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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用

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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生（上海市市北中学 200071）
2003年北京高考数学卷第18（III）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的
蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，
则有MQMP.
证明：如图1，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022FEyDxCyBxyAx(*)，设A（0，t），B（0，-t），知t，-t
是02FEyCy的两个根，所以0E.
若CD，EF有一条斜率不存在，则P，Q与A，B重合，结论成立.
若CD，EF斜率都存在，设C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，
k2x3）, F（x4,k2x4），P（0，p），Q（0，q），

111
13

1132
)(:xkxxxxxkxkyCE

,

13213111113
1132
)()0(xxkkxxxkxxxxkxkp

,同理

242142)(xxkkxxq, 所以)()()]()()[(1324
4321214321
xxxxxxxxxxxxkkqp




将xky1代入(*)得0)()(12211FxEkDxCkBkA,又0E得
21121CkBkADxx, 2
11
21

CkBkAFxx


, 同理 22243CkBkADxx,

2
22
43

CkBkAFxx


，所以0qp，即MQMP.

注:2003年高考数学北京卷第18（III）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB为平行长轴的弦的
特殊情形.
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l∥AB，过M任作两条弦CD
和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有MQMP.
证明：如图2，以M为原点，AB所在的直线为y轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为
022FEyDxCyBxyAx
(*)，设A

（11,yx），B（21,yx），则切线MA的方程是

F
E
M

P

Q
D

C

B
A
y

x
图1

F
E

M
P

Q
D

C
B

A
y

x
图2
02211FyExD，切线MB的方程是02221FyEx
D
，得0)(21yyE，所以0E.（下

面与定理1的证明相同，略）
特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上.

性质1：过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222byax的弦CD，EF是其焦点轴，则直线CE、DF

的连线交点G在直线l：max2上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为准线与焦点轴所在直线
的交点时，l就是过焦点的直线.
证明：如图3，过M做直线AB垂直焦点轴所在的直线，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则根
据定理1，定理2得MQMP.
过G做GH垂直焦点轴所在直线于H，得

FHFMHGMQHGMPHE
EM

，设M（m，0），H（n，0），

2
amn
. 焦点轴长为2a，则有namanama，得

注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论2.
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF看作与焦点轴平行的直线，于是
得到性质2.
性质2：过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD，E是抛物线的顶点，直线DF与抛物线的对
称轴平行，则直线CE、DF的连线交点在直线l：mx上.特别的，当M为焦点时，l就是准线.当M为
准线与焦点轴的交点时，l就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中M为焦点的情形.性质2就是文[1]中的性质2，文
[2]中的推论1.

性质3：直线l：max2，过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222byax的弦CD，直线l与CD交

于点I，则DIDMCICM.
证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：
DIDMIGMQIGMPCI
CM

.

性质4：过点M（m，0）做椭圆、双曲线
12222
bya

x
的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线
交点G在

y
H
G
O
F
E

M

P

Q
D

C

B
A

x

图3

I
y
HGOFE
M

P

Q
D

C

B
A

x

图4

图5
E
I

y
H
GOFMPQ
D

C

B
A

x
直线l：max2上.
证明：如图5，过G做GH垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：

DIDMIGMQIGMPCI
CM

，由性质3得，点I在直线l：max2上，所以点G在直线l：max2上.

类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5：直线l：mx，过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD，直线l与CD交于点I，

则DIDMCICM.
性质6：过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD、EF，则直线CE、DF的连线交点G在直线l：
mx
上.

注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M为焦点时，直线CE、DF的连线交点G落
在相应准线上.

性质7：过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222byax的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切

线的交点G在直线l：max2上.
证明：如图6，设切线CG交直线l于G1，连接G1D，若G1D
与圆锥曲线有除D点外的公共点F，做直线FM交圆锥曲线于E，由
性质4知CE与DF的交点在直线l上，所以C、E、G1三点共线，
与CG1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G1D与圆锥曲线只有一个公共
点D，G1D是圆锥曲线的切线，G1与G重合， G在直线l上.
性质8：过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD，则以C，D为切点的圆锥曲线的切线的交点
G在直线l： mx上.
注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.

性质9：直线l：max2，过点M（m，0）做椭圆、双曲线12222byax的弦CD，C、D在l上的

射影为C1、D1，在焦点轴所在直线上的射影为C2、D2，则2121DDDDCCCC.
证明：如图7，由性质3得：

2211CCDDDICIDMCMDDCC,所以212
1
DDDDCC

CC


.

y
H
G

O
F
M
D

C
x
图6

I
y
D2
O
F
C2

M
C1

D

C
D1
x

图7
性质10：直线l：mx，过点M（m，0）做抛物线pxy22的弦CD，C、D在l上的射影为
C1、D1，在对称轴上的射影为C2、D2，则2121DDDDCCCC.
注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]中的推论也可由性质3、5直接推出.
性质11：在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和
EF，直线CE与DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，

则FIFMEIEM.
证明：如图8，直线CE与DF交直线AB于P，Q，由定理1
得：MQMP, 所以

FIFMIGMQIGMPEI
EM

.

