c a b＜.故①是假命题；②若1a ＞，1b ＞时，有1ab ＞；反之不一定，比如取2a =-，3b =-，有61ab =＞成立，但不满足1a ＞，1b ＞，所以“1a ＞，1b ＞”是“1ab ＞”的充分不必要条件.故②是真命题；③若0a ＜，则()12a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭≥，当且仅当1a =-时等号成立，所以有12a a +≤-.故③是真命题；④命题：“若1xy ≠，则1x ≠或1y ≠”的逆否命题为“若1x =且1y =，则1xy =”，是真命题，所以原命题亦为真命题.故④是真命题.5.【答案】B【解析】：若关于x 的不等式220x ax a -+＞，x ∈R 恒成立可得2440a a -＜，解得01a ＜＜，所以“关于x 的不等式220x ax a -+＞，x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是01a ≤≤.6.【答案】D 【解析】解：因为集合65M a a a +⎧⎫⎧=∈∈⎨⎨⎬-⎩⎩⎭N Z ，且， 所以5a -可能值为1，2，3，6，所以对应a 的值为4，3，2，1-，所以集合{}1234M =-，，，. 7.【答案】C 【解析】解：{}{}22012A x x x x x =--=-＜＜＜，要使函数()2lg 1y x =-有意义，则210x -＞，解得11x -＜＜，即集合{}11B x x =-＜＜， 所以B A ⊂.8.【答案】B 【解析】解：集合{}40141x A x x x x ⎧⎫-==-⎨⎬+⎩⎭≤＜≤， ()221210a a a -=-+∵≥，212a a +∴≥， 当212a a +=即1a =时，()(){}2210B x x a x a =---=∅＜此时，满足已知A B =∅，当212a a +＞即1a ≠时，()(){}{}2221021B x x a x a x a x a =---=+＜＜＜若A B =∅，则24a ≥或211a +-≤，解得2a ≥.∴实数a 的取值范围是{}[)12+∞，9.【答案】C 【解析】解：集合{}()234014A x x x =--=-＜，，集合()(){}()()2082B x x m x m m m =-⎡-+⎤=-++∞⎣⎦＞，，， 若A B =R ，则124m m -⎧⎨+⎩＞＜ 解得：()12m ∈-，. 10.【答案】A【解析】解：当0k =时不等式308-＜符合题意；当0k ≠时，由一元二次不等式23208kx kx +-＜对一切实数x 都成立， 则2034208k k k ⎧⎪⎨⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎪⎝⎭⎩＜＜， 解得30k -＜＜. 综上，满足一元二次不等式23208kx kx +-＜对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(]30-，二、11.【答案】5或3-【解析】解：()9A B ∈；9A ∈∴；219a -=∴，或29a =；5a =∴，或3a =±；①5a =时，{}0925A =，，，{}049B =-，，，满足条件；②3a =时，{}229B =--，，，不满足集合元素的互异性； ③3a =-时，{}079A =-，，，{}849B =-，，，满足条件； 故答案为5或3-.12.【答案】()4+∞，【解析】解：由集合{}2280P x x x =--＞解得{}24P x x x =-＜或＞，由P Q Q =，得Q P ⊆，{}Q x x a =∵≥，4a ∴＞，故实数a 的取值范围是()4+∞，. 13.【答案】{}04a a ≤≤【解析】解：∵命题p 为真命题，即20x ax a ++≥在R 上恒成立，则240a a ∆=-≤，解得04a ≤≤，故实数a 的取值范围是{}04a a ≤≤.14.【答案】()23， 【解析】解：{}()(){}{}2422022M x x x x x x x x ==-+=-＞＞＞或＜，()(){}{}10130133x N x x x x x x x ⎧⎫+==+-=-⎨⎬-⎩⎭＜＜＜＜，{}{}{}221323M N x x x x x x x =--=∴＞或＜＜＜＜＜三、15.【答案】解：（1）由题意知：{}{}232012A x x x =-+==，，{}1A B =∵，1B ∈∴，将1带入集合B 中得：()()212150a a +++-=，解得：3a =-或1a =，当时3a =-，集合{}14B =，符合题意；当1a =时，集合{}14B =，-，符合题意，综上所述：3a =-或1a =；（2）若A B A =，则B A ⊆，{}12A =∵，，B =∅∴或{}1B =或{}2或{}12，，①若B =∅，则()()2221450a a ∆=+--＜，解得214a -＜；②若{}1B =，则()21121115a a ⎧+=-+⎪⎨⨯=-⎪⎩，无解；③若{}2B =，则()22221225a a ⎧+=-+⎪⎨⨯=-⎪⎩，无解；④若{}12B =，，则()21221125a a ⎧+=-+⎪⎨⨯=-⎪⎩，无解. 综上214a -＜. 16.【答案】解：{}()223031A x x x =+-=-＜，，()11B a a =---，， （1）p ∵是q 的充要条件，A B =∴，即13110a a a --=-⎧⎪-=⎨⎪⎩＞，解得2a =.（2）q ⌝∵是p ⌝的必要不充分条件，p ∴是q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A 的真子集， 13110.a a a ---⎧⎪-⎨⎪⎩≥，∴＜，＞或13110.a a a ---⎧⎪-⎨⎪⎩＞，≤，＞解得02a ＜＜，即正实数a 的取值范围是()02，. 17.