2018年高二数学学业水平测试(会考含答案)必修四-第一部分-必修四数学试卷

2017-2018学年度高中数学人教A版必修四阶段性检测一(时间120分钟，满分150分)班级姓名学号一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，)1．在五边形ABCDE中(如图)，＝()2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝() A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4)3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa＋b与a垂直，则λ的值是() A．－1 B．1 C．－2 D．24．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是()A.π6B.π4C.π3D.π2A.12B．－12C.32D．－326．已知向量满足：|a|＝2，|b|＝3，|a－b|＝4，则|a＋b|＝()A. 6B.7C.10D.11A．内心B．外心C．垂心D．重心8．平面向量a＝(x，－3)，b＝(－2，1)，c＝(1，y)，若a⊥(b－c)，b∥(a＋c)，则b与c的夹角为()A．0 B.π4C.π2D.3π49．已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设＝a，＝b，则等于()A.43a＋23b B.23a＋43b C.23a－43b D．－23a＋43bA.0，π3B.π3，5π6C.π2，2π3D.2π3，5π611．已知a＝(－1，3)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是()A. 3 B．2 C．2 2 D．412．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有m?p＝m成立，则向量p 为()A．(1，0)B．(－1，0)C．(0，1)D．(0，－1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a＝(2x＋3，2－x)，b＝(－3－x，2x)(x∈R)．则|a＋b|的取值范围为________．14．设e1，e2为两个不共线的向量，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ等于________．15．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为CD的中点，则＝________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.18．(12分)设向量a＝(cos α，sinα)(0≤α＜2π)，b＝－12，32，且a与b不共线．(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；(2)若向量3a＋b与a－3b的模相等，求角α.19．(12分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝13BC，(1)以a，b为基底表示向量(2)若|a|＝3，|b|＝4，a 与b的夹角为120°，求20．(12分)在边长为1的正△ABC 中，AD 与BE 相交于点 F.21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A(8，0)，B(n ，t)，C(ksin θ，t)0≤θ≤π2.22．(12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求的坐标；(3)已知D(3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．答案1.解析：选B ∵＝＝.2.解析：选B∵a ∥b ，∴－21＝m2，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3.解析：选A由题意可知(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝0.∵|a|＝10，a·b＝1×4＋(－3)×(－2)＝10，∴10λ＋10＝0，λ＝－1.4.解析：选B由于(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，所以a·b＝|a|2＝2，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝222＝22，即a与b的夹角是π4.5.6.解析：选C由题意|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝16，∴a·b＝－3 2 .∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝10，∴|a＋b|＝10.7.∴P是△ABC的垂心．8.解析：选C由题意知b－c＝(－3，1－y)，a＋c＝(x＋1，y－3)，依题意得－3x－3（1－y）＝0，x＋1＋2（y－3）＝0，解得x＝1，y＝2，∴c＝(1，2)，而b·c＝－2×1＋1×2＝0，∴b⊥c.9.。

