初中数学相似三角形专项练习题：A字型相似2(附答案)

专题01 相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8 (X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线) ， 这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。

模型1. “A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“A ”字模型 条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC.2）反“A ”字模型 条件：如图2，∠AE D ＝∠B ；结论：△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AEF ∽△ABC ，△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AG BD CD AD ==例1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．例2．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，在三角形纸片ABC 中，C Ð3BC =，若沿AB 的垂直平分线的长为 ．例3．（2021·山东菏泽·中考真题）如图，在ABC V 中，AD BC ^，垂足为D ，5AD =，10BC =，四边形EFGH 和四边形HGNM 均为正方形，且点E 、F 、G 、H 、N 、M 都在ABC V 的边上，那么AEM △与四边形BCME 的面积比为______．例4.（2023.绵阳市九年级期中）如图，在ABC D 中，点,E F 分别在,AB AC 上，且AE AB AF AC=．（1）求证：AEF ABC D D ；（2）若点D 在BC 上，AD 与EF 交于点G ，求证：EG FG BD CD =．模型2. “X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD ＝OA OC ＝OB OD.2）反“8”字模型条件：如图2，∠A ＝∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD ＝OA OD ＝OB OC .3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE BE AB DF CF CD==4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3＝∠4.例1．（2022·广东·九年级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为边AD 的中点，连接AC ，BE 交于点F ．若△AEF 的面积为2，则△ABC 的面积为( )A ．8B ．10C ．12D ．14例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（ ）A ．DH CH FH BH =B ．GE CG DF CB =C ．AF HG CE CG =D ．=FH BF AG FA例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB V 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12×=×S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S值．例4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ，则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG··=··=．请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB××=．(2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．模型3. “AX ”字模型（“A 8”模型）【模型解读与图示】图1 图2 图31）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△DEF ∽△CBF ⇔AD AE DE DF FE AB AC BC FC BF ====2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF +=.3）四“A ”一“8”模型条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG+==；结论：AF =AG 例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC V 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（ ）A ．AD AE DB EC =B ．DE DF BC FC =C ．DE AE BC EC =D ．EF AE BF AC =例2．（2020·浙江·杭州启正中学九年级期中）如图，ABC V 中，中线AD ，BE 交于点F ，//EG BC 交AD 于点G ．（1）求AG GF的值．（2）如果BD =4DF =，请找出与BDA V 相似的三角形，并挑出一个进行证明．例3.（2023·安徽·九年级期中）图，AB GH CD ∥∥，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，AB ＝2，CD ＝3，求GH 的长．例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．