2006年数学四考研试题和答案

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2006年数学四试题分析、详解和评注

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.

（1）11lim1.nnnn

（2）设函数()fx在2x的某邻域内可导,且efxfx，21f，则322e.f

（3）设函数()fu可微,且102f,则224zfxy在点(1,2)处的全微分1,2d4d2d.zxy

（4） 已知12,为2维列向量，矩阵1212(2,)A，12(,)B.若行列式||6A，则||2B

（5）设矩阵2112A，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足2BABE，则

B

（6）设随机变量XY与相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，则

max,1PXY .

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数()yfx具有二阶导数，且()0,()0fxfx，x为自变量x在点0x处的增量，dyy与分别为()fx在点0x处对应的增量与微分，若0x，则

(A) 0dyy. (B) 0dyy.

(C) d0yy. (D) d0yy . [ ]

（8）设函数fx在0x处连续，且220lim1hfhh，则

(A) 000ff且存在 (B) 010ff且存在

(C) 000ff且存在 (D) 010ff且存在 [ ] 文登学校

（9）设函数()fx与()gx在[0,1]上连续，且()()fxgx，且对任何(0,1)c，

（A）1122()d()dccfttgtt （B）1122()d()dccfttgtt

（C）11()d()dccfttgtt （D）11()d()dccfttgtt [ ]

（10）设非齐次线性微分方程()()yPxyQx有两个不同的解12(),(),yxyxC为任意常数，则该方程的通解是

（Ａ）12()()Cyxyx. （Ｂ）112()()()yxCyxyx.

（Ｃ）12()()Cyxyx. （Ｄ）112()()()yxCyxyx [ ]

（11）设(,)(,)fxyxy与均为可微函数，且(,)0yxy，已知00(,)xy是(,)fxy在约束条件(,)0xy下的一个极值点，下列选项正确的是

(A) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.

(B) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.

(C) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy.

(D) 若00(,)0xfxy，则00(,)0yfxy. [ ]

（12）设12,,,s均为n维列向量，A为mn矩阵，下列选项正确的是

(A) 若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性相关.

(B) 若12,,,s线性相关，则12,,,sAAA线性无关.

(C) 若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性相关.

(D) 若12,,,s线性无关，则12,,,sAAA线性无关.

[ ]

（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的1倍加到第2列得C，记110010001P，则

（Ａ）1CPAP. （Ｂ）1CPAP.

（Ｃ）TCPAP. （Ｄ）TCPAP. ［ ］ 文登学校

（14）设随机变量X服从正态分布211(,)N，Y服从正态分布222(,)N，且

1211PXPY

则必有

(A) 12 (B) 12

(C) 12 (D) 12 [ ]

三 、解答题：15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分7分）

设1sin,,0,01arctanxyyyfxyxyxyx,求

(Ⅰ) lim,ygxfxy；

(Ⅱ) 0limxgx.

（16）（本题满分7分）

计算二重积分2ddDyxyxy，其中D是由直线,1,0yxyx所围成的平面区域.

（17）（本题满分10分）

证明：当0ab时，

sin2cossin2cosbbbbaaaa.

（18）（本题满分8分）

在xOy坐标平面上，连续曲线L过点1,0M，其上任意点,0Pxyx处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数>0a）.

(Ⅰ) 求L的方程；

(Ⅱ) 当L与直线yax所围成平面图形的面积为83时,确定a的值.

（19）（本题满分10分）

试确定,,ABC的值，使得

23e(1)1()xBxCxAxox，

其中3()ox是当0x时比3x高阶的无穷小.

（20）（本题满分13分）

设4维向量组TTT1231,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,aaa

T44,4,4,4a，问a为何值时1234,,,线性相关?当1234,,,线性相关时,求文登学校

其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.

（21）（本题满分13分）

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量TT121,2,1,0,1,1是线性方程组0Ax的两个解.

(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；

(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵,使得TQAQ；

（Ⅲ）求A及632AE，其中E为3阶单位矩阵.

（22）（本题满分13分）

设二维随机变量（,XY）的概率分布为

X Y －1 0 1

－1 a 0 0.2

0 0.1 b 0.2

1 0 0.1 c

其中,,abc为常数，且X的数学期望0.2EX，{0|0}0.5PYX，记ZXY，

求

(Ⅰ) ,,abc的值；

(Ⅱ) Z的概率分布；

(Ⅲ) {}PXZ.

（23）（本题满分13分）

设随机变量X的概率密度为

1,1021,0240,Xxfxx　其他，

令2,,YXFxy为二维随机变量(,)XY的分布函数.

(Ⅰ) 求Y的概率密度Yfy；

(Ⅱ) Cov(,)XY； 文登学校

(Ⅲ) 1,42F.

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1…. 【分析】将其对数恒等化lneNN求解.

【详解】(1)111lnlim(1)ln1limlimeennnnnnnnnnnn，

而数列(1)n有界，1limln0nnn，所以1lim(1)ln0nnnn.

故 101lime1nnnn.

【评注】对于幂指函数的极限，总是将其化为指数函数后求解.

完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第2节【例23】，《数学复习指南》（经济类）P.30【例1.41】.

2….. 【分析】利用复合函数求导即可.

【详解】由题设知，efxfx，两边对x求导得

2e()efxfxfxfx，

两边再对x求导得 23()2e()2efxfxfxfx，又21f，

故 323(2)2e2eff.

【评注】本题为抽象复合函数求导，注意计算的准确性.

完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例11】，【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.53【例2.18】（几乎一样）.

3…. 【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.

【详解】方法一：因为22(1,2)(1,2)(4)84zfxyxx，

22(1,2)(1,2)(4)22zfxyyy，

所以 1,21,21,2ddd4d2dzzzxyxyxy.

方法二：对224zfxy微分得

222222d(4)d(4)(4)8d2dzfxyxyfxyxxyy，

故 1,2d(0)8d2d4d2dzfxyxy.

【评注】本题为基本题型. 文登学校

完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第9讲第1节【例12】，《数学复习指南》（经济类）P.162【例6.13】，《考研数学过关基本题型》（经济类）P.62【例6，例7】及练习.

4…….

【分析】利用矩阵乘积的行列式运算ABAB即可.

【详解】1212122121(2,),1111AB，

所以 21311ABB，而||6A，

故 ||2B.

【评注】本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.

完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第1讲【例6】，《数学复习指南》（经济类）P.287【例2.12】.

5…….【分析】 将矩阵方程改写为AXBXABAXBC或或的形式，其中X是待求矩阵，再通过左乘或右乘可逆阵，解出待求矩阵即可.

【详解】 由题设，有

()2BAEE

于是有

1111111112()221111112BAE.

【评注】 本题关键是将被求矩阵B转化为矩阵方程中的一个乘积因子.