性质12：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与
DF交于点G，过G做GI∥AB，直线GI交FE于I，则FIFMEIEM.
性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，
9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。
参考文献
1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7
2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，6
3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，4
4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，2
5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7

I
G
FEM

P

Q
D

C

B
A

图8

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蝴蝶定理初等证明的开放性教学

蝴蝶定理初等证明的开放性教学

蝴蝶定理初等证明的开放性教学作者：王梦瑗来源：《都市家教·下半月》2015年第03期【摘要】蝴蝶定理是数学史上一道经典的几何题，几百年来对它的研究一直不断更新和发展。

本文结合蝴蝶定理在我国的研究历史，研究蝴蝶定理初等证明的开放性，为将蝴蝶定理带进课堂提出教学建议。

【关键词】蝴蝶定理；开放性教学1蝴蝶定理简介1.1 蝴蝶定理的一般形式简述如图一所示，EF是⊙O的弦，P是EF的中点，AB、CD是两条过点P的弦，连接AD、BC，分别交弦EF于点M、N，则P是M、N的中点。

1.2 我国蝴蝶定理的研究历史蝴蝶定理是近代初等几何中的名题之一，同时也是欧氏平面几何的一个有趣的论断。

早在1815年，它作为一个征求证明的问题，刊载于西欧的一本杂志《Gentleman’s Diary（男士日记）》上，引起了数学爱好者们的关注[1]。

但是“蝴蝶定理”这个叫法最早出现在1944年出版的《American Mathematical Monthly（美国数学月刊）》上，因其几何形状与蝴蝶相似而命名[2]。

200年来，我国数学爱好者们不断给出新的、简洁的证明方法，给这个“老问题”注入了“新活力”。

我国对蝴蝶定理的研究，开始于20世纪80年代。

1985年，杜锡录教授①在《平面几何中的名题及其妙解》一文中，将蝴蝶定理普及给大众[3]。

同年，杨路教授②在《谈谈蝴蝶定理》一文中指出，将弦EF的中点P推广到弦EF的任意一点，可得蝴蝶定理的坎迪（A.L.Candy）蝴蝶形式[4]： (1)其中，EP=a，FP=b，MP=x，NP=y。

不久之后，马明学者③在《蝴蝶定理的变异》一文中，将弦EF上的点P，拓展到弦EF 外，开拓了蝴蝶定理研究的新方向[5]。

这一时期主要讨论圆（椭圆）中蝴蝶定理的各种变形，直至1990年，中国数学竞赛选拔题中出现了筝形蝴蝶定理：如图二所示，筝形ABCD中，AB=AD、BC=CD，过对角线交点O作直线EF、MN，连接EN、MF，分别交BD于点P、Q，则PO=Q。

数书九章 蝴蝶定理

数书九章 蝴蝶定理

数书九章蝴蝶定理一、定理描述蝴蝶定理是数书九章中的一条著名定理，其表述为：在任意一个二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)中，其对称轴两侧的两个端点A、B和函数图像的最低点P构成的直线AP和BP的斜率之和等于零。

即：k1 + k2 = 0，其中k1、k2分别为直线AP、BP的斜率。

二、证明方法蝴蝶定理的证明方法有很多种，其中一种常用的证明方法是利用二次函数的性质和对称性。

通过设A、B、P三点的坐标，并利用对称性质和斜率公式，我们可以推导出k1 + k2 = 0。

三、应用举例蝴蝶定理在数学、物理、工程等多个领域有着广泛的应用。

例如，在解决一些几何问题时，可以利用蝴蝶定理来求解一些未知量；在解决一些物理问题时，可以利用蝴蝶定理来研究一些物体的运动轨迹；在解决一些工程问题时，可以利用蝴蝶定理来优化一些设计。

