函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用
一．函数的对称性
（一）函数)(x f y = 的图象自身对称 1、轴对称
对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，
)()(x b f x a f -=+ ⇔
)(x f y =图象关于直线22)()(b
a x
b x a x
+=
-++=
对称.
推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.
推论2：)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.
推论3：)2()(x a f x f +=-
⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称.
求对称轴方法：22)()(b
a x
b x a x +=
-++=
2、中心对称
对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，
c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2
(
c b
a +对称. 推论：
b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点
),(b a 对称.
推论：b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称. 推论：b x a f x f 2)2()(=++- ⇔
)(x f y =的图象关于点
),(b a 对称.
求对称中心方法：.2
2,2)()(c c y x b x a x ==-++=纵坐标横坐标
小结: 轴对称与中心对称的区别
轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)； 中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c 中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.
（二）两个函数的图象相互对称
1、函数
)(x a f y +=与函数)
(x b f y -=图象关于直线2a
b x -=
对称；
特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于直线x=0(y 轴)轴对称；
函数)(x f y
=与函数)(x f y -=图象关于
y 轴对称；
求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2a b x -=
.
2、函数y ＝f(a ＋x)+c 与y ＝－f(b －x)+d 关于点)2
,2(d c a b +-中心对称；
特别地，函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于点（0,0）（原点）中心对称.
函数)(x f y
=与函数)(x f y --=图象关于原点对称函数.
求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得
2a
b x -=
，纵坐标y=
.2
d c +
二． 函数的奇偶性
1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y 轴（x=0）对称．
推论：若y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)，即y ＝f(x)的图像关于直线
x ＝a 轴对称.
2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称.
推论：若y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)，即y ＝f(x) 的图像关于点
（a ，0）中心对称.
三．函数的周期性 1. 定义：对于()
f
x 定义域内的任意一个x ，都存在非零常数T ，使得
()()
f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做
()
f x 的一个周期，
则kT （,0k Z k ∈≠）也是()
f x 的周期，所有周期中的最小正数叫
()
f x 的最小正周期.
2. 推论：
①()()f x T f x ±=( 0T ≠) ⇔)(x f y =的周期为
T.
②
()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T
-=
③)()(x f a x f -=+ ⇔
)(x f y =的周期为a T
2=
④)
(1)(x f a x f =
+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑤)
(1)(x f a x f -
=+
⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑥)
(1)(1)(x f x f a x f +-=+
⇔)(x f y =的周期为.2a T
=
⑦1
)(1)(+-
=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= ⑧)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=+
⇔)(x f y =的周期为a T 4=
⑨)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T
6=
⑩若.
),()(,0p a T a px f px f p =+=>则
⑾若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：偶函数
)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a
T 2=
⑿若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|. 推论：奇函数
)(x f y =满足
0)()(=-++x a f x a f ⇔)(x f y =周期a
T 4=
⒀)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b ⇔
()
f x 的周期T ＝4|a －b|.
小结：①函数对称性、奇偶性和周期性定义共同点：“对于函数f(x)定义域内任意一个x ”；
②对称性、周期性定义中条件，“内反表示对称性，内同表示周期性”； ③定义在Ｒ上的函数)(x f y =，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在.
题型分类
1. 求函数值
例1. 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当
1
0≤≤x 时，
x x f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）