（1）如图①，若四边形ABCD 为矩形，过点O 作OE ⊥BC ，求证：OE ＝CD ．（2）如图②，若AB ∥CD ，过点O 作EF ∥AB 分别交BC 、AD 于点E 、F ．求证：＝2．（3）如图③，若OC 平分∠AOB ，D 、E 分别为OA 、OB 上的点，DE 交OC 于点M ，作MN ∥OB 交OA 于一点N ，若OD ＝8，OE ＝6，直接写出线段MN 长度．课后专项训练1．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（ ）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC V 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12Ð=Ð．若4BC =，2AF =，3CF =，则EF =______．3．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且2AE DE =，BD 与CE 相交于点F ，若DEF V 的面积是3，则BCF △的面积是______．4．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G 为△ABC 的重心，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，具有性质：AG ：GD ＝BG ：GE ＝CG ：GF ＝2：1．已知△AFG 的面积为3，则△ABC 的面积为 _____．5．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，在ABC D 中，点,D E 分别在边,BA BC 上，且32AD CE DB EB ==，DBE D 与四边形ADEC 的面积的比为__________．6．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，矩形ABCD 中，5AB =，4BC =，点E 是AB 边上一点，3AE =，连接DE ，点F 是BC 延长线上一点，连接AF ，且12F EDC Ð=Ð，则CF =_________．7．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，过点B 作BD CB ^，垂足为B ，且3BD =，连接CD ，与AB 相交于点M ，过点M 作MN CB ^，垂足为N ．若2AC =，则MN 的长为__________．8．（2021·湖南郴州·中考真题）下图是一架梯子的示意图，其中1111//////AA BB CC DD ，且AB BC CD ==．为使其更稳固，在A ，1D 间加绑一条安全绳（线段1AD ），量得0.4m AE =，则1AD =________m ．9．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AE 的中点，CF 交BE 于点G ，若8BE =，则GE =___．10．（2021·广西玉林·中考真题）如图，在ABC V 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △∽AED V ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值．11．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D ，E ，F 依次是△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CF DB EC FA××=．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交△ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ．过点C 作CM ∥DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AF DM FC=（依据），∴BE AD EC DM ×＝BD AF DM FC×，∴BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CF DB EC FA××=．情况②：如图2，直线DE 分别交△ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ．…（1）情况①中的依据指： ；（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :FA ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．12．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC V 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =×V ，12DBC S BC h =×△．∴ABC DBC S S =V V ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h ¢，则ABC DBC S h S h =¢△△．证明：∵ABC S V(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ^，垂足为E ，过点D 作DF BM ^，垂足为F ，则90AEM DFM Ð=Ð=°，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ．∴AE AM DF DM=．由【探究】（1）可知ABC DBCS S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△．(3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC S S △△的值为 ．