九年级数学二次函数的应用-(2)

A t cm
P
B (6-t)cm
2014.12
问题解决
1.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字型的窗框，如 果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时， 窗架的面积最大？
y 1(63x)x 2
x
2014.12
问题解决
3.如图，隧道的横截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是
（2）设五边形APQCD的面积为Scm2 ，写出S与t的函数关系式， t为何值时S最小？求出S的最小值。
（2）由题意得
D
C
S=12×6 -
1 2
×2t(6-t)
=t2-6t+72=(t-3)2+63
∵1>0 ∴当 t=3 时 S 最小值=63 即 t=3cm 时 S 有最小值 63cm2
Q 2t cm
由题知 24-4x>0 解得 x<6
A
D
∵x>0
∴x 的取值范围是 0<x<6
B
C
(2) ∵-4<0 ∴当 x=－2×2(4-4)＝3 时，
S 最大= -4×32+24×3=36 则当 x=3m 时，所围成的花圃面积最大，最大值为 36m2。
2014.12
变式练习2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中 间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的AB=xm，面积为Sm2。
225 36
∵-
7 2<0
∴当
x=
15 14
≈1.07 时，S 最大=
225 36
≈4.02
即当 x≈1.07m 时，S 最大≈4.02m2，此时窗户通过的光线最多。
2014.12

二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次函数的基本概念，掌握二次函数的图像特征及其性质，能准确描述其开口方向、顶点、对称轴等关键信息。
2.学会运用二次函数解决几何问题，如求抛物线与直线的交点、距离、面积等，并能将其应用于解决实际问题。
3.培养学生运用数形结合思想，通过绘制图像，直观判断二次函数与几何图形的关系，提高解决问题的准确性和效率。
4.数形结合方法，提高解题效率
本案例重视数形结合方法的运用，引导学生通过观察二次函数的图像特征，直观判断几何问题的解。这种方法有助于提高学生解决问题的效率，培养他们的几何直观和空间想象能力。
5.反思与评价，促进自我提升
案例中设置了反思与评价环节，让学生在学习过程中不断总结经验，发现自身不足，从而实现自我提升。同时，多维度评价机制也有助于学生全面了解自己的学习成果，激发他们持续学习的动力。
（二）问题导向
在教学过程中，我将采用问题导向的教学策略，引导学生围绕核心问题进行探讨。设计具有启发性和挑战性的问题，鼓励学生运用所学知识，通过分析、综合、推理等思维过程解决问题。针对二次函数在几何方面的应用，可以提出如下问题：“如何求抛物线与直线的交点？”“抛物线的顶点在几何问题中有何作用？”等。问题导向的教学策略有助于培养学生主动思考、独立解决问题的能力。
3.小结反馈：收集学生的作业，了解他们在学习过程中的困惑和问题，为下一节课的教学提供参考。
五、案例亮点
1.生活情境融入，激发学习兴趣
本教学案例将生活中的实际情境融入课堂，如建筑、体育等领域中的抛物线现象，使学生在轻松愉快的氛围中感受二次函数与几何图形的结合。这种贴近生活的教学方式，有助于激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
4.引导学生认识到数学与现实生活的紧密联系，体会数学在解决实际问题中的价值，培养他们用数学的眼光看待世界的意识。

a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (1)a确定抛物线的开口方向：
y
•(0,c)
0
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解:(6)
y
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
•(0,-3–) 2
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 ：（4）由对称性可知
y
MA=MB=√22+22=2√2
• • AB=|x1-x2|=4
A(-3,0) D B(1,0) x
∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
0
=2 √2×2+4=4 √2+4 Δ=M—12 A×B4面×积2==4—12AB×MD
3
• •C(0,-2–) • M(-1,-2)
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y = ax^2 + bx + c（a≠0）的函数。它在生活中有着广泛的应用，如最优化问题、几何图形等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-二次函数的最值问题：掌握求解最大（小）值的方法，理解最值与抛物线开口方向、顶点坐标的关系；
-实际问题中的二次函数模型构建：如何将实际问题转化为二次函数模型，并应用相关知识解决问题。
举例解释：讲解二次函数标准形式时，通过具体例子（如y = 2x^2 + 4x + 1）说明a、b、c的取值如何影响抛物线的开口、宽度、平移等。
在学生小组讨论环节，我发现大家对于二次函数在实际生活中的应用有很多独特的见解，这充分展示了他们的创新思维。但同时，我也发现有些学生在分析问题时思路不够清晰，需要我在旁边给予适当的引导。因此，我认为在今后的教学中，应该多设置一些开放性的问题，培养学生的逻辑思维和分析能力。
总之，今天的课堂教学让我认识到，在教授二次函数这部分内容时，要关注学生的理解程度和实际应用能力。在今后的教学中，我将不断调整和改进教学方法，努力提高学生们的数学核心素养。
北师大版九年级下册数学2.4.2二次函数的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级下册数学第二章“函数与方程”第四节“二次函数”的2.4.2小节“二次函数的应用”。教学内容主要包括以下几部分：
1.二次函数在实际问题中的应用，如求解最大（小）值问题；
2.利用二次函数的性质解决几何问题，如抛物线与坐标轴的交点、对称轴、顶点等；
2.思维与探究：培养学生通过观察、分析、归纳等方法，发现二次函数的规律和特点，提升逻辑推理和数学探究的核心素养；