【答案】解：由30x a -＞得3a x ＞，所以3a A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭＞， 由260x x --＞，得()()23x x +-＞0，解得2x -＜或3x ＞，所以{}23B x x x =-＜或＞（1）当3a =时，{}1A x x =＞， 所以{}3A B x x =＞，{}21A B x x x =-＜或＞. （2）因为{}23B x x =-＜或＞，所以{}23C B x x =-R ≤≤.又因为()A C B ≠∅R ，所以33a ＜，解得9a ＜. 所以实数a 的取值范围是()9-∞，. 18.【答案】解：{}{}232012A x x x =-+==，． 因为A B A =，所以B A ⊆，所以B 可能为∅，{}1，{}2，{}12，，因为()()()224120a a a ∆=---=-≥，所以B ≠∅，又因为()()2111x ax a x x a -+-=-⎡--⎤⎣⎦，所以B 中一定有1，所以11a -=或12a -=，即2a =或3a =.经验证2a =，3a =均满足题意；又因为A C C =，所以C A ⊆， 所以C 可能为∅，{}1，{}2，{}12，. 当C =∅时，方程220x mx -+=无解，所以28m ∆=-＜0，所以m -＜当{}1C =时，m 无解；当{}2C =时，m 也无解；当{}12C =，时，3m =.综上所述，2a =或3a =；m -＜3m =.19.【答案】解：（1）二次函数()()20f x ax ax c a =-+≠，且不等式()2f x x ＞的解集为()12，， 则()220ax a x c -++＜的解集为()12，， 即方程()220ax a x c -++=的两个根为1和2，且0a ＞， 由根与系数关系可得：212a a ++=，12c a⨯=， 解得1a =，2c =，故函数()f x 的解析式为()22f x x x =-+；（2）若()f x x d +≥在x ∈R 时恒成立，则222x x d -+≥在x ∈R 时恒成立，由于()2222111x x x -+=-+≥，故1d ≤.高中数学 必修第一册 11 / 11 20.【答案】解：（1）由不等式()0f x ＞的解集是()13-，，可知1-和3是方程220x bx c -++=的根， 即2232b c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，，解得46b c =⎧⎨=⎩，， 所以4b =（2）由（1）可知()2246f x x x =-++.所以不等式()4f x t +≤可化为2242t x x --≤，[]10x ∈-，. 令()2242g x x x =--，[]10x ∈-，， 由二次函数的性质可知()g x 在[]10x ∈-，上单调递减， 则()g x 的最小值为()02g =-，则2t -≤.所以实数t 的取值范围为(]2-∞-，. 21.【答案】解：（1）函数()f x 的对称轴为22a x -=-， 又函数()f x 在[]24-，上是单调函数，242a --∴≥或222a ---≤， 解得6a -≤或6a ≥.∴实数a 的取值范围为(][)66-∞-+∞，，； （2）当5a =，[]11x ∈-，时，()24f x m x +-＞恒成立，即21x x m ++＞恒成立，令()21g x x x =++，()min g x m ＞恒成立，函数()g x 的对称轴[]1112x =-∈-，， ()min 1324g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴，即34m ＞， m ∴的范围为34⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，.。

图1图2图3图4 图5图6图7八年级数学下册第一章综合测试卷-北师大版（含答案）一、填空题1. 如图1，等边△ABC 的周长是9，D 是AC 边上的中点，E 在BC 的延长线上．若DE= BD,则CE 的长为_ ．2.下列命题是真命题的是_________.①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形． ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形． ④三个外角都相等的三角形是等边三角形．3.如图2，△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且AE=CD=BF ，则△DEF 为_____三角形.4.如图3，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若BC =4，则BE+ BF=____________．5. 如图4，已知AB ＝AC ＝BC ＝AD,則∠BDC ＝_________.6. 如图5，已知ΔABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，垂足为E ，若DE ＝2cm ，则BC ＝_____cm .7.如图6所示，∠A ＝60°，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，BD 与CE 相交于点H ，HD ＝1，HE ＝2，则BD ＝ ，CE ＝ ．8.利用反证法证明：垂直于同一条直线的两条直线平行。

第一步应先假设： 。

