椭圆的参数方程教学课件

椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
x a cos O N x 由已知: (为参数) y b sin 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
x a cos 1 .参数方程 y b sin 是椭圆的参
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 |
O x
2 分析2：设P( 2 2 cos , sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
y A
x 线AB的方程为 3 y 2
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 2 2 32

椭圆的参数方程例1、如下图，以原点为圆心，分别以a, b (a>b>0)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA一与小圆的交点，过点A作AN丄ox,垂足为N,过点B作BM丄AN,垂足为M,求当半径0A绕点0旋转时点M的轨迹参数方程.分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同,点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.而A、B的坐标可以通过引进参数建立联系.设zXOA=q)yt例1、如下图，以原点为圆心，分别以a, b (a>b>0)为半径作两个圆，点B 是大圆半 径OA 与小圆的交点，过点A 作AN 丄ox,垂足为N,过点B 作BM 丄AN,垂足为M,求当 半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.解:设ZXOA 二M(x, y),则 ytA: (acoscp, a sincp),B: (bcoscp, bsin(p), 七覽9为参疡y = bsm (|)即为点M 的轨迹参数方程.由已知：AO NX消去参数得:2 2PL即为点M 的轨迹普通方程.1 •参数方程：二囂需是椭圆的参数方程.2 •在椭圆的参数方程中，常数3、b 分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.a>b另外，（P称为离心角，规定参数0的取值范围是。

引0,2龙）焦点越轴产处°皿焦点在丫轴产曲％y = /?sin cp. [y = asin（p.椭圆的标准方程：乞+ 2L = 1a 2b 2_椭圆的参数方程： \x =acos<l >3为参疝y =bsin （|） 椭圆的参数方程中参数（P 的九何意义：是zAOX=(p,不是zMOX=(p.圆的标准方程：圆的参数方程：e的几何意义是x2+y2=：r2x = rcos0y = rsin0zAOP=e（&为参数）9\]^XXpo22=1 【练习1】把下列普通方程化为参数方程.x 2 y 1 2 y 2⑴ ------- 1--- =] ⑵ 兀+二=1 ⑴4 9 2丿 16把下列参数方程化为普通方程(3)22=1Jx = 3 cos cp [y = 5sin0(4) fx = 8 cos cp [y= 10 sin cp ⑶务+倉二1（ 是丰散土，2电怫盼圆的长轴长为< 0焦点坐标是（I y 厂觎A 是<）。

y P
θ
O
A x
别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在x轴xy
a b
cos, sin.
焦点在y轴xy
b cos, a sin .
知识归纳 椭圆的标准方程:
x2 y2 1
a2 b2
椭圆的参数方程:
x y
acos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
（ 3 ）。 2
M B
A
利用几何画板动 画 演 示,理 解 椭 圆 规 工 作 原 理.
图2 9
探 究 椭 圆 规 是 用 来 画 椭 圆 的一 种 器 械,它 的 构 造 如 图2 9 所 示.在 一 个 十 字 形 的 金 属 板上 有 两 条 互 相 垂 直 的 导 槽,在 直 尺 上 有 两 个 固 定 滑块A, B,它 们 可 分 别 在 纵 槽 和 横 槽 中滑 动,在 直 尺 上 的 点M处 用 套 管 装 上 铅 笔, 使 直 尺 转 动 一 周 就 画 出一 个 椭 圆.你 能 说 明 它 的 构 造 原 理 吗?(提 示:可 以 用 直 尺AB和 横 槽 所 成 的 角 为 参 数,求 出 点M的 轨 迹 的 参 数 方 程.)
d
|
3
cos
4 sin
5
10
|
|
5
cos
3 5
sin 5
4 5
10
|
1 5
|
5 cos
0
10
|,
其中0满足cos0
3 5
, sin 0
4 5.
由三角函数性质知,当 0 0, d取最小值 5.

BM
求点M轨迹的参数方 程, 并说出点M的轨迹。
0
x
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2012年上学期
探究3：研读教材P27-P28, 对比 圆方程的参数θ与椭圆方程的参数 的几何含义。
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2. 椭圆方程(焦点在x轴上)
标准的普通方程
标准的参数方程
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)上学期
与简单线性规划问题进行类比, 你 能在实数x、y满足 x2 y2 1 的前提下,
25 16
求出z=x-2y的最大值和最小值。
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《考一本》P34-P37
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运 用 3 . 已 知 椭 圆x 2 a2
y2 b2
1上 任
意 一 点M (除 短 轴 端 点 外)与 短 轴 两 端
点B1 , B2的 连 线 分 别 与x轴 交 于P , Q两 点,O为 椭 圆 的 中 心 。
求 证 ：| OP | | OQ | 为 定 值 。
y
l x
F1 O F2
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探究2：以原点O为圆心, a, b(a>b>c)
为半径分别作两个同心圆, 设A为大圆上
的任一点, 连接OA, 与小圆交于点B。过
点A, B分别作x轴, y轴的垂线, y