2019数学人教A版选修2-1优化课件：第一章 1.1 1.1.2 1.1.3 四种命题间的相互关系

(2)命题(1)的条件和结论与命题(2)、(3)、(4)的条件和结论之间 有什么关系？
提示：命题(1)的条件和结论分别是命题(2)的结论和条件；
命题 (1)的条件和结论分别是命题 (3)的条件的否定和结论的 否定；命题(1)的条件和结论分别是命题(4)的结论的否定和条 件的否定
．
(3)根据上述四种命题的概念，你能说出其中任意两个命题之 间的相互关系吗？
命题(2)(3)互为逆否命题；命题 (2)(4)互为否命题； 提示： 命题(3)(4)互为逆命题
．
2．归纳总结，核心必记 (1)四种命题的概念 ①互逆命 题：一个命题的条 件和结论分 别是另一个命题 的 结论和条件 ，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中的 一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的 逆命题 ． ②互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条 件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把 其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的
互为逆否命题，所以它们的真假性相同
．
(4)在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？ 提示： 因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否 ，
命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为 0，2，4 ．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)四种命题的概念是： ； (2)四种命题的条件和结论之间有什么关系？ ； (3)四种命题的真假性有什么关系？ ．
[思考 1] 若原命题为真，则它的逆命题、否命题的真假性是怎 样的？
由于原命题的真假性与它的逆命题、 否命题的真 ， 名师指津： 假性之间没有关系，所以无法判断它的逆命题、否命题的 真假性 ．
[思考 2] 若原命题为真，它的逆否命题的真假性如何？ 名师指津：原命题和它的逆否命题具有相同的真假性 ．

1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真 假． (1)若 a≤1，则方程 x2－2x＋a＝0 有实根； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧； (3)等底等高的两个三角形是全等三角形； (4)若 m≤0 或 n≤0，则 m＋n≤0.
【解析】 (1)逆命题：若方程 x2－2x＋a＝0 有实根，则 a≤1.真命题． 否命题：若 a>1，则方程 x2－2x＋a＝0 无实根，真命题． 逆否命题：若方程 x2－2x＋a＝0 无实根，则 a>1.真命题． (2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这 条直线是弦的垂直平分线．真命题． 否命题： 若一条直线不是弦的垂直平分线， 则这条直线不过圆 心或不平分弦所对的弧．真命题． 逆否命题： 若一条直线不过圆心或不平分弦所对的弧， 则这条 直线不是弦的垂直平分线．真命题．
(3)逆命题： 若两个三角形全等， 则这两个三角形等底等高． 真 命题． 否命题： 若两个三角形不等底或不等高， 则这两个三角形不全 等．真命题． 逆否命题： 若两个三角形不全等， 则这两个三角形不等底或不 等高．假命题． (4)逆命题：若 m＋n≤0，则 m≤0 或 n≤0.真命题． 否命题：若 m>0 且 n>0，则 m＋n>0.真命题． 逆否命题：若 m＋n>0，则 m>0 且 n>0.假命题．
2．判断命题“已知 a，x 为实数，若关于 x 的不等式 x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0 的解集非空，则 a≥1”的逆否命题的真假．
【解析】 因逆否命题的真假与原命题一致， 故判断原命题即可， 因此，只须 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0. 7 即 4a－7≥0，∴a≥ >1.原命题为真，故逆否命题为真． 4

[点评] 命题的否定形式及否命题是两个不同的概念，要注意区 别，不能混淆．从形式上看，否命题既否定条件，又否定结论， 而命题的否定，条件不变，只否定结论.
课堂巩固训练
一、选择题
1．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两 条对角线相等的四边形”的( )
A．逆命题
B．否命题
C．逆否命题
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四 边形，为真． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不 互补，为真．
(3)该命题为假． 逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2 －4ac<0，为假． 否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数图象与x轴 无公共点，为假．
[解析] (1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”． 逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数． 否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数． 逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．
(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等． 逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形． 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等． 逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．
[点评] 本题的解法中运用了举反例的办法，如(2)、(3)的解 法．举出一个反例说明一个命题不正确是以后经常用到的方 法．
变式应用
判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假． [解析]解法一：写出逆否命题，再判断其真假． 原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根； 逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0. 判断如下：因为x2＋x－a＝0无实根． 所以Δ＝1＋4a<0，所以a<－ <0. 所以“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．

◎用“若p，则q”的形式写出(1)的原命题，(2)的否命题． (1)负数的平方是正数． (2)正方形的四条边相等． 【错解】 (1)原命题：若一个数是负数的平方，则这个数 是正数． (2)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边都不 相等．
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命 题的真假．
(1)若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1； (2)若ab＝0，则a＝0或b＝0； (3)若x2＋y2＝0，则x，y全为零．
在判断命题的真假性时，要充分利用原命题与逆否命 题、逆命题与否命题同真同假进行判断．
[解题过程] (1)原命题：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则 a<1，假命题．
逆否命题
原命题为“若p，
则q”；逆否命
题为
“ ”
若綈p，
则綈q
2.四种命题之间的相互关系
3．四种命题的真假性 (1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.
原命题 真 真 假 假
逆命题 真 假 真 假
否命题 真 假 真 假
逆否命题 真 真 假 假
(2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有的相真同假性． ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性．没有 关系
为了便于书写各种命题，当原命题不是“若p，则q”的形 式时，应先将命题写成规范形式“若p，则q”，然后再进行书 写．例如：写出命题“偶函数的图象关于y轴对称”的逆命题、 否命题、逆否命题．由于原命题不是以“若p，则q”的形式给 出，因此先把命题“偶函数的图象关于y轴对称”改写成“若函 数f(x)为偶函数，则f(x)的图象关于y轴对称”，则：
1．命题“若 p，则綈 q”的逆否命题是( )
A．若 p，则 q