13．（2023·江苏连云港·校考三模）【阅读材料】教材习题：如图，AB 、CD 相交于点O ，O 是AB 中点，ACBD ∥，求证：O 是CD 中点．问题分析：由条件易证AOC BOD ≌V V ，从而得到OC OD =，即点O 是CD 的中点方法提取：构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．【基础应用】已知ABC V 中，90B Ð=°，点E 在边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，连接D ．(1)如图1，若AB BC =，AE CF =，求证：点D 是EF 的中点；(2)如图2，若2AB BC =，2AE CF =，探究CD 与BE 之间的数量关系；【灵活应用】如图3，AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆上一点，点E 是AB 上一点，点小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得m AC a =，m BC b =；（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得3a CM m =，m 3b CN =；测得m MN c =．求解过程：15.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中, 5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADES △ODB 的值；（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长；（3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ÐÐ=、, 求线段OC 的长．16．（2023·上海市徐汇中学九年级期中）已知：矩形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝6，点E 在对角线AC 上，且满足AE ＝2EC ，点F 在线段CD 上，作直线FE ，交线段AB 于点M ，交直线BC 于点N ．（1）当CF ＝2时，求线段BN 的长；（2）若设CF ＝x ，△BNE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断△BME 能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x 的值．17．（2023·上海奉贤·二模）已知：如图，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，∠DAB ＝90°，对角线AC 、BD 相交于点E ，AC ⊥BC ，垂足为点C ，且BC 2＝CE •CA ．（1）求证：AD ＝DE ；（2）过点D 作AC 的垂线，交AC 于点F ，求证：CE 2＝AE •AF ．18．（2023·河南省淮滨县九年级期中） 如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 并延长，交射线DC 于点F ，将ABE △沿直线AE 翻折，点B 落在点B ¢处．（1）当1BE CE=时，如图1，延长AB ¢，交CD 于点M ，①CF 的长为________；②求证：AM FM =． （2）当点B ¢恰好落在对角线AC 上时，如图2，此时CF 的长为________；BE CE =________； （3）当3BE CE =时，求DAB ¢Ð的正弦值．。

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1。

理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割.2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题,形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍： 1。

比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC,使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质: ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03。

平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

经典练习题相似三角形(附答案) .解答题(共30小题)1.如图，在△A中Q DE// BC, EF // AB，求证：△ ADE EFC .2 .如图，梯形ABCD中，AB // CD, 点F在BC上，连 DF与AB的延长线交于点 G.(1 )求证：△CDFBGF;(2)当点F是BC的中点时，过 F作EF // CD交AD于点E,若AB=6cm , EF=4cm，求CD的长.3.如图，点 D , E在 BC 上，且 FD // AB, FE // AC.求证：△ ABC s\ FDE .4.如图，已知 E是矩形 ABCD的边CD上一点，BF丄AE于F,试说明：△ ABF s\ EAD .5.已知：如图①所示，在△和念BCD中，AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE ,且点3, A , D在一条直线上，连接 BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.(1 )求证：①BE=CD :②厶 A是等腰三角形；(2 )在图①的基础上，将△绕点DE按顺时针方向旋转180。

