2020届重庆市高三学业质量调研抽测(第一次)数学(理)试题Word版含解析

2020届重庆市高三学业质量调研抽测（第一次）

数学（理）试题

一、选择题

1．已知复数满足，则复数在复平面内的对应点所在象限是（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】 对应点为，在第四象限。故选D。

2．已知集合，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】 。故选C。

点睛：1、用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素元素的限制条件，明确集合的类型，是数集，是点集还是其它集合。2、求集合的交、交、补时，一般先化简，再由交、并、补的定义求解。3、在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn图；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍。

3．若过点的直线与圆相较于两点，且为弦的中点，则为（ ）

A. B. 4 C. D. 2

【答案】A

【解析】圆心坐标为 ，半径为， 。故选A。

4．展开式中，项的系数为（ ）

A. 30 B. 70 C. 90 D. -150

【答案】B 【解析】 ，对于中

的系数为 ，对于中 的系数为，所以

的系数为 。故选B。

5．已知函数的图象向左平移个单位后关于轴对称，则函数的一个单调递增区间是（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】 向左平移 个单位长度后得函数

关于 轴对称，

的增区间为

。故选B。

6．设等差数列的前项和为，已知，则（ ）

A. 16 B. 20 C. 24 D. 26

【答案】D

【解析】

。故选D。

7．设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】双曲线渐近线为 ，不妨取，联立渐近线与抛物线方程得

渐近线与抛物线相切

。故选B。

8．将5名学生分到三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到宿舍的不同分法有（ ）

A. 18种 B. 36种 C. 48种 D. 60种

【答案】D

【解析】利用分类计数原理，第一类，甲一个人住在一个宿舍时有 种,第二类,当甲与另一个一起时有 ，所以共有 种。选D。

点睛：利用两个计数原理解题时的注意点(1)有些较复杂的问题往往要将“分类”“分步”合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用两个原理．(2)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．(3)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”.

9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A. 14 B. 15 C. 16 D. 17

【答案】C

【解析】第一次循环： ，不满足；第二次循环： ，不满足；第三次循环： ，不满足；第一次循环： ，不满足； ；第十五次循环： ，满足； 。故选C。

10．设实数满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】

如上图，表示不等式组的平面区域， 可看成过可行域上的点与 的直线的斜率，故过点 直线斜率有最大值，过点时有最小值 。故选D。

点睛：线性规划求解中注意的事项：(1)线性规划问题中，正确画出不等式组表示的平面区域是解题的基础。(2)目标函数的意义，有的可以用直线在轴上的截距来表示，还有的可以用两点连线的斜率、两点间的距离或点到直线的距离来表示。

11．已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】设 在上减函数，

。 选A。

12．已知函数若关于的方程有三个不同实数根，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D. 【答案】B

【解析】

如上图， 有三个根

。令 。故选B。

二、填空题

13．设向量的夹角为，已知向量，若，则__________．

【答案】

【解析】

。

14．如图，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，若直角三角形两条直角边的长分别为，且，则在大正方形内随即掷一点，这一点落在正方形内的概率为__________．

【答案】 【解析】本题为几何概型题，所求概率为小正方形面积与大正方形面积之比，即 。

点睛：对几何概型概率公式中“测度”的认识：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法。

15．已知，且，则__________．

【答案】-7

【解析】

（舍）。

16．设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线分别交于两点，若点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________．

【答案】3

【解析】抛物线 的焦点 ，设 ，直线 方程为

，。

点睛：抛物线定义中的“转化”法：利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径．

三、解答题

17．已知数列的前项和为，.

（Ⅰ）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求证：.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（1）由 的关系，可得 ，可得数列是等比数列，并可以求出首项和公比，进而得通项公式，最后得通项公式；（2）由题意可得通项公式，且得到，可证明不等式。

解：（Ⅰ）由得：

，即：

，所以是以为首项，公比为3的等比数列，

由知

，即

（Ⅱ）

18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有10人.在20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.

（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关；

平均车数超过

人数 平均车速不超过

人数 合计

男性驾驶员人数 女性驾驶员人数

合计

（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望

参考公式：，其中.

参考数据：

0.150 0．100 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.072 2.706 3.841 5.024

6.635 7.879 10.828

【答案】（Ⅰ）有的把握（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）由题中给出的数据可完成列联表，代入公式求得的值，由表中给出的临界值可得有的把握认为平均车速超过 与性别有关。（2）从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为，由条件可知，分别求得其概率，可得分布列和数学期望。

解：（Ⅰ）

平均车数超过

人数 平均车速不超过

人数 合计

男性驾驶员人数 20 10 30

女性驾驶员人数 5 15 20

合计 25 25 50

……2分 ，

所以有的把握认为平均车速超过与性别有关.

（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过的车辆的概率为.

的可能取值为，且，

，

，

分布列为：

0 1 2

3

.

或.

点睛：掌握离散型随机变量分布列的注意点：(1)搞清离散型随机变量每个取值对应的随机事件，准确确定离散型随机变量所有可能的值，不可多也不能少；(2)求离散型随机变量的每一个值的概率，通常借助于排列、组合的知识，计算要准确无误；(3)在求离散型随机变量概率分布列时，需充分运用分布列的性质，一是可以减少运算量；二是可验证所求的分布列是否正确。

19．已知的三个内角的对边分别为.

（Ⅰ）若，求证：；

（Ⅱ）若，且的面积，求角. 【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）由 可用来表示，通过诱导公式和同角三角函数的基本关系式得推导得结论；（2）由题中的面积可得，由正弦定理将边化角，利用三角形内角和定理将等式转化为关于的方程，可求得。

解：（Ⅰ），

，

（Ⅱ）在中，

由余弦定理知：

点睛：解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．

20．已知分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上.