二、选择题1． 如图7，△ABC 是等边三角形，点D 在AC 边上，∠DBC=35°，则∠ADB 的度数为( )A ．25°B ．60°C ．85°D ．95°2．下列每组三角形中，不一定全等的是（ ） A.有一个角是60°且腰长相等的两个等腰三角形 B.周长相等的两个等边三角形C.有一个角是100°，腰长相等的两个等腰三角形图8图9图10图11D.有两条边分别相等的两个等腰三角形3.以下叙述中不正确的是( )．A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线；B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形；C．等腰三角形一定是锐角三角形；D．在一个三角形中，如果有两条边相等，那么它们所对的角也相等；反之，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等．4.△ABC中三边为a、b、c，满足关系式（a－b）（b－c）（c－a）＝0，则这个三角形一定为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．等腰钝角三角形D．等腰直角三角形5.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°6.如图8，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．127.如图9,给出下列四组条件：①AB=DE, BC=EF, AC=DF; ②AB=DE,∠B=∠E, BC=EF;③∠B=∠E,BC=EF, ∠C=∠F;④AB=DE, AC=DF,∠B=∠E;其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A. 1组B. 2组C. 3组D. 4组8.如图10所示，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则下列结论不一定正确的是（）A.∠1=∠2B.BD=CDC.∠B=∠CD.AB=2BD9.如图11所示，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（）A.45°B.55°C.60°D.75°10．已知点P在∠AOB的平分线上，∠AOB=60°，OP=10cm，那么点P到边OA，OB的距离分别是（）A．5cm、53cm B．5cm、5cm C．4cm、5cm D．5cm、10cm三、解答题1．如图12．在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC．图12图13图15 图14（1）试判定△ODE 的形状，并说明理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．2.如图13等边△ABC ，P 为BC 上一点，含30°、60°的直角三角板60°角的顶点落在点P 上，如图，当P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状.3. 如图14，已知B 、C 、E 三点共线，，都是等边三角形，连结AE 、BD 分别交CD 、AC 于N 、M ，连接MN. 求证：AE ＝BD ，MN ∥BE.4、如图15所示，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，AD 、BE 相交于点P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ ．ABC ∆DCE ∆5. 如图16，已知点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC.(1)求证：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分线AF交BE于F，FD∥BC交AC于D，设AB=6，AC=10，求DC的长；(3)若BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，且FD∥BC交AC于点D，连接FC，则△DFC是什么三角形？为什么？图166.如图17，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点（不与原点O重合），以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．（1）求点B的坐标；（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求P点的坐标．图17参考答案第一章一、填空题1. 2. ①④ 3. 等边4. 2 5. 150° 6. 12 7. 5、4 8.略二、选择题1. Ｄ2. Ｄ3. Ｃ4. Ｂ5.Ｂ．6.Ｃ7.Ｃ8.Ｄ9.Ｃ10.Ｂ 三、解答题1. （1）△ODE 是等边三角形，其理由是：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE ＝∠ABC ＝60°，∠OED ＝∠ACB ＝60°∴△ODE 是等边三角形； （2）答：BD ＝DE ＝EC ，理由：∵OB 平分∠ABC ，且∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝∠OBD ＝30°，∵OD ∥AB ，∴∠BOD ＝∠ABO ＝30°，∴∠DBO ＝∠DOB ，∴DB ＝DO ， 同理，EC ＝EO ，∵DE ＝OD ＝OE ，∴BD ＝DE ＝EC ．2. 解：∵PE ⊥AB ，∠B ＝60°， 因此直角三角形PEB 中，BE ＝BP ＝BC ＝PC ，∴∠BPE ＝30°，∵∠EPF ＝60°， ∴FP ⊥BC ，∵∠B ＝∠C ＝60°，BE ＝PC ，∠PEB ＝∠FPC ＝90°，∴△BEP ≌△CPF ，∴PE ＝PF ，∵∠EPF ＝60°，3. 证明：，都是等边三角形 ∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠1＝∠3＝60° ∠1＋∠2＋∠3＝180°∴∠2＝60°∴∴△BCD ≌△ACE （SAS ）∴BD ＝AE （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） ∴△BMC ≌△ANC （ASA ）∴MC ＝NC （全等三角形对应边相等） ∵∠2＝60°∴△MCN 是等边三角形∴∠6＝60°，∴∠6＝∠1 ∴MN ∥BE （内错角相等，两直线平行）4．证明：∵ △ABC 为等边三角形， ∴ AC ＝BC ＝AB ，∠C ＝∠BAC ＝60°．∴ △ACD ≌△BAE(SAS)．∴ ∠CAD ＝∠ABE ．