难点16_三角函数式的化简与求值 2

日期：2009年 月 日星期,能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．用．1常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦,异名化同名,异角化同角；③ 三角公式的逆用等;2化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数2、三角函数的求值类型有三类：1给角求值：一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题；2给值求值：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论；3给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角;3、三角等式的证明：1三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”；2三角条件等式的证题,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分析法进行证明;．三角函数的求值： ,化非特殊角为特殊角； 2．正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值； 3．一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 1．三角函数式的化简： 三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化． 2．三角恒等式的证明： 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常1、已知θ是第三象限角,且4459sin cos θθ+=,那么2sin θ等于 AA 、3B 、3-C 、23D 、23-2、函数222y sin x x =--+的最小正周期 BA 、2πB 、πC 、3πD 、4π3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 DA 、1B 、2C 、－1D 、－24、已知46sin (4)4m m m αα-=≠-,则实数m 的取值范围是＿＿－1,73＿＿＿;5、设10,sin cos 2απαα<<+=,则cos2α＝＿＿4-＿＿＿;例1．已知3sin 5m m θ-=+,42cos 5m m θ-=+2πθπ<<,则tan θ= C ()A 423m m -- ()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或512-略解：由22342()()155m m m m --+=++得8m =或0m =舍,∴5sin 13θ=,∴5tan 12θ=-．例2．已知1cos(75)3α+=,α是第三象限角,求cos(15)sin(15)αα-+-的值．解：∵α是第三象限角,∴36025575360345k k α⋅+<+<⋅+k Z ∈,∵1cos(75)3α+=,∴75α+是第四象限角,∴sin(75)α+==,∴原式221cos(15)sin(15)sin(75)cos(75)3αααα+=---=+-+=-． 例3．已知2sin sin 1θθ+=,求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．解：由题意,22sin 1sin cos θθθ=-=,∴原式223sin sin 2sin 1sin 1cos 1sin sin 22θθθθθθθ=+-+=+-+=-+=．例4．已知8cos(2)5cos 0αββ++=,求tan()tan αβα+⋅的值． 解：∵2()αβαβα+=++,()βαβα=+-, ∴8cos[()]5cos[()]0a αβααβ++++-=,得13cos()cos 3sin()sin αβααβα+=+,若cos()cos 0αβα+≠,则13tan()tan 3αβα+⋅=,若cos()cos 0αβα+=,tan()tan αβα+⋅无意义．说明：角的和、差、倍、半具有相对性,如()()βαβαβαα=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()αβαβα+=++等,解题过程中应充分利用这种变形．例5．已知关于x 的方程221)0x x m -+=的两根为sin ,cos ,(0,2)θθθπ∈,求：1sin cos1cot 1tan θθθθ+--的值；2m 的值；3方程的两根及此时θ的值． 解：1由根与系数的关系,得sin cos sincos 2m θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩, ∴原式2222sin cos sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ-=+==+=---．2由①平方得：12sincos θθ+⋅=sin cos θθ⋅=即2m =,故m =．3当221)0x x -=,解得1212x x ==, ① ②∴sin 21cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1sin 2cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∵(0,2)x π∈,∴3πθ=或6π．例1．化简：23tan123sin12(4cos 122)--； 2(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅；(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<． 解：1原式213sin12cos12)3sin123cos12222sin12cos12(2cos 121)sin 24cos24--==- sin 482==-2原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin coscos ααααααα-=+=+-=．3原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<,∴022θπ<<,∴|cos |cos 22θθ=,∴原式cos θ=-．例3．证明：1222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；2sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=．证：1左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x xx x x x x ++-=+==22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x xx x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x+++===--右边,∴得证．说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”,必定要“切化弦”；若“从右证到左”,必定要用倍角公式．2左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B AA+-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边,∴得证．1．若cos130a =,则tan 50=D()A()B± ()C()D 2．(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=B()A 2 ()B 4 ()C 8()D 163．化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 答案：1cos 22x 4．设3177cos(),45124x x πππ+=<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值;答案：2875- 6．已知11sin()cos [sin(2)cos ],022αβααβββπ+-+-=<<,求β的值;答案：2π7．05北京卷已知tan 2α=2,求I tan()4πα+的值；II 6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值．解：I ∵ tan2α=2, ∴ 22tan2242tan 1431tan 2ααα⨯===---; 所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+； II 由I, tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.8．05全国卷已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合. 解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+………………………………………………2分1)4x π=-…………………………………………………4分()01)04f x x π∴>⇔->sin(2)4x π⇔->…………6分 5222444k x k πππππ⇔-+<-<+…………………………8分 34k x k πππ⇔<<+…………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………12分9．05浙江卷已知函数fx ＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．Ⅰ 求f 256π的值； Ⅱ 设α∈0,π,f 2α＝41－2,求sin α的值．解：Ⅰ25125sin,cos626ππ==225252525()sin cos 06666f ππππ=+=Ⅱ 1()2sin 2222f x x x =-+11()cos sin 222242f ααα∴=+-=-011sin 4sin 162=-α-α 解得8531sin ±=α 0sin ),0(>α∴π∈α 8531sin +=∴a 1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+-B()A cot α ()B cot 2α()C tan α()D tan 2a2．已知()f x =当53(,)42ππα∈时,式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为 D()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．§三角函数的化简、求值与证明 日期：2009年 月 日星期 一、选择题1、已知1sin()43πα-=,则cos()4πα+的值等于 D A、3 B、3- C 、13 D 、13-2、已知tan α、tan β是方程240x ++=的两根,且(,)22ππαβ∈-、,则αβ+等于BA 、3π B 、23π- C 、3π或23π- D 、3π-或23π3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42x xx x ππ+---为 BA 、sin xB 、cos xC 、tan xD 、cot x4、全国卷Ⅲ22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB A tan α B tan 2αC 1 D125、山东卷函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ,若2)()1(=+a f f ,则a 的所有可能值为 BA1 B 22,1-C 22-D 22,1二、填空题6、全国卷Ⅱ设a 为第四象限的角,若513sin 3sin =a a ,则tan 2a =_____43-_________. 7、北京卷已知tan 2α=2,则tanα的值为－34,tan ()4πα+的值为 -718、已知tan()34πθ+=,则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿45-＿＿＿＿;9、已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝＿2-＿. 三、解答题 10、求证：21tan 1sin 2.12sin 1tan 22αααα++=--11、已知2sin 22sin ()1tan 42k ααππαα+=<<+,试用k 表示sin cos αα-的值;12、求值：23)csc12.4cos 122--答案：-13、已知tan tan αβ=,求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值;答案：3备用题参考资料。

