离散数学课后习题答案第三章

离散数学第2版课后习题答案离散数学是计算机科学和数学领域中一门重要的学科，它研究离散对象及其关系、结构和运算方法。

离散数学的应用非常广泛，包括计算机科学、信息科学、密码学、人工智能等领域。

而离散数学第2版是一本经典的教材，它系统地介绍了离散数学的基本概念、原理和方法。

本文将为读者提供离散数学第2版课后习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握离散数学的知识。

第一章：基本概念和原理1.1 命题逻辑习题1：命题逻辑的基本符号有哪些？它们的含义是什么？答：命题逻辑的基本符号包括命题变量、命题联结词和括号。

命题变量用字母表示，代表一个命题。

命题联结词包括否定、合取、析取、条件和双条件等，分别表示“非”、“与”、“或”、“如果...则...”和“当且仅当”。

括号用于改变命题联结词的优先级。

习题2：列举命题逻辑的基本定律。

答：命题逻辑的基本定律包括德摩根定律、分配律、结合律、交换律、吸收律和否定律等。

1.2 集合论习题1：什么是集合？集合的基本运算有哪些？答：集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象称为集合的元素。

集合的基本运算包括并、交、差和补等。

习题2：列举集合的基本定律。

答：集合的基本定律包括幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律和德摩根定律等。

第二章：数理逻辑2.1 命题逻辑的推理习题1：什么是命题逻辑的推理规则？列举几个常用的推理规则。

答：命题逻辑的推理规则是用来推导命题的逻辑规则。

常用的推理规则包括假言推理、拒取推理、假言三段论和析取三段论等。

习题2：使用推理规则证明以下命题：如果A成立，则B成立；B不成立，则A不成立。

答：假言推理规则可以用来证明该命题。

根据假言推理规则，如果A成立，则B成立。

又根据假言推理规则，如果B不成立，则A不成立。

2.2 谓词逻辑习题1：什么是谓词逻辑？它与命题逻辑有何区别？答：谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑系统，它引入了谓词和量词。

与命题逻辑不同，谓词逻辑可以对个体进行量化和描述。

离散数学第三章答案冯伟森等编著机械工业出版社9(1)法1:(A∩B)-(A∩C)法：=A∩B∩A∩C=A∩B∩(A∪C)(∪)=(A∩B∩A)∪(A∩B∩C)())=∪(A∩B∩C) )=A∩(B-C)-)法2:对某:某∈(A∩B)-(A∩C):∈某∈A∩B∧某A∩C∈某∈A∧某∈B∧~某∈A∩C∈∈第三章某∈A∧某∈B∧~(某∈A∧某∈C)∈∈(∈)某∈A∧某∈B∧(某A∨某C)∈∈)某∈∨(某∈A∧某∈B-C)∈∈∈某∈A∩(B-C)故等式成立∈()(某∈A∧某∈B∧某A)∨(某∈A∧某∈B∧某C)∈∈∈(3)法1:(A-B)-C法：=(A∩B)-C=(A∩B)∩C(=A∩B∪C=A-(B∪C)-)=A∩C∩B=(A-C)∩B-=(A-C)-B--法2:对某:某∈(A-B)-C:∈某∈A∧某B∧某C∈某∈A∧某(B∪C)∈某∈A-(B∪C)∈)某∈A∧某C∧某B∈某∈(A-C)∧某B∈)某∈(A-C)-B∈)13(4)法1:利用“AB”证明对某:某∈A∩C某∈B∩C:利用“证明对:∈∈证明对某∈A∩C∈某∈A∧某∈C(已知AB)∈∈某∈B∧某∈C∈∈某∈B∩C∈法2:利用包含的等价关系：:利用包含的等价关系：ABA∩B=AA∩C∩B∩C=A∩C故A∩CB∩C故(6)AC∧BCA∪BC已知A已知CA∪C=CBCB∪C=C得A∪B∪C=A∪C=C故A∪BC15.A某B={(1,c)(1,d)(2,c)(2,d)(3,c)(3,d)}某A某A={(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)}某(A某B)某B={((1,c),c)((1,c),d)((1,d),c)(1,d),d)((2,c),c)某某((2,c),d)((2,d),c)((2,d),d)((3,c),c)((3,c),d)((3,d),c)((3,d),d)}16.2A={,{},{a},{{b}},{,a},{,{b}},{a,{b}}{,a,{b}}}17.证明：2A∩2B=2AnB证明：欲证：欲证：某:某∈2A∩2B某∈2AnB∈∈某∈2A∩2B∈某∈2A∧某∈2B∈∈某A∧某B某A∩B某∈2AnB∈19.(1)充分性BA某CB某C充分性:A充分性某某利用“欲证(某,y)∈A某C(某,y)∈B某C利用“AB”欲证欲证某某(某,y)∈A某C某某∈A∧y∈C(已知B)已知A∈∈已知某∈B∧y∈C∈∈(某,y)∈B某C∈某必要性：某必要性：A某CB某CAB某(某,y)∈A某C∈某某∈A∧y∈C(已知某CB某C)已知A某∈∈已知某某∈B∧y∈C∈∈故由某∈A某∈B得AB故由∈∈得法2:ABA∩B=A:由已知C≠:A某C某=(A∩B)某C某=A某C∩B某C某某由包含的等价关系得：由包含的等价关系得：A某CB某C某某3.A={,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}R={({0},{0})({0} ,{0,1})({0},{0,2})({0},{0,1,2})4个个({1},{1}),({1},{0,1})({1},{1,2}),({1},{0,1,2})4个个({2},{2})({2},{0,2})({2},{1,2})({2},{0,1,2})4个个({0,1},{0,1})({0,1},{0})({0,1},{1})({0,1},{0,2})({0,1},{1,2})({0 ,1},{0,1,2})6个个({0,2},{0,2})({0,2},{0})({0,2},{2})({0,2},{0,1})({0,2},{1,2})({0 ,2},{0,1,2})6个个({1,2},{1,2})({1,2},{1})({1,2},{2})({1,2},{0,1})({1,2},{0,2})({1 ,2},{0,1,2})6个个({0,1,2},{0,1,2})({0,1,2},{0})({0,1,2},{1})({0,1,2},{2})({0,1,2} ,{0,1})({0,1,2},{0,2})({0,1,2},{1,2})7个个共37个个。