，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接写出(1 )中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2 )的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证：△ PBDAMN.图①6.如图，E是？ABCD的边BA延长线上一点，连接 EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明.7.如图，在4 X3的正方形方格中，△和A B CDE的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1 )填空：/ ABC=(2)判断△ ABC^ DE是否相似，并证明你的结论.8.如图，已知矩形 ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿 AB方向以1cm/s(1)经过多少时间，△的面积等于矩形ABCD面积的十的速度向B点匀速运动；同时，动点 N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：(2)是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△相似D若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.9 .如图，在梯形 ABCD中，若AB // DC, AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1 )列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；(注意：全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形，并给出证明.•4E10 .如图△ABC, D 为 AC 上一点，CD=2DA，/ BAC=45。

2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：相似三角形2（附答案）1．如图，P 为平行四边形ABCD 边AB 上一点，E 、F 分别为PD 、PC 的三等分点（靠近P ），则阴影部分的面积与四边形CDEF 的面积比为（ ）A ．12B ．103C ．98D ．542．如图，已知////AB CD EF ，那么下列结论正确的是（ ）A ．AD BCDF CE=B ．BC DFCE AD= C ．CD BCEF BE= D ．CD ADEF AF= 3．有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，已知原正六边形一边为3，则后来正六边形的边长为( ) A ．9B ．3C ．D ．4．如图，BD 、CE 是ABC △的两条高，BD 、CE 相交于O ，则下列结论不正确的是（ ）．A ．ADE V ∽ABC △B ．DOE △∽COB △C ．BOE △∽COD △D ．BOE △∽BDE V5．如图，已知12∠∠=，若再增加一个条件不一定能使结论ADE ABC V V ∽成立，则这个条件是（ ）A ．DB ∠∠= B ．AEDC ∠∠=C ．AD AEAB AC=D ．AD DEAB BC=6．如图DE // BC ，AD :DB=2:1，那么△ADE 与△ABC 的相似比为（ ）A ．16B ．23C ．14D ．27．如图，的高AD ，BE 交于点0，连接DE ，则图中相似三角形共有（ ）A ．4对B ．6对C ．7对D ．8对8．如图，在△ABC 中，AC ＝15，BC ＝18，cos C ＝35，DE ∥BC ，DF ⊥BC ，若S △BFD ＝2S △BDE ，则CD 长为（ ）A ．7.5B ．9C ．10D ．59．已知线段a ，b ，c ，d 是比例线段，其中b 2cm =，c 3cm =，d 6cm =，则a 等于( )A ．1cmB ．4cmC ．9cmD ．36cm10．在比例尺为1：100000的地图上，相距3m 的两地，它们的实际距离为_____km ． 11．如图，直线112y x =+与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，与双曲线4y x=（0x >）相交于点P ，过P 作PC x ⊥轴于点C ，2OC =，在点P 右侧的双曲线上取一点M ，作MH x ⊥轴于H ，当以点M ，C ，H 为顶点的三角形与AOB ∆相似，则点M 的坐标是__________．12．如图，已知D 是BC 边延长线上的一点，DF 交AC 边于E 点，且AF ＝1，BC ＝3CD ，AE ＝2EC ，则FB 长为_____．13．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么这两个三角形的相似比是______． 14．如图，在ABC V 中，AB AC ，M 为AC 边上一点．要使ABC BCM V V ∽，还需要添加一个条件，这个条件可以是________．（只需填写一个你认为适当的条件即可）15．如图，在矩形中，E 是边的延长线上一点，连接交边于点F 若AB =4，BC =6，DE =2，则AF 的长为___.16．若两个三角形的相似比为3：4，则这两个三角形的面积比为________． 17．如图，直线y ＝12x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B 的对应点B′的坐标为_____．18．如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，为了测量A 、B 之间的距离，小天想了一个办法：在地上取一点C ，使它可以直接到达A 、B 两点，连接AC ，BC ，在AC上取一点M，使AM=3MC，作MN//AB交BC于点N，测得MN=36m，则A、B两点间的距离为_____.19．