∵ ∠CAD ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°，∴ ∠ABE ＋∠BAP ＝60°，∴ ∠BPQ ＝60°． ∵ BQ ⊥AD ，∴ ∠BQP ＝90°，∴ ∠PBQ ＝90°－60°＝30°，∴ BP ＝2PQ ． 5.（1）证明：∵ ∠AEB=∠ABC ， 且∠AEB=∠EBC ＋∠C ，∠ABC=∠EBC ＋∠ABE ， ∴ ∠321213ABC ∆DCE ∆ ECA BCD ∠=∠54∠=∠EBC＋∠C＝∠EBC＋∠ABE，∴∠ABE＝∠C；（2）解：∵∠BAE的平分线AF交BE于F，∴∠BAF＝∠DAF，∵FD∥BC交AC于D，∴∠ADF＝∠C，∵∠ABE＝∠C，∴∠ADF＝∠ABE，即∠ADF＝∠ABF，∵AF＝AF，∴△BAF≌△DAF，∴AD＝AB＝6,∴DC＝AC－AD＝10－6＝4.（3）解：△DFC是等腰三角形.理由是：过点F分别作FH⊥AB，FN⊥BC，FM⊥AC，易证：△AFH≌△AFM（AAS），从而知FH＝FM，△BFH≌△BFM（AAS），从而知FH＝FN，∴FM＝FN，又FC＝FC，可证Rt△CFM≌Rt△CFN（HL）∴∠MCF＝∠NCF，∵FD∥BC，∴∠DFC＝∠BCF，∴∠DFC＝∠MCF，∴DF＝DC，∴△DFC是等腰三角形.6（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，∵△AOB为等边三角形，且OA=2，∴∠AOB=60°，OB=OA=2，∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，∴BC=OB=1，OC=，∴点B的坐标为B（，1）；（2）∠ABQ=90°，始终不变．（3）∵△APQ、△AOB均为等边三角形，∴AP=AQ、AO=AB、∠PAQ=∠OAB，∴∠PAO=∠QAB，∴△APO≌△AQB，∴∠ABQ=∠AOP=90°；（3）当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，∵AB∥OQ，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．OB=OA=2，BQ=，由（2）可知，△APO≌△AQB，∴OP=BQ=，∴此时P的坐标为（﹣，0）．。

选择性必修第一册综合测试（基础）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案。

每题5分，8题共40分）1．直线0x y -=的倾斜角为（）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．135︒【答案】A【解析】由题意直线斜率为1，而倾斜角大于或等于0︒且不大于180︒，所以倾斜角为45︒．故选：A ．2．已知双曲线()222:1016x y C b b-=>的焦距为10，则双曲线C 的渐近线方程为（）A ．916y x =±B ．169y x =±C ．43y x =±D ．34y x=±【答案】D【解析】双曲线C的焦距为10=，所以29b =，所以双曲线C 的渐近线方程为34y x =±，故选：D ．3．“01t <<”是“曲线2211x y t t+=-表示椭圆”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为曲线2211x y t t +=-为椭圆，所以0101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得01t <<且12t ≠，所以“01t <<”是“01t <<且12t ≠”的必要而不充分条件.故选：B4．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若23AE x AB yBC z AP =++，则x y z ++等于（）A ．1B ．1112C ．116D ．2【答案】B【解析】因为()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE =++=++=++- ，所以2AE AB BC AP =++ ，所以111222AE AB BC AP =++ ，所以111,2,3222x y z ===，解得111,,246x y z ===，所以11111++24612x y z ++==，故选：B.5．已知非零向量324a m n p =-- ，(1)82b x m n y p =+++ ，且m 、n 、p 不共面．若//a b，则x y +=（）．A ．13-B ．5-C ．8D ．13【答案】B【解析】//a b 且0a ≠ ，∴b a λ=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=-- ，又m 、n 、p 不共面，∴138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得13x =-，8y =，5x y +=-.故选：B .6．已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF 是等腰三角形，且120A ∠= ，则1ABF 的周长为（）A8B．)41C8D．)22【答案】A【解析】由双曲线2221(0)4x y b b-=>可得2a =．设2AF m =，2BF n =．则1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，所以14AF m =+，14BF n =+．因为1ABF 是等腰三角形，且120A ∠=︒，所以1AF AB =，即4m m n +=+，所以4n =，所以18BF =，4AB m =+，在1ABF 中，由余弦定理得2221112|cos BF AF AB AF AB A =+-⨯⨯⨯，即()()()22221844242m m m ⎛⎫=+++-+⨯- ⎪⎝⎭，所以()23464m +=，解得43m =-，1ABF ∴ 的周长44m m n n=+++++()828m n =++=+．故选：A ．7．