第1章习题1.1(2) 简单命题（3），（4），（5）不是命题(6) 复合命题1.5p∧，其中，p：2是偶数，q：2是素数。

（1）qp→，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（5）qq→，其中，p，q的含义同（5）（6）pq→，其中，p，q的含义同（5）（7）p1.7（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。

真值表法表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的最后一列全为1，所以，（1）为重等值演算法→)p∨∨q(rp∨⇔（蕴含等值式）∨⌝qp∨(r)p∨⌝⇔)(（结合律）p∨∨rqp⇔1（排中律）∨rq∨⇔（零律）1由最后一步可知，（1）为重言式。

（3）用等值演算法判（3）为矛盾式(→⌝)p∧qq⌝⇔)(（蕴含等值式）⌝q∨qp∧⇔（德·摩根律）⌝∧p∧qq∧⇔（结合律）⌝(q)qp∧0∧⇔p （矛盾律）0⇔（零律）由最后一步可知，（3）为矛盾式。

（10）非重言式的可满足式 1.8（1）从左边开始演算)()(q p q p ⌝∧∨∧)(q q p ⌝∨∧⇔ （分配律）1∧⇔p （排中律） .p ⇔ （同一律）（2）从右边开始演算)(r q p ∧→)(r q p ∧∨⌝⇔ （蕴含等值式） )()(r p q p ∨⌝∧∨⌝⇔ （分配律） ).()(r p q p →∧→⇔ （蕴含等值式）1.9（1）))((p q p →∧⌝ ))((p q p ∨∧⌝⌝⇔ （蕴含等值式）p q p ⌝∧∧⇔（德·摩根律） q p p ∧⌝∧⇔)(（结合律、交换律）q ∧⇔0 （矛盾式）.0⇔（零律）由最后一步可知该公式为矛盾式。

（2）)())()((q p p q q p ↔↔→∧→)()(q p q p ↔↔↔⇔（等价等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。