四、推广和变形蝴蝶定理可以推广到更高维度的空间中，并可以在不同的数学分支中得到应用。

此外，蝴蝶定理还有许多变种形式，如双曲线的蝴蝶定理等。

五、历史背景蝴蝶定理最早出现在中国的数书九章中，是古代数学家们研究二次函数时的一个重要成果。

随着时间的推移，蝴蝶定理逐渐被世界各地的数学家所认识和应用，成为数学史上的一个经典定理。

六、文化内涵蝴蝶定理不仅是一个数学定理，更是一种文化现象。

在中国文化中，蝴蝶常常被视为美丽、优雅和自由的象征。

因此，蝴蝶定理也被赋予了这些美好的寓意，成为了一种具有文化内涵的数学定理。

七、与其他数学定理的关系蝴蝶定理与其他数学定理之间有着密切的联系。

例如，它可以与勾股定理、射影定理等其他几何定理结合使用，来解决一些更复杂的数学问题。

此外，蝴蝶定理还可以被应用到复数、矩阵等领域中，与其他数学分支相互渗透。

八、当代研究现状随着数学的发展，蝴蝶定理的研究也在不断深入。

现代数学家们利用代数、几何、拓扑等各种工具对蝴蝶定理进行了深入的研究，揭示了它更深层次的数学内涵和意义。

同时，随着计算机技术的发展，数值计算和符号计算等方法也被应用到蝴蝶定理的研究中，为定理的应用提供了更多的可能性。

蝴蝶定理

蝴蝶定理

蝴蝶定理少26杨明煜蝴蝶定理最早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。

蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。

有意思的是，迟至1972年，人们都均用高等数学给出繁琐的证明。

然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。

至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，他给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 AB·AC·sinA。

1969年，查克里恩给出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。

1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在中国传开。

接着，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。

从此以后，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如椭圆中的蝴蝶定理。

1990年，出现了筝形中的蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。

关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。

证明引理1：共边定理引理2：共角定理引理3：共圆定理证：连结AP，PD，CQ，QB若MX=MY，则MX/MY=MP/MQ=1,MX/MP=MY/MQ,MX/XP=MY/YQ，MX/XP·YQ/MY=1∴往证MX/XP·YQ/MY=1MX/XP·YQ/MY=S△AMD/S△APD·S△CQB/S△CMB(共边定理)=S△AMD/S△CMB·S△CQB/S△APD=MA·MD/MB·MC(共角定理)·CQ·QB·BC/AP·PD·DA(共圆定理)=MA/MB·MD/MC·QB/AP·CQ/PD·BC/DA=MA/MB·MD/MC·MB/MP·MQ/MD·MC/MA（相似）=MQ/MP=1 （证毕）附录一：引理的证明1.共边定理其实上面给的共边定理仅为共边定理的一部分，真正的共边定理是：设直线AB 与PQ交于M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM（共4种情况,分别为P、Q在AB两侧,A、B也在PQ两侧;P、Q在AB同侧,A、B在PQ两侧;P、Q在AB两侧,A、B在PQ同侧;P、Q在AB同侧,A、B在PQ 同侧）不妨设M与B不重合（否则等式显然成立）,对于任何一种情形,均有S△PAB/S△QAB=S△PAB/S△PMB·S△PMB/S△QMB·S△QMB/S△QAB=AB/MB·PM/QM·MB/AB=PM/QM2.共角定理无论∠A与∠A'相等或互补,均可将两三角形平移,使∠A与∠A'重合或形成一平角。

坎迪定理在圆锥曲线上的推广

坎迪定理在圆锥曲线上的推广

1 1 1 1
IA }’ M
1
故， , Q 位于M 两侧时 当P
}BM I 一!PM I 一!QM}; 当P , Q 位于M 同一侧且}AM I< IBM I
时， IAM 一!刀 I M 定理1 证毕. 形式可写成
1
}PM I
JAMI一 MI IPMI一 MI IB !Q
则 TA% ) 一Tnw i 二I 葫 I .f r , ， 乃 !八 } !刀 ! }PM } “ M M
上任意一点M 引任意两条弦〔 和EF ， 刀 连 ED , CF 交AB 于P 和Q. 若AM= a ,BM = b， PM= x ， = y ， QM 则
1 1 1 一 - 一一 6 一H a
一
F(x ,y)=Ax2+Bzy+以 +Dr 一 +b)y + C(a
abC+a (， klx )(y 一 ) =0(.1E R) ( 。 一 k2x )
1 1
点， 直线月 y 轴 直 刀为 建立 角坐标系， (0, a ) , B 设A
(0, b) ， 并设过A , B 两点
的任意二次曲 线方程为
!Q }PM I 一 M I; IAM I< !BM I， 若 尸 Q 位于M 同一侧， 、
} } !刀 ! AM M
只 I A1 布 一 J 1A
1r u vl I
中学数学研究
2007 年第3 期
坎 迪 定 理 在 圆 锥 曲 线 上 的 推 广
江西省宁 都中学 (342800) 段惠民 饶庆生
将平面儿何中 著名的 蝴蝶定理推广便有:
合 方 为y=klx,y=k2x. )的 程
则过C, E, D, F 四 点的二次曲 线系方程为