已知双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A 、B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）.A ．312⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()12，C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()2+∞，【答案】B【解析】将x c =-代入22221x y a b -=可得2by a=±，所以以AB 为直径的圆的半径为2b r a =，圆心为(),0c -，圆的方程为()4222ab xc y ++=，右顶点为(),0a ，因为双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆外，所以()2240a c ab ++>，整理得2220a ac c +->，即220e e --<，解得12e -<<，因为1e >，所以12e <<.故选：B .8．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),((0,2,1)B D E x BD ED x ==-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k = ，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =1t s x ==+，所以平面BDE的一个法向量(m x =+，底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，cos |cos ,|m n α=<>当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小，当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大.故选：D.二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．对抛物线24x y =，下列描述不正确的是()A ．开口向上，焦点为()0,1B ．开口向上，焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭，C ．开口向右，焦点为()10，D ．开口向右，焦点为1016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】因为抛物线的标准方程为24x y =，所以24p =，2p =，开口向上，因此抛物线的焦点为()0,1，准线为1y =-.故A 正确，BCD 都错.故选：BCD.10．三棱锥A BCD -中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为12,n n ，若12,3n n π<>=，则二面角A BD C--的大小可能为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】BC 【解析】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，∴二面角A BD C --的大小可能为3π或233πππ-=.故选：BC.11．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F ，则下列结论正确的是（）A ．C 的渐近线上的点到F 距离的最小值为4B ．C 的离心率为54C ．C 上的点到F 距离的最小值为2D ．过F 的最短的弦长为323【答案】AC【解析】由题意知，26,210a c ==，即3,5a c ==，因为222b c a =-，所以225916b =-=，解得4b =，所以右焦点为F 为()5,0，双曲线C 的渐近线方程为43y x =±，对于选项A ：由点F 向双曲线C 的渐近线作垂线时，垂线段的长度即为C 的渐近线上的点到F 距离的最小值，由点到直线的距离公式可得，4d =，故选项A 正确；对于选项B ：因为3,5a c ==，所以双曲线C 的离心率为53ce a ==，故选项B 错误；对于选项C ：当双曲线C 上的点为其右顶点()3,0时，此时双曲线C 上的点到F 的距离最小为2，故选项C 正确；对于选项D ：过点F 且斜率为零的直线与双曲线的交点为()(),3,03,0A B -，此时为过点F 的最短弦为6AB =，故选项D 错误.故选：AC12．已知圆C ：2220x y x +-=，点A 是直线3y kx =-上任意一点，若以点A 为圆心，半径为1的圆A 与圆C 没有公共点，则整数k 的值可能为（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】ABC【解析】圆C 的方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心()1,0C ，半径为1，由题意可得，圆心()1,0C 到直线30kx y --=（k Z ∈）的距离大于2，2>，求得3333k ---+<<，∴2k =-或-1或0.故选：ABC.三、填空题（每题5分，4题共20分）13．已知直线:10l x y -+=与圆22:4210C x y x y +--+=交于,A B 两点，则||AB =________【答案】【解析】圆22:4210C x y x y +--+=可化为22(2)(1)4x y -+-=即圆心坐标为(2,1)，半径2r =圆心到直线:10l x y -+=的距离d ===故||AB ===故答案为：14．若()2,3,5a =- ，()3,1,4b =--，则2a b -= ________.【解析】∵2a b -r r()8,5,13=-，∴2a b -= =15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是11A B 的中点，F 是1BB 上的动点，1AB ，DF 交于点E ，要使1AB ⊥平面1C DF ，则线段1B F 的长为________.