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M 处．点D落在点D'处，MD'与AD交于点G，则△AMG的内切圆半径的长为______.20．如图，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD与BE相交于点F，连接ED．求证：CD CB CE CA⋅=⋅21．一天晚上，小颖由路灯A下的B处向正东走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续向正东走到D处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45°，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯AB的高度是多少米？22．如图，AD DE AEAB BC AC==，求证：ABD ACE∠=∠.23．如图，AD 为ABC △的角平分线，BE AD ⊥的延长线于E ，CF AD ⊥于F ，BF 、EC 的延长线交于点P ，求证：CF//AP24．在ABC V 中，ACB 90∠=o ，AC BC 2==，点C 在直线m 上，m//AB ，DBE 45∠=o ，其中点D 、E 分别在直线AC 、m 上，将DBE ∠绕点B 旋转(点D 、E都不与点C 重合)．()1当点D 在边AC 上时(如图1)，设CE x =，CD y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；()2当BCE V 为等腰三角形时，求CD 的长．25．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，边BC 、CD 的垂直平分线交于四边形内部一点O ，连接BO 、DO ，已知BO ∥AD ．（1）判断四边形ABOD 的形状？并证明你的结论；（2）连接AO 并延长，交BC 于点E ，若CE ＝25，BE ＝65，∠ODC ＝45°． ①求AB 的长．②若∠BAD ＝135°，求AO•AE 的值．26．如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE ，AD 与BE 相交于点F.AEF V 与ABE △相似吗？说说你的理由.27．《九章算术》有一道这样的题，原文如下：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”大意为：今有一座长方形小城（如图），东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好有望见这棵树.请解答上述问题（注：1里=300步）.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴S △CPD ＝12S 四边形ABCD ， ∵E 、F 分别为PD 、PC 的三等分点， ∴13PE PF PD PC ==， ∵∠EPF ＝∠DPC ， ∴△PEF ∽△PDC ，∴19PEF PDC S S =n n ， ∴CDEF 89PDC S S n 四边形=，∴CDEF ABCD49S S =四边形四边形， ∴阴影部分的面积与四边形CDEF 的面积比为54， 故选：D ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题． 2．A 【解析】 【分析】已知AB ∥CD ∥EF ，根据平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可． 【详解】 ∵AB ∥CD ∥EF ，DF CE故选A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，避免错选其他答案．3．C【解析】【分析】先由位似图形的性质可得这两个正六边形相似；再由缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的可得相似比为1:，进而求解即可.【详解】∵这两个正六边形是位似图形，∴这两个正六边形相似.∵缩小后的正六边形的面积为原正六边形面积的，∴相似比为1:.∵原正六边形的边长为3，∴后来正六边形的边长为=.故选C.【点睛】本题考查本题考查位似图形的应用，需掌握位似图形的性质.4．D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，找出图中的全等三角形，即可得到答案.【详解】∵BD、CE是△ABC的高，∴∠ADB=∠AEC=90°，又∵∠A=∠A∴△ADB∽△AECAE AC又∵∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，故A正确；∵BD、CE是△ABC的高，∴∠OEB=∠ODC=90°，又∵∠EOB=∠DOC∴△BOE∽△COD，故C正确；∵△BOE∽△COD∴OE OB= OD OC又∵∠DOE=∠COB∴△DOE∽△COB，故B正确；无法判定△BOE∽△BDE，故D错误；故选D.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键. 5．D【解析】【分析】根据12∠=∠可得∠DAE=∠BAC，因此只要再找一组角相等或一组对应边成比例即可. 【详解】解：∵12∠=∠，∴∠DAE=∠BAC.选项A、B中，根据两角分别相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项C中根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△ADE∽△ABC；选项D中，由于∠DAE与∠BAC，不是成比例两边的夹角，所以不一定能使△ADE∽△ABC. 故选D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.6．