学业分层测评(十五) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．e 1＋e 2和e 1－e 2 B ．3e 1－4e 2和6e 1－8e 2 C ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2 D ．e 1和e 1＋e 2【解析】 B 中，∵6e 1－8e 2＝2(3e 1－4e 2)， ∴(6e 1－8e 2)∥(3e 1－4e 2)，∴3e 1－4e 2和6e 1－8e 2不能作为基底． 【答案】 B2．如图2-3-8，向量a －b 等于( )图2-3-8A ．－4e 1－2e 2B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2【解析】 不妨令a ＝CA →，b ＝CB →， 则a －b ＝CA →－CB →＝BA →， 由平行四边形法则可知 BA →＝e 1－3e 2. 【答案】 C3.如图2-3-9，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →＝( )图2-3-9A ．14a ＋14bB ．13a ＋13bC ．34a －14bD ．34a ＋34b【解析】 易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →.设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则可得CG →＝λ(CB →＋CD →)＝2λCE →＋2λCF →，由于E ，G ，F 三点共线，则2λ＋2λ＝1，即λ＝14，从而CG →＝14CA →，从而AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．【答案】 D4．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为( ) A ．165B ．125C ．85D ．45【解析】∵CD →＝4DB →＝rAB →＋sAC →，∴CD →＝45CB →＝45(AB →－AC →)＝rAB →＋sAC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝125－45＝85.【答案】 C5．如要e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1，λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内D ．对平面α中的任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对【解析】 选项B 错误，这样的a 只能与e 1，e 2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C 错误，在平面α内任一向量都可表示为λ1e 1＋λ2e 2的形式，故λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；选项D 错误，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是有无数对．【答案】 A 二、填空题6．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 【解析】 由题意可以设a ＋λb ＝λ1(－b ＋3a )＝3λ1a －λ1b ， 因为a 与b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧1＝3λ1，λ＝－λ1，解得⎩⎨⎧λ1＝13，λ＝－13.【答案】 －137．如图2-3-10，在平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，|OA →|＝|OB →|＝1，OA →与OB →的夹角为120°，OC →与OA →的夹角为30°，|OC →|＝53，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.图2-3-10【解析】 作以OC 为一条对角线的平行四边形OPCQ ，则∠COQ ＝∠OCP ＝90°，在Rt △QOC 中，2OQ ＝QC ，|OC →|＝5 3.则|OQ →|＝5，|QC →|＝10，所以|OP →|＝10，又|OA →|＝|OB →|＝1，所以OP →＝10OA →，OQ →＝5OB →，所以OC →＝OP →＋OQ →＝10OA →＋5OB →，所以m ＋n ＝10＋5＝15.【答案】 15 三、解答题8．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，D 是AC 的中点．求： (1)AD →与BD →夹角的大小； (2)DC →与BD →夹角的大小． 【解】(1)如图所示，在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，AC ＝2，∴AB 2＋BC 2＝(3)2＋1＝22＝AC 2， ∴△ABC 为直角三角形． ∵tan A ＝BC AB ＝13＝33，∴A ＝30°.又∵D 为AC 的中点，∴∠ABD ＝∠A ＝30°， AD →＝DC →.在△ABD 中，∠BDA ＝180°－∠A －∠ABD ＝180°－30°－30°＝120°，∴AD →与BD →的夹角为120°.(2)∵AD →＝DC →，∴DC →与BD →的夹角也为120°.9.如图2-3-11所示，▱ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，BF 与DE 交于点G ，设AB →＝a ，AD →＝b .图2-3-11(1)用a ，b 表示DE →；(2)试用向量方法证明：A ，G ，C 三点共线． 【解】 (1)DE →＝AE →－AD →＝AB →＋BE →－AD →＝a ＋12b －b ＝a －12b.(2)证明：连接AC ，BD 交于O ，则CO →＝12CA →.∵E ，F 分别是BC ，DC 的中点， ∴G 是△CBD 的重心，∴GO →＝13CO →＝13×⎝⎛⎭⎫－12AC →＝－16AC →， 又C 为公共点，∴A ，G ，C 三点共线．[能力提升]1．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA→＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ∈[0，＋∞))，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心【解析】 AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向为∠BAC 的角平分线AD →的方向．又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向相同． 而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴点P 在AD →上移动，∴点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 【答案】 B2．如图2-3-12，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 交于点P ，求AP ∶PM 的值. 【导学号：70512031】图2-3-12【解】 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝BC →＋CN →＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ，使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2，∴BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2. 又BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35，∴AP →＝45AM →，即AP ∶PM ＝4∶1.年味是什么？早些年我曾经说那里面是一个游子归家的心情。

高二会考数学模拟试题（三）第I 卷（选择题 45分）一：选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分。

1.已知全集U={}654321，，，，，，集合A={1，2，5}，集合B=}4,3,1{则(C U A)∩B=( ) A.{}1 B. {}43， C. {}5,2 D. {}54321，，，，2.有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个（ ）。