【答案】12【解析】设1B F x =，因为1AB ⊥平面1C DF ，DF ⊂平面1C DF ，所以1AB DF ⊥，由已知可得11A B =，设11Rt AA B △斜边1AB 上的高为h ，则12DE h =，又1111111122AA B S A B AA AB h =⋅=⋅ ，即11222h =，所以h =DE =在1Rt DB E 中，16B E =因为11111122DB F S B E DF DB B F =⋅=⋅ ，所以112622x ⨯=⨯，解得12x =.故答案为：12.16．已知12,F F 为椭圆221123x y+=的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，且12PF tPF =，则t 的值为________．【答案】7.【解析】∵原点O 是F 1F 2的中点，∴PF 2平行y 轴，即PF 2垂直于x 轴∵c =3，∴|F 1F 2|=6，设|PF 1|=x ，根据椭圆定义可知2PF x =∴22)36x x -+=，解得2x =，∴|PF 2|=2，∵|PF 1|=t |PF 2|，∴t =7.四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．如图，四边形ABCD 中，满足//AB CD ，90ABC ∠=︒，1AB =，BC =，2CD =，将BAC 沿AC 翻折至PAC △，使得2PD =.（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ【解析】（Ⅰ）过B 作BO AC ⊥，垂足为O ，连PO ，DO ，则PO AC ⊥，作DE AC ⊥，垂足为E，则DE =12OE =，2DO =所以222PO DO PD +=，即PO OD ⊥又AC DO O ⋂=，所以PO ⊥平面ACD ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ACD；（Ⅱ）以O 为坐标原点，OC ，BO 所在的直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系则1,0,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,0,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12D ⎛⎫⎪⎝⎭，P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()AD =，12AP ⎛= ⎝⎭设平面PAD 的法向量为(,,)n a b c =，则1020AP n a AD n a ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩取法向量)1,1n =--r，()CD =-设直线CD 与平面PAD 所成角为θ，则sin cos ,5CD n θ=<>=.18．已知椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)的四个顶点组成的四边形的面积为(12，.过椭圆右焦点F 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）1)y x =-.【解析】（1）四边形的面积为1222a b ⨯⨯=ab =，又点(1在C ：22221x y a b +=上，则221112a b +=，∴22a =，21b =，∴椭圆的方程为2212x y +=；（2）由（1）可知椭圆C 的右焦点(10)F ，，①当直线l 无斜率时，直线l 的方程为1x =，则(1A 、(1B ，OA OB ⊥不成立，舍，②当直线l 有斜率时，设直线方程为将(1)y k x =-，代入椭圆方程，整理得2222(12)42(1)0k x k x k +-+-=，F 在椭圆内，0∆>恒成立，设11()A x y ，、22()B x y ，，则2122412k x x k +=+，21222(1)12k x x k -⋅=+，又221212122[()1]12k y y k x x x x k ⋅=⋅-++=-+，121200OA OB OA OB x x y y ⊥⇒⋅=⇒⋅+⋅=，即2222222(1)20121214k k k k k k ---==+++，解得k =则直线l 的方程为：1)y x =-.19．如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，60ADC ︒∠=，直角梯形ADFE 所在的平面垂直于平面ABCD ，且90EAD ︒∠=，222AE AD DF CD ====.（1）证明：平面ECD ⊥平面ACE ；（2）点M 在线段EF 上，试确定点M 的位置，使平面MCD 与平面EAB 【答案】（1）证明见解析；（2）点M 为线段EF 中点【解析】（1）因为平面ABCD ⊥平面ADFE ，平面ABCD 平面ADFE AD =，EA AD ⊥，EA ⊂平面ADFE ，所以EA ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以EA CD ⊥，在△ADC 中，1CD =，2AD =，60ADC ︒∠=，由余弦定理得，AC ==，所以222AC CD AD +=，所以CD AC ⊥.又CD EA ⊥，AE AC A = ，所以CD ⊥平面ACE ，又CD ⊂平面ECD ，所以平面ECD ⊥平面ACE ；（2）以C 为坐标原点，以CA ，CD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,0)C，A，1,02B ⎫-⎪⎪⎝⎭，(0,1,0)D，E ，(0,1,1)F，1,02AB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0,0,2)AE = ，(0,1,0)CD =，1,1)FE =- ，(0,1,1)CF =，设,,)(01)FM FE λλλλ==-，则,1,1)CM CF FM λλ=+=-+ .