B【解析】【分析】 先求出ADAB的值，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：∵AD ：DB=2：1，23∴=AD AB ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴△ADE 与△ABC 的相似比= 23AD AB = 故选：B ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键． 7．D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理解答即可. 【详解】 解：∵的高AD ，BE 交于点O ，∴.又∵，，，∴.∵，∴，∴，又∵，∴，∴，则，∴.又∵，∴.故选D. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及其判定，解题的关键是熟练掌握这些性质. 8．C 【解析】【分析】设CD=5x ，CF=3x ，先证△AED ∽△ABC ，得到ED BC =AD AC，又由S △BFD =2S △BDE ，即12ED•DF=12×12BF•DF ，解得x=2，即可求CD=5×2=10． 【详解】设CD=5x ，CF=3x ，则AD=15-5x ，BF=18-3x ，∵DE ∥BC ，∴△AED ∽△ABC ， 即ED BC =AD AC ， 即18ED =15515x -， ED=18(155)15x -（1） ∵S △BFD =2S △BDE ， 即12ED•DF=12×12BF•DF ， 即ED=12（18-3x ）（2） 由（1）（2）得x=2，故CD=5×2=10． 故选：C ．【点睛】本题较复杂，涉及到三角形相似及平行线的性质，需同学们熟练掌握．9．A【解析】【分析】根据a 、b 、c 、d 是成比例线段，得a ：b c =：d ，再根据比例的基本性质，求出a 的值即可．【详解】a Q 、b 、c 、d 是成比例线段，a ∴：bc =：d ，b 2cm =Q ，c 3cm =，d 6cm =，a1cm∴=；故选A．【点睛】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．10．300．【解析】【分析】首先根据地图的比例尺，求出在地图上相距3m的两地的实际距离，然后将实际距离的单位换算为km即可.【详解】3÷1100000＝300000（m），300000m＝300km；答：它们的实际距离为300km；故答案为：300．【点睛】本题考查比例尺的应用，学会换算单位也是本题的难点.11．(4,1)或(12)+【解析】【分析】先求出点A、点B的坐标，设点M的坐标为（m，n），分两种情况：当△MCH∽△BAO和△MCH∽△ABO时，由相似得比例求出m的值，即可得出点M的坐标．【详解】解：直线y=12x+1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，令x=0得y=1，令y=0得x=-2，∴A（-2，0），B（0，1）．设点M的坐标为（m，n），∵点M在双曲线4yx=上，∴n=4m．当△MCH∽△BAO时，可得CH MH AO BO=，即221 m n -=，∴m-2=2n，即m-2=8m，∴m2-2m-8=0，解得：m1=4，m2=-2（舍去），∴n=4m=1，∴M（4，1）；当△MCH∽△ABO时，可得CH MH BO AO=，即212 m n -=整理得：2m-4=4m，∴m2-2m-2=0，解得：m1m2，∴n=，∴M（，）．综上，M（4，1）或M（）．故答案为：（4，1）或（，）．【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，一次函数图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，设出点M的坐标然后分两种情况进行讨论是解本题的关键．12．2．【解析】【分析】过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，根据相似三角形的性质得CGBF＝CDBD，CGAF＝CEAE，求得BF＝4CG，AF＝2CG，即可得到结论．【详解】过C作CG∥AB交DF于G，∴△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，∴CGBF＝CDBD，CGAF＝CEAE∵BC＝3CD，∴CDBD＝14，∴CGBF＝14，∴BF＝4CG，∵AE＝2EC，∴CGAF＝12，∴AF＝2CG，∵AF＝1，∴BF＝2；故答案为：2．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质列出比例式求解.13．1：3【解析】【分析】由两个相似三角形的面积比是1：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，∴这两个三角形的相似比是：1：3．故答案为：1：3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握定理的应用是解此题的关键． 14．BM BC =或ABC BMC ∠∠=或A MBC ∠∠=（答案不唯一）【解析】【分析】要使△ABC ∽△BCM ，可以再添加BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定．【详解】因为AB ＝AC ，所以∠ABC ＝∠C ，若BM ＝BC 或∠ABC ＝∠BMC 或∠A ＝∠MBC （答案不唯一），则△ABC ∽△BCM ．故答案为BM =BC 或∠ABC =∠BMC 或∠A =∠MBC （答案不唯一）．【点睛】这是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．15．4【解析】【分析】由四边形ABCD是矩形，推出，，设，则由，可得，由此构建方程即可解决问题．【详解】解：四边形ABCD是矩形，，，设，则，，∽，，，，．故答案为4.