材料力学第五版课后习题答案

1 / 27 7-4[习题7-3] 一拉杆由两段沿nm面胶合而成。由于实用的原因，图中的角限于060~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][为许用拉应力][的4/3，且这一拉杆的强度由胶合缝强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问角的值应取多大？

解：AFx；0y；0x

2sin2cos22xyxyx

][22cos12cos22AFAFAF

][22cos1AF，][cos2AF

2cos][AF，2max,cos][AFN

2cos2sin2xyx

][43][2sin2AF，2sin][5.1AF，2sin][5.1max,AFT

（0） 0.9 10 20 30 36.8833 40 50 60

NFmax,（A][） 1.000 1.031 1.132 1.333 1.563 1.704 2.420 4.000

TFmax,（A][） 47.754 4.386 2.334 1.732 1.562 1.523 1.523 1.732

最大荷载随角度变化曲线0.0001.0002.0003.0004.0005.0000102030405060斜面倾角(度)Fmax,N,Fmax,TFmax,NFmax,T

由以上曲线可知，两曲线交点以左，由正应力强度条件控制最大荷载；交点以右，由切应力强度条件控制最大荷载。由图中可以看出，当060时，杆能承受最大荷载，该荷载2 / 27 为：

AF][732.1max

7-6[习题7-7] 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为m72.0的截面上，在顶面以下mm40的一点处的最大及最小主应力，并求最大主应力与x轴之间的夹角。

解：（1）求计算点的正应力与切应力

MPammmmmmNbhMyIMyz55.1016080401072.01012124363

MPammmmmmNbIQSzz88.0801608012160)4080(10104333*

（2）写出坐标面应力

X（10.55，-0.88）

Y（0，0.88）

(3) 作应力圆求最大与最小主应力，

并求最大主应力与x轴的夹角

作应力圆如图所示。从图中按

比例尺量得：

MPa66.101

MPa06.03

0075.4

7-7[习题7-8] 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求：

（1）指定截面上的应力；

（2）主应力的数值；

（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。

[习题7-8（a）] 3 / 27 解：坐标面应力：X（20，0）；Y（-40，0）060。根据以上数据作出如图所示的应

力圆。图中比例尺为cm1代表MPa10。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa250120， MPa260120；MPa201，MPa403；000。

[习题7-8（b）]

解：坐标面应力：X（0，30）；Y（0，-30）030。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm1代表MPa10。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa26060 ，MPa15060；MPa301，MPa303； 0045。

[习题7-8（c）]

解：坐标面应力：X（-50，0）；Y（-50，0）030。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm1代表MPa20。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa50060 ，0060；MPa502，MPa503。

单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图 134 / 27 [习题7-8（d）]

解：坐标面应力：X（0，-50）；Y（-20，50）00。根据以上数据作出如图所示的应力圆。图中比例尺为cm1代表MPa20。按比例尺量得斜面的应力为：

MPa40045 ，10045；MPa411,MPa02，MPa613；'003539。

[习题7-10] 已知平面应力状态下某点处的两个截面的的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角值。

平面应力状态下的两斜面应力 应力圆

解：两斜面上的坐标面应力为：

A（38，28），B（114，-48）

由以上上两点作出的直线AB是应力圆上的一条弦， 单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图

单元体图 应力圆（O.Mohr圆） 主单元体图 2 35 / 27 如图所示。作AB的垂直平分线交水平坐标轴于C

点，则C为应力圆的圆心。设圆心坐标为C（0,x）

则根据垂直平线上任一点到线段段两端的距离相等

性质，可列以下方程：

2222)480()114()280()38(xx

解以上方程得：86x。即圆心坐标为C（86，0）

应力圆的半径：

570.55)280()3886(22r

主应力为：

MParx57.14157.55861

MParx43.3057.55862

03

（2）主方向角

（上斜面A与中间主应力平面之间的夹角）

（上斜面A与最大主应力平面之间的夹角）

（3）两截面间夹角：

[习题7-14] 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。[习题7-15（a）]

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，-40），Z（50，0） 6 / 27

由XY平面内应力值作a、b点，连接a、b交 轴得圆心C（50，0）

应力圆半径：

[习题7-15（b）]

解：坐标面应力：X（60，40），Y（50，0），Z（0，-40）

由XZ平面内应力作a、b点，连接a、b交 轴于C点，OC=30，故应力圆圆心C（30，0）

应力圆半径： 单元体图 应力圆

单元体图 应力圆 7 / 27 [习题7-15（c）]

解：坐标面应力：X（-80，0），Y（0，-50），Z（0，50）

由YZ平面内应力值作a、b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得

[习题7-19] D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 ，如图所示。在轴的中部表面A点处，测得与其母线成 方向的线应变为 。已知材料的弹性常数 ， ，试求扭转力偶矩 。

单元体图 应力圆 8 / 27

解：

方向如图

[习题7-20] 在受集中力偶eM作用矩形截面简支梁中，测得中性层上 k点处沿045方向的线应变为045。已知材料的弹性常数,E和梁的横截面及长度尺寸ldahb,,,,。试求集中力偶矩eM。

解：支座反力：

lMReA （↑）；lMReB （↓）

K截面的弯矩与剪力： 9 / 27 laMaRMeAk；lMRQeAk

K点的正应力与切应力：

0；AlMAQek235.1

故坐标面应力为：X（，0），Y（0，-）

AlMexyxyz234)(212221

02

AlMexyxyz234)(212223

yxx22tan0

0045 （最大正应力1的方向与x正向的夹角），故

)(1311450E

)1(23)]23(23[(1045EAlMAlMAlMEeee

004545)1(32)1(32EbhlEAlMe

[习题7-22] 已知图示单元体材料的弹性常数GPaE200，3.0。试求该单元体的形状改变能密度。

解：坐标面应力：X（70，-40），Y（30，40），Z（50，0）

在XY面内，求出最大与最小应力：

22max4)(212xyxyz

)(721.94)40(4)3070(212307022maxMPa 10 / 27 22min4)(212xyxyz

)(279.5)40(4)3070(212307022maxMPa

故，)(721.941MPa，MPa502，)(279.53MPa。

单元体的形状改变能密度：

])()()[(61213232221Evd

])721.94279.5()279.550()50721.94[(1020063.0122233/99979.1201299979.0mmkNMPa

[习题7-25] 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为MPa170][，MPa100][ 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力。并按第四强度理论校核危险截面上的a点的强度。注：通常在计算a点处的应力时，近似地按'a点的位置计算。

解： 左支座为A，右支座为B，左集中力作用点为C，右集中力作用点为D。

支座反力：)(710)840550550(21kNRRBA （↑）

=