1.12 (1) 设(1)中公式为A.)())((r q p r q p A ∧∧→∧∨⇔ )())((r q p r q p A ∧∧∨∧∨⌝⇔)()(r q p r q p A ∧∧∨⌝∨⌝∧⌝⇔ )()()(r q p r p q p A ∧∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔)())(())((r q p r q q p r r q p A ∧∧∨⌝∧⌝∨∧⌝∨∨⌝∧⌝∧⌝⇔)()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p A ∧∧∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔)()()()(r q p r q p r q p r q p A ∧∧∨⌝∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔7210m m m m A ∨∨∨⇔于是,公式A 的主析取范式为7210m m m m ∨∨∨易知,A 的主合取范式为6543M M M M ∨∨∨A 的成真赋值为000, 001, 010, 111A 的成假赋值为011,100,101,110(2)设(2)中公式为B)()(p q q p B ∨⌝→→⌝⇔ )()(p q q p ∨⌝→∨⌝⌝⇔ )()(p q q p ∨⌝→∨⇔ )()(p q q p ∨⌝∨∨⌝⇔ p q q p ∨⌝∨⌝∧⌝⇔)())(())(()(q q p q p p q p ⌝∨∧∨⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝⇔)()()()()(q p q p q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧∨⌝∧⌝∨⌝∧⌝⇔ )()()(q p q p q p ∧∨⌝∧∨⌝∧⌝⇔320m m m ∨∨⇔所以,B 的主析取范式为320m m m ∨∨.B 的主合取范式为1M B 的成真赋值为00,10,11. B 的成假赋值为01. 1.14 设p:A 输入;设q:B 输入; 设r:C 输入;由题的条件,容易写出C B A F F F ,,的真值表,见表1.5所示.由真值表分别写出它们的主析范邓范式,而后,将它们都化成与之等值的}{↓中的公式即可.)()()()(r q p r q p r q p r q p F A ∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧⇔)()()()(r r q p r r q p ∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧⇔)()(q p q p ∧∨⌝∧⇔ )(q q p ∨⌝∧⇔ p ⇔)()(r q p r q p F B ∧∧⌝∨⌝∧∧⌝⇔)()(r r q p ∨⌝∧∧⌝⇔ )(q p ∧⌝⇔ )(q p ∧⌝⌝⌝⇔ )(q p ⌝∨⌝⇔q p ⌝↓⇔)(q q p ↓↓⇔. )(r q p F C ∧⌝∧⌝⇔r q p ∧∨⌝⇔)(r q p ∧↓⇔)( ))((r q p ∧↓⌝⌝⇔ ))((r q p ⌝∨↓⌝⌝⇔ r q p ⌝↓↓⌝⇔)()())()((r r q p q p ↓↓↓↓↓⇔1．19 (1)证明 ①r q ∨⌝ 前提引入②r ⌝ 前提引入③q ⌝ ①②析取三段论 ④)(q p ⌝∧⌝ 前提引入 ⑤q p ∨⌝ ④置换⑥p ⌝ ③⑤析取三段论 (2)附加前提证明法：证明 ①r 附加前提引入 ②r p ⌝∨ 前提引入③p ①②析取三段论④)(s q p →→ 前提引入 ⑤s q → ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦s ⑤⑥假言推理 (5)归缪法：证明 ①q 结论的否定引入②s r ∨⌝ 前提引入 ③s ⌝ 前提引入④r ⌝ ②③析取三段论 ⑤r q p →∧)( 前提引入 ⑥)(q p ∧⌝ ④⑤拒取式 ⑦q p ⌝∨⌝ ⑥置换⑧p 前提引入⑨q ⌝ ⑦⑧析取三段论 ⑩q q ⌝∧ ①⑨合取 ⑪0 ⑩置换 1.20 设p ：他是理科生q ：他是文科生 r ：他学好数学 前提 r p q r p ⌝→⌝→,,结论q通过对前提和结论的观察，知道推理是正确的，下面用构造证明法给以证明。

华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1)设：p：派小王去开会。

q：派小李去开会.则命题：“派小王或小李中的一人去开会" 可符号化为：（p q) (p q）。

（2）设A,B都是命题公式，A B，则A B的真值是T。

（3）设:p：刘平聪明。

q：刘平用功。

在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p q .（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。

（5）设，p：径一事;q：长一智。

在命题逻辑中,命题:“不径一事，不长一智。

" 可符号化为： p q 。

（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德摩根律为（A B）Û A B）。

（7）设，p：选小王当班长;q：选小李当班长.则命题：“选小王或小李中的一人当班长。

”可符号化为: （p q）（p q） .（8）设，P：他聪明；Q：他用功。

在命题逻辑中，命题:“他既聪明又用功。

" 可符号化为：P Q .（9）对于命题公式A,B,当且仅当 A B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A B。

（10)设:P：我们划船.Q:我们跑步.在命题逻辑中，命题:“我们不能既划船又跑步.”可符号化为：（P Q) 。

（11）设P，Q是命题公式,德·摩根律为：（P Q）P Q) 。

（12）设P:你努力.Q：你失败。

在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。

”可符号化为：P Q .（13）设p：小王是100米赛跑冠军。

q:小王是400米赛跑冠军。

在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军.”可符号化为：p q。

（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A C为一重言式时,称C可由A逻辑地推出。

二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。

（）2.命题公式p q r是析取范式。

( √ )3.陈述句“x + y > 5”是命题。