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．9：16【解析】【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【详解】解：∵两个三角形的相似比为3：4，∴这两个三角形的面积比为9：16，故答案为：9：16．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17．（﹣8，﹣3）或（4，3）．【解析】【分析】先解得点A 和点B 的坐标，再利用位似变换可得结果．【详解】解：∵直线y ＝12x+1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 令x=0可得y=1；令y=0可得x=-2，∴点A 和点B 的坐标分别为（-2，0）；（0，1），∵△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，13OB OA O B AO ∴==′′′ ∴O′B′=3，AO′=6，∴B′的坐标为（-8，-3）或（4，3）．故答案为：（-8，-3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征，得出点A 和点B 的坐标是解答此题的关键．18．144m【解析】【分析】根据MN ∥AB ，可得△CMN ∽△CAB ，然后再根据相似三角形的性质可得MN CM AB AC =，再代入数进行计算即可．【详解】解：∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB ， ∴MN CM AB AC=， ∵AM=3MC ，MN=36m ，∴3614 AB，AB=144m，故答案为144m．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形对应边成比例．19．4 3【解析】【分析】由勾股定理可求ME=5，BE=3，通过证明△AMG∽△BEM，可得AG=163，GM=203，即可求解．【详解】∵将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处．∴ME=CE，MB=12AB=4=AM，∠D'ME=∠C=90°，在Rt△MBE中，ME2=MB2+BE2，∴ME2=16+（8-ME）2，∴ME=5，∴BE=3，∵∠D'ME=∠DAB=90°=∠B∴∠EMB+∠BEM=90°，∠EMB+∠AMD'=90°∴∠AMD'=∠BEM，且∠GAM=∠B=90°∴△AMG∽△BEM∴AM AG GM BE MB ME ＝＝∴4345AG GM＝＝，∴AG=163，GM=203∴△AMG的内切圆半径的长=423 AG AM GM+-=故答案为：4 3 .【点睛】此题考查三角形内切圆和内心，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质求AG，GM的长度是本题的关键．20．证明见详解【解析】【分析】根据垂直得出∠BEC=∠ADC=90°，求出∠CBE=∠DAC，根据相似三角形的判定定理得出即可.【详解】证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BEC=∠ADC=90°，∵∠BCE=∠ACD（公共角），∴∠CBE=∠CAD，∴△CBE∽△CAD，∴CE CB CD CA=即：CD CB CE CA⋅=⋅【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．21．AB=4.5m【解析】【分析】如图，根据已知可得AB＝BE，再证明△DCM∽△DBA，然后利用相似三角形的性质得出DC BDMC AB=，设AB＝x，代入数据后解方程即可求出AB的高度．【详解】解：如图，∵∠ABE ＝90°，∠E ＝45°，∴∠E ＝∠EAB ＝∠EFD ＝45°， ∴AB ＝BE ，DE =DF =1.5，∵MC ∥AB ，∴△DCM ∽△DBA ，∴DC BD MC AB=， 设AB ＝x ，则BD ＝x ﹣1.5， ∴1 1.51.5x x -=， 解得：x ＝4.5．∴路灯A 的高度AB 为4.5m ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用和投影问题，根据已知得出AB ＝BE 、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．22．见解析【解析】【分析】由AD DE AE AB BC AC==，得到△ADE ∽△ABC ，根据相似三角形的性质得到∠DAE=∠BAC ，根据角的和差得到∠DAB=∠EAC ，推出△ADB ∽△AEC ，即可得到结论．【详解】证明:∵AD DE AE AB BC AC==， ∴ADE ABC ∆∆∽.∴DAE BAC ∠=∠.∴DAB EAC ∠=∠. ∵AD AE AB AC=， ∴ADBC AEC ∆∆∽.∴ABD ACE ∠=∠.【点睛】考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23．见解析【解析】【分析】由条件可得CF ∥BE ，结合条件可证明△BAE ∽△ACF ，可得到CP AF PE AE =，则有CF ∥AP ． 【详解】证明：∵CF ⊥AE ，BE ⊥AE ，∴CF ∥BE ， ∴CP CF PE BE=，∠AFC ＝∠AEB ＝90°， ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE ＝∠EAC ，∴△BAE ∽△CAF ， ∴AF CF AE BE=， ∴CP AF PE AE =， ∴CF ∥AP ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的逆定理及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意由线段对应成比例也可以证明平行．24．