数学高考总复习：三角函数的化简与求值编稿：林景飞审稿：张扬责编：严春梅知识网络目标认知考试大纲要求：1、了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2、理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.3、能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±的正弦、余弦、正切的诱导公式。

4、理解同角三角函数的基本关系式：。

重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，掌握诱导公式，能利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式进行化简与求值。

难点：利用单位圆中的三角函数线推导出，π±的正弦、余弦、正切的诱导公式知识要点梳理知识点一：任意角1、角的概念的推广：“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角，旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点。

记法：角或∠可以简记成。

2、逆时针方向旋转形成的角为正角；顺时针方向旋转形成的角为负角；射线没有旋转形成零角。

3、角的分类：（1）正角、负角、零角；（2）象限角与轴线角象限角：把角放进直角坐标系中，始边与x轴正半轴重合，终边落在哪个象限，就叫哪象限的象限角。

轴线角：终边落在坐标轴上的角4、终边相同的角：与a终边相同的角的集合可记作：或知识点二：度量角的制度角度制与弧度制1、角度制：周角的叫做1度的角，用度做量角单位。

2、弧度制的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。

圆心角的弧度数的绝对值：弧度制的意义在于实现了用实数来度量角。

3、角度制与弧度制的换算：（1）基本公式：；。

（2）4、弧度制中的两个公式：弧长公式：（弧长等于弧所对的圆心角(弧度数)的绝对值与半径的积）。

扇形面积公式：（其中l是扇形弧长，R是圆的半径）。

知识点三：任意角的三角函数1、定义：设是一个任意角，角终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是|OP|=r (r ＞0)，那么角的三个三角函数定义如下：sin=, cos=, tan=三角函数定义的本质是给“角”这个几何量的代数表达，借助的工具是把角放进直角坐标系中完成的。

３ （ 吉 ） ＋ 专 ＋ ２ １ 。 （ ÷ ） ＋ １
解题 回顾 ： 本 题 主要 考 查 了同 角三 角 函数 关 系 ｓ ｉ ｎ ２ ａ ＋Ｃ Ｏ Ｓ ２ ０ ￣ １和 ｔ ａ ｍ一 ． 同时 ， 注意 到对 于 形
一
ｔ ａ ｎ ａ －１
！ 皇 塑 ± 一 ！ 二 圭 ± ！ 主一 一 立
ｓ ｉ ｎ ｌ ｌ Ｏ 。பைடு நூலகம்ｓ ｉ ｎ ２ ０ 。 ８ ・ — ｃ ｏ ｓ ２ １ ５ ５ ￣ － —ｓ ｉ ｎ ｚ １ ５ ５ ￣
＿ 詈 ＿ ． 代 入 原 式 求 出 值 为 一 ＿ 鲁 － ．
解题 回顾 ： 解 法一 ， 是通 过 和角公 式与倍 角 公式
化成半角 ， 解法二 把半 角用倍角公式化成倍 角三角 函 数． 在 三角恒 等变形中 ， 确定变换方 向十分重要 ．
．
出ｔ ａ ｎ ａ的 值 ， 对于 第 （ ２ ） 小 题， 先 用 二 倍 角 公 式
是， 实际操作 中 ， 往 往借 助题 目条件 的特 殊性来 整体
・ ・ ． ． Ｉ ◆
考虑 ， 使用题 目条件求解． 解： 由已知可求得 ｔ ａ ｍ— １
，
又 ‘ ． ‘ 警 ＜ ａ ＜ ７ （ ’ ． ． ． 一 １ ＜ ｔ ａ ｎ ａ ￣ Ｏ ＇ ． ． ． ｔ ａ ｍ 一 一 ３ 舍
５ ．ｃ ｏ ｓ ７ ５ 。 一ｃ ｏ ｓ ｌ ５ 。 一
９ ｓ ｉ ｎ ２ … 。
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于 是 ｃ 。 ｓ ２ 一 １ — ２ ｓ ｉ ｎ ２ ａ 一 号 ， ｓ ｉ ｎ ２ 一 一 ６ ｓ ｉ ｎ ２ 一
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７ ・ 若 ｓ ｉ ｍ 一 ｛ ， ２ ７ 【 ＜ 口 ＜ ３ ， 则 ｓ ｉ ｎ 号 ＋ ｃ 。 ｓ 号 一

)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 （2） 化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】 已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】 已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 （ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（ ） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于 （A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。