正视图（或主视图） 侧视图（或左视图） 俯视图 A:棱台 B ：棱锥 C ：棱柱 D ：都不对3. “名师出高徒”的谚语是说教师的水平和学生的水平呈现出的关系是（ ）A.正相关B.负相关C.不相关D.有时正相关，有时负相关 4. 设a =8，b =3，12=⋅ ，则b a 与的夹角为（ ）A.300B.600C.1200D.1500 5. 在△ABC 中，若b=2asinB ，则A 等于（ ）A ．300 或600 B.450或600 C. 600或1200 D. 300或15006.函数y=x⎪⎭⎫⎝⎛21在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上的最小值为（ ）A.42B.21C.22 D.27.已知a 、b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么直线c 与直线b （ ）A.不可能是平行直线B.一定是相交直线C. 一定是异面直线D.不可能是相交直线8. 50件产品，编号为0，1，2，3，4，…49，现从中抽取5件进行检验，用系统抽样的方法抽取样本的编号可以是（）A．5，10，15，20，25B．8，22，23，1，20C．5，3，21，29，37D．0，10，20，30，409.某电视台的“超市大赢家”节目中，有一个猜商品价格的游戏，假如一件新款手机的价格为1500元，现在用二分法猜价，竞猜者第一次报价为4000元，则竞猜者猜中该手机价格需报价的次数为（）A． 3 B.4 C.5 D.610. a,b∈R，下列命题正确的是（）A.若a>b 则a2>b2B.若a>b, 则a2>b2C. 若a>b, 则a2>b2D.若a≠b, 则a2≠b211.给出一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是（）A.求出a,b,c三数中的最大数B.求出a,b,c三数中的最小数C.将a,b,c按从小到大顺序排列D.将a,b,c按从大到小顺序排列12.已知错误！未找到引用源。

学业分层测评(二十三) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6. 【答案】 D2．已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C ．19D ．53【解析】 因为sin α＝23，所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2 α)＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫232＝－19. 【答案】 B3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43【解析】 因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×(－3)1－(－3)2＝34.【答案】 B4．若sin x ·tan x <0，则1＋cos 2x 等于( ) A ．2cos x B ．－2cos x C ．2sin xD ．－2sin x 【解析】 因为sin x ·tan x <0，所以x 为第二、三象限角，所以cos x <0， 所以1＋cos 2x ＝2cos 2 x ＝2|cos x | ＝－2cos x . 【答案】 B 5．已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425B ．－45C ．2425D ．255【解析】 ∵cos 2x 2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15，∴1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.【答案】 A 二、填空题6．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于___________________________．【导学号：00680074】【解析】 法一：∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725， ∴sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35，∴sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725.【答案】7257．已知sin 2α＝14，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos α－sin α＝________.【解析】 因为α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以sin α>cos α，即cos α－sin α<0，又sin 2α＝14，则有 cos α－sin α＝－(cos α－sin α)2 ＝－1－sin 2α＝－1－14＝－32. 【答案】 －32三、解答题8．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)． 【解】 原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1 ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20° ＝sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin (－10°)cos 20°＝－sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 9．已知cos x ＝1010，且x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x 的值． 【解】 ∵cos x ＝1010，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－31010，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝－35，∴22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ＝12－12×⎝⎛⎭⎫－35＝45. [能力提升]1．已知α，β均为锐角，且3sin α＝2sin β，3cos α＋2cos β＝3，则α＋2β的值为( ) A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π【解析】 由题意得⎩⎨⎧sin α＝23sin β， ①cos α＝1－23cos β， ②①2＋②2得cos β＝13，cos α＝79，由α，β均为锐角知，sin β＝223，sin α＝429， ∴tan β＝22，tan α＝427，∴tan 2β＝－427，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈⎝⎛⎭⎫0，32π， ∴α＋2β＝π.故选D ． 【答案】 D2．已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和值域； (2)若f (α)＝3210，求sin 2α的值．【解】 (1)因为f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)由(1)知，f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， 所以sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－1825＝725.但是，可能全国观众对我的文史知识评价太高了，很快有一个姓金的上海文人写出一本书来，指