（1）y 2x =<<；（2）当BCE V 为等腰三角形时，CD 的长为2或2或2．【解析】【分析】(1)证明△ADB ∽△CEB ，通过比例式找到y 与x 的关系；(2)分情况讨论，①当BE=CE 时，C 、D 重合，不符合题意，舍去；②当BC=BE 时，如图1；③当BC=CE 时，有两种图形(如图2、3).画出对应图形后，根据等腰三角形的性质，求出底角度数，再转化为边之间的关系即可求解．【详解】解：()1m //AB Q ，ECB CBA 45∠∠∴==o ．A ECB 45∠∠∴==o ．DBA 45CBD ∠∠=-o Q ，EBC 45CBD ∠∠=-o ，DBA EBC ∠∠∴=．ADB V ∴∽CEB V．AD AB CE BC ∴=，即2y x -=．y 2x ∴=-<<；()2①当BE CE =时，C 、D 重合，不符合题意，舍去；②当BC BE =时，如图1，ECB 45∠=o Q ，CEB 45∠∴=o ，CBE 90∠∴=o ．则CBD 90DBE 45∠∠=-=o o ．ABD 454590∠∴=+=o o o ．A 45∠=o Q ，ABD ∴V 是等腰直角三角形．AD 4∴=，CD 422∴=-=；③当BC CE =时，Ⅰ.如图2，ECB 45∠=o Q ，CBE 67.5∠∴=o ．ABD CBE 67.5∠∠∴==o ．ADB 1804567.567.5o o o o ∠∴=--=．ABD ADB ∠∠∴=，AD AB 22∴==．CD 222∴=-；Ⅱ.如图3，则BCE 135∠=o ，CBE 22.5∠∴=o ．ABD 22.5o ∠∴=，CAB 45∠=o Q ，ADB 4522.522.5∠∴=-=o o o ．AD AB 22∴==．CD 222∴=+．所以当BCE V 为等腰三角形时，CD 的长为2或222或222．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，还考查了分类讨论思想，解题的关键是画出对应图形进行求解．25．（1）证明见解析（2）10（3）100【解析】【分析】（1）连接AO 、CO ，根据中垂线知OB ＝OC ＝OD ，证△ABO ≌△ADO 得∠BAO ＝∠DAO ，由BO ∥AD 知∠BOA ＝∠DAO ，从而得∠BAO ＝∠BOA ，据此知AB ＝BO ，继而得证；（2）连接CO 、DE ，设DE 交OC 于点P ，先证△BOE ≌△DOE 得BE ＝DE 、∠OBE ＝∠ODE ，结合∠OBC ＝∠OCB 知∠OCE ＝∠ODE ，由∠EPC ＝∠OPD 知∠CEP ＝∠DOP ＝90°，根据CE 2+DE 2＝DC 2知CE 2+BE 2＝2AB 2，代入计算可得；（3）由△BOE ≌△DOE ，∠DEB ＝90°知∠OEB ＝∠OED ＝45°，结合四边形ABOD 是菱形，∠BAD ＝135°知∠ABO ＝45°，从而得∠ABO ＝∠AEB ，证△ABO ∽△AEB 得AO•AE ＝AB 2，代入计算可得．【详解】解：（1）四边形ABOD 是菱形，理由如下：如图1，连接AO、CO，∵边BC、CD的垂直平分线交于点O，∴OB＝OC＝OD，又AB＝AD，AO＝AO，∴△ABO≌△ADO（SSS），∴∠BAO＝∠DAO，∵BO∥AD，∴∠BOA＝∠DAO，∴∠BAO＝∠BOA，∴AB＝BO，∴AB＝BO＝OD＝AD，∴四边形ABOD是菱形；（2）如图2，连接CO、DE，设DE交OC于点P，∵∠ODC＝45°，OC＝OD，∴∠COD＝90°，△OCD是等腰直角三角形，∴CD22AB，∵四边形ABOD是菱形，∴∠DOA＝∠BOA，∴∠BOE＝∠DOE，在△BOE和△DOE中，∵B0D0BOE DOE0E0E=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴BE＝DE、∠OBE＝∠ODE，∵∠OBC＝∠OCB，∴∠OCE＝∠ODE，又∵∠EPC＝∠OPD，∴∠CEP＝∠DOP＝90°，在Rt△DCE中，CE2+DE2＝DC2，即CE2+BE2＝2AB2，∵CE＝BE＝∴2AB2＝（2+（2＝200，∴AB＝10；（3）由（2）知△BOE≌△DOE，∠DEB＝90°，∴∠OEB＝∠OED＝45°，∵四边形ABOD是菱形，∠BAD＝135°，∴∠ABO＝45°，∴∠ABO＝∠AEB，又∵∠BAO＝∠EAB，∴△ABO∽△AEB，∴AB AD AE AB=，∴AO•AE＝AB2，∵AB＝10，∴AO•AE＝100．【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握菱形的判定与性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质等知识点．26．答案见解析【解析】【分析】证ABD BCE ∽△△，得BAD CBE ∠=∠，再证ABE FAE ∠=∠，可进一步证AEF BEA ∽△△.【详解】解：相似.理由如下：∵BD CE =，60ABC C ∠=∠=︒，AB BC =，∴ABD BCE ∽△△，∴BAD CBE ∠=∠，∵60ABC BAC ∠=∠=︒，∴ABE FAE ∠=∠.又∵AEF BEA ∠=∠，∴AEF BEA ∽△△.【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.熟记相似三角形的判定和性质的内容是关键. 27．315步【解析】【分析】根据题意写出AB 、AC 、CD 的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【详解】解：由题意，得15AB =里， 4.5AC =里， 3.5CD =里，∵DE CD ⊥，AC CD ⊥∴//AC DE ，易得ACB ∆∽DEC ∆， ∴DE DC AC AB=， 即 3.54.515DE =， 解得 1.05DE =（里）315=（步）∴走出南门315步恰好能望见这棵树.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出相似三角形是解决此题的关键．。