西南大学课程考核命题教师：教研室或系负责人：主管院长：2012年6月5日第1 页共6页《 常微分方程 》课程试题 【A 】卷试题 【A 】卷第4页 共6页二、求解下列微分方程（共5题，10分/题，共50分）1．2(1)dy x y dx y+= 2. 2dyx y x dx+=西 南 大 学 课 程 考 核 (试题 【A 】卷)第5页 共6页3． 2(24)0y x dx xdy -+=4． 2223td x dx xe dt dt---=《 常微分方程 》课程试题 【A 】卷试题 【A 】卷第4页 共6页5． 323210d x d xdt t dt-=三、利用一阶方程解的存在唯一性定理求2, (,){(,):||1,||1}(0)0dy x y x y R x y x y dxy ⎧⎪=-∈=≤≤⎨=⎪⎩的解()y y x =的存在区间，并求出第二次近似解，给相应的误差估计。
(10分)西 南 大 学 课 程 考 核 (试题 【A 】卷)第5页 共6页四、设310,()511A f t -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,00η⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。
1. 求'x Ax =的标准基解矩阵exp()At ；（6分）2. 求初值问题'()(0)x Ax f t x η=+⎧⎨=⎩的解。
（4分）《 常微分方程 》课程试题 【A 】卷试题 【A 】卷第4页 共6页五、设()y x ϕ=，()y x ψ=是方程22()()0d y dyp x q x y dx dx++= 的基本解组，证明()p x 及()q x 可以由这个基本解组唯一确定（10分）。
常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是。
２、称为黎卡提方程，它有积分因子。
３、称为伯努利方程，它有积分因子。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。
５、形如的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为时，零解是稳定的，对应的奇点称为。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求４、32()480dy dy xy y dx dx -+= ５、求方程2dy x y dx=+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x ydt dt=--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。
常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为的连续函数。
2、 形如的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数，可化为线性方程。
是常数。
引入变量变换-------≠1.03、 如果存在常数使得不等式,0 L 对于所有称为利普希兹常数。
都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于y 满足利普希兹条件。
4、 形如的方程，称为欧拉方程，这里是常数。
,,21a a5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解可表为)(t γ。
湘潭大学2014年硕士研究生入学考试初试试题答案(B 卷)考试科目名称及代码： 832 普通物理（一）适 用 专 业： 070200 物理学；080500材料科学与工程 注意：所有答题一律写在答题纸上，否则无效。
一 选择题（每小题5分，共50分）1.一运动质点在某瞬时位于矢径r (x ,y )的端点处，其速度大小为()dr A dt ； ()dr B dt；()d r C dt ；()D[ D ]2.下列叙述中正确的是（A ）物体的动量不变，动能也不变； （B ）物体的动能不变，动量也不变；（C ）物体的动量变化，动能也一定变化； （D ）物体的动能变化，动量却不一定变化。
[ A ]3.设声波在媒质中的传播速度为u ，声源的频率为v s 。
若声源S 不动，而接收器R 相对于媒质以速度v B 沿着S 、R 连线向着声源S 运动，则位于S 、R 连线中点的质点P 的振动频率为： （A ）s v ； （B ）B s u v v u +； （C ）s B u v u v +； （D ）s Buv u v -。
[ A ]4.在一密闭容器中，储有A 、B 、C 三种理想气体，处于平衡状态。
A 种气体的分子数密度为n 1，它产生的压强为P 1，B 种气体的分子数密度为2n 1，C 种气体的分子数密度为3n 1，则混合气体的压强P 为（A ）3P 1； （B ）4P 1； （C ）5P 1； （D ）6P 1。
[ D ]5.质子在加速器中被加速，当其动能为静止能量的4倍时，其质量为静止质量的 （A ）4倍； （B ）5倍； （C ）6倍； （D ）8倍。
[ B ]6.在下列各种说法中，哪些是正确的？(1) 热平衡过程就是无摩擦的、平衡力作用的过程。
(2) 热平衡过程一定是可逆过程。
(3) 热平衡过程是无限多个连续变化的平衡态的连接。
(4) 热平衡过程在P －V 图上可用一连续曲线表示。
(A)(1)、(2)； (B)(3)、(4) ；(C)(2)、(3)、(4) ； (D)(1)、(2)、(3)、(4) 。