设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z = ，则00m AB m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11110220y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，取11x =，得(1,m = .设平面MCD 的一个法向量为()222,,n x y z = ，由00n CD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得21220(1)(1)0y x y z λλ=⎧⎪+-++=，令21x λ=+，得(10)n λ=+ ，，因为平面MCD 与平面EAB所以|||cos ,|4||||m n m n m n ⋅<>==⋅ ，整理得28210λλ--=，解得12λ=或14λ=-（舍去），所以点M 为线段EF 中点时，平面MCD 与平面EAB20．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点()M ,9m 到其焦点的距离为10.（1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且抛物线在,A B 两点处的切线分别交x 轴于,P Q 两点，求AP BQ ⋅的取值范围.【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）[)2,+∞【解析】（Ⅰ）已知(),9M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到准线的距离为10.∵抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =.（Ⅱ）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为()0,1F ，则l ：1y kx =+.设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=，∴124x x k +=，124x x =-.由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且1'2y x =，则PA ：()2111142x y x x x -=-.令0y =，解得112x x =，∴11,02P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而AP =同理可得，BQ =∴AP BQ ⋅===∵20k ≥，∴AP BQ ⋅的取值范围为[)2,+∞.21．已知三条直线1:20(0)l x y a a -+=>，直线2:4210l x y --=和直线3:10l x y +-=，且l 1和l 2的距离是（1）求a 的值.（2）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的12；③P 点到l 1的距离与P 点到l 3P 点坐标；若不能，请说明理由.【答案】（1）a=3；（2）能，1(9，3718.【解析】（1）2l ：1202x y --=，1l ∴与2l的距离1|()|210a d --=．∴1||210a +=．17||22a ∴+=．0a > ，3a ∴=．（2）设点0(P x ，0)y ，若P 点满足条件②，则P 点在与1l 、2l 平行的直线:20l x y C '-+=上，1||2C +=132C =或116C =，0013202x y ∴-+=或0011206x y -+=；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，=，即0000|23||1|x y x y -+=+-，00240x y ∴-+=或0320x +=．由P 在第一象限，0320x ∴+=不可能．应舍去联立方程0013202x y -+=和00240x y -+=，解得03x =-，012y =，不满足题意，由0011206x y -+=，00240x y -+=，解得019x =，03718y =．1(9P ∴，37)18即为同时满足三个条件的点．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在y 轴上的圆C 经过两点()0,2M 和()1,3N ，直线l 的方程为y kx =.（1）求圆C 的方程（2）过点()1,0-作圆C 切线，求切线方程（3）当1k =时，Q 为直线l 上的点，若圆C 上存在唯一点P满足PO =，求点Q 的坐标【答案】（1）()2231x y +-=；（2）1x =-或4340x y -+=；（3）(22Q或(22.【解析】（1）设圆的方程为()222(0)x y b r r +-=>，将M ，N 坐标代入，得：()()2222220213b r b r ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得31b r =⎧⎨=⎩所以圆的方程为()2231;x y +-=（2）当切线斜率不存在时，直线1x =-与圆相切；当切线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =+，即0kx y k -+=，由圆心()0,3到直线的距离1d ==，解得43k =，故切线方程为4340x y -+=，综上，切线方程为1x =-或4340x y -+=.()3设(),Q t t ，(),P x y=，化简得()()222224x t y t t -+-=，此圆与圆C 相切，21t±，解得2t =所以(22Q +或(22.。

综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。