函数的微分

第七节 函数的微分
一、微分的定义
1、引例：设一正方形金属薄片，受温度的影响，其边长由0x 变为x x ∆+0；求其面积的改变量？ 2
00)(x x S =， 200)()(x x x x S ∆+=∆+ 20202000)(2)()()(x x x x x x x S x x S S ∆+∆=-∆+=-∆+=∆。

设x x I ∆=012（是x ∆的线性函数），)()(22x o x I ∆=∆=，当||x ∆很小时，1I S ≈∆。

一般地，若函数)(x f y =满足一定条件，则函数的增量y ∆可表示为：)(x o x A y ∆+∆=∆，其中A 是不依赖于x ∆的常量，因而A 是x ∆的线性函数，且它与y ∆之差为：)(x o x A y ∆=∆-∆，是比x ∆高阶的无穷小。

因而当||x ∆很小时，x A y ∆≈∆。

2、微分的定义
定义：设函数)(x f y =在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在该区间内，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，可表示为：)(x o x A y ∆+∆=∆，其中A 是不依赖于x ∆的常数，而)(x o ∆是比x ∆高阶的无穷小，那末称函数)(x f y =在点0x 是可微的，而x A ∆叫函数)(x f y =在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即dy =x A ∆。

微分的特性：（1） dy =x A ∆是x ∆的线性函数，若A ≠0，则称dy 是的y ∆线性主部。

（2） )(x o x A y ∆=∆-∆，当||x ∆很小时，dy ≈y ∆。

3、函数)(x f y =在点0x 可微与函数)(x f y =在点0x 可导的关系 函数)(x f y =在点0x 可微 ⇔ 函数)(x f y =在点0x 可导 即：)(x o x A y ∆+∆=∆ 即： )(lim 0/0x f x y x =∆∆→∆ x x o A x y ∆∆+=∆∆)( )()(0/x x f x
y ∆+=∆∆α（其中0)(lim 0=∆→∆x x α A x
x o A x y x x =∆∆+=∆∆→∆→∆))((lim lim 00 )()()()(0/0/x o x x f x x x x f y ∆+∆=∆∆+∆=∆α 故函数)(x f y =在点0x 可导。

故函数)(x f y =在点0x 可微。

定理1：函数)(x f y =在点0x 可导⇔函数)(x f y =在点0x 可微，且其微分为 x x f dy ∆=)(0/ 显然，函数)(x f y =在任意点的微分，称为函数的微分，记为：x x f dy ∆=)(/。

通常，把自变量x 的增量x ∆称为自变量的微分，记作dx ，即dx =x ∆，
于是函数)(x f y =的微分可记为：dx x f dy )(/= ，则)
(/x f dx dy =，即函数的微分dy 与自变量的微分dx 的商等于函数的导数，故导数亦称为微商。

二、微分的几何意义
设点),(00y x M 函数)(x f y =的图形上的任意取定的一点，当自变量x 有微小增量x ∆时，得到曲线上的另一点),(00y y x x N ∆+∆+，（如图）x MD ∆=，y DN ∆=。

过点),(00y x M 作曲线的切线MT ，其倾角为α，)(0/x f MD tg MD MP ⋅=⋅=α， 即：MP dy =。

显然，y ∆是曲线)(x f y =上的点的纵坐标的增量，dy 是曲线)(x f y =的且线上的点的纵坐标的相应增量。

三、基本初等函数的微分公式及微分的运算法则
1、基本初等函数的微分公式
导数公式 微分公式 1/)(-=μμμx x dx x x d 1)(-=μμμ x x cos )(sin /= xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos /-= xdx x d sin )(cos -= x x 2/sec )(tan = xdx tgx d 2sec )(= x ctgx 2/csc )(-= xdx ctgx d 2csc )(-= x x x tan sec )(sec /= xdx x x d tan sec )(sec = xctgx x csc )(csc /-= xctgxdx x d csc )(csc -= a a a x x ln )(/= adx a a d x x ln )(= x x e e =/)( dx e e d x x =)( a x x a ln 1)(log /= dx a
x x d a ln 1)(log =
x x 1)(ln /= dx x x d 1)(ln = 2/11
)(arcsin x x -= dx x x d 211)(arcsin -= 2/11)(arccos x x --= dx x x d 2/11)(arccos --= 2/11)(arctan x x += dx x
x d 211)(arctan += 2/11)cot (x x arc +-= dx x
x arc d 211)cot (+-=
2、函数的和、差、积、商的微分法则：
设)(x u u =，)(x v v =，则：
///)(v u v u ±=± dv du v u d ±=±)( //)(cu cu =（c 为常数） cdu cu d =)(（c 为常数） ///)(uv v u uv += udv vdu uv d +=)( 2
/
//)(v uv v u v u -= 2)(v udv vdu v u d -= 3、复合函数的微分法则：
设)(u f y =，)(x u ϕ=，则复合函数)]([x f y ϕ=的微分为：dx x u f dx y dy x )()(///ϕ==，而
)(x u ϕ=，dx x du )(/ϕ=，故du u f dy )(/=。

4、一阶微分形式不变性
对函数)(u f y =，无论u 是自变量还是另一个变量的可微函数，微分形式du u f dy )(/=保持不变。

例1：求下列微分
（1）2x y =，求2=x dy
；（2）)12sin(2+=x y ，求dy （3）)1ln(2x e y +=，求dy ； （4）x x y cos ln arcsin 2⋅=，求dy
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