乘法公式3.4乘法公式(3)

1)左边为两个数的和与差的积,右边为两个 数的平方差
2)有些式子通过适当变形实质上能用公式 3)公式中的a和b可以是数,也可以是整改建一个 边长为 a(m)的正方形养鸡场, 计划纵向扩大3m,横向缩短 3m,改建为长方形养鸡场.问 改建后的养鸡场面积有没有 变化?如果有变化,变化多少?
练习2： 运用平方差公式计算:
1 、 ( 2a 3b)( 2a
2
3b)
2
( 2a) ( 3b) 2a 3b
2 2
2、5678×5680-56792 =(5679-1)(5679+1)-56792 =56792 -1 -56792 = -1
运用平方差公式计算:
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216
5米
(X+5)米
x 米
5米
(X-5)米
(1) (a+2) (a-2) =? (2) (3-x)(3+x) = ? (3) (2m+n)(2m-n) = ?
观察以上算式，你发现了什么规律？
运算出结果，你又发现了什么？ (a+b)(a-b) = a2-b2
两数和与这两数差的积， 等于这两数的平方差。
(a+b)(a-b)
= a2-b2

-2x 3
(-2x)²-3² 4x²-9
①怎样确定a与b：符号相同的看作a，符号不同的看作b
②当a ,b是分数或负数或数与字母的乘积时,要把它们看成一个 整体用括号括起来，最后的结果又要去_掉__括_号__,化__简__到__最_简____。
检验成果:
1.辩一辩：判断并改错：
(1) (a+3)(a-3)=a²-3 改正：(a+3)(a-3)=a²-9
找出相等的“项”和符号相反的“项”， 然后应用公式．
(1) (-3a2+2b2)(
)=9a4-4b4
(2) (
)(-y-1)=1-y2
例2.利用平方差公式计算:
(1) 103×97
（2）59.8×60.2
完成课本P75 课内练习（3）（4），作业题第3题
1.运用平方差公式计算:
(1) ( 2a 3b)( 2a 3b)
运用平方差公式时，要紧扣公式的特征，找出相等 的“项”和符号相反的“项”，然后应用公式；
对于不符合平方差公式标准形式者，要利用加法 交换律，或提取两“−”号中的“−”号，变成公 式标准形式后，再用公式。
96104
径山镇中学 盛敏建
情境引入 计算下列各题，你能发现什么规律？ (1)(x+1)(x-1)= __x_2_－__1____； (2) (m+2)(m-2)=__m_2_－__4___； (3) (2x+1)(2x-1)=__4_x_2_－__1数。
右边是乘式中两项的平方差。
(a+b)(a-b) = a2-b2
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 。
公式验证 a
a
a
b
a-b

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。

乘法公式（基础）【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：()()a b a b +-=22b a -.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a ，b 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+； （2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-； （4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+；（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：=+2)(b a 222b ab a ++ ()2a b -=222b ab a +- 两数和 （差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+；ab b a b a 4)()(22+-=+.要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用例1 下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的， 写出计算结果．（1）()()2332a b b a -- （2） ()()2323a b a b -++（4） ()()2323a b a b ---+ （4） ()()2323a b a b +-（5） ()()2323a b a b --- （6）()()2323a b a b +--变式1 下列式中能用平方差公式计算的有（ ） ①⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x y x 2121； ②)3)(3(a bc bc a ---； ③)3)(3(y x y x +++-； ④)1100)(1100(-+A.1个B.2个C.3个D.4个变式2 计算：（1）59.9×60.1 （2）102×98类型二、完全平方公式的应用例3 计算：（1）()232a -+ （2） ()223x y --变式1 下列计算正确的是（ ）A.222)(n m n m -=-B.22263)3(q pq p q p +-=+- C.211222-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x D.b ab a b a 42)2(22++=+变式2 计算：（1）22002 （2）21999 （3）2999.9例4 已知8=+b a ，ab =12．求下列各式的值：（1） 22a ab b -+ （2） 2()a b -变式 已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．类型三、综合应用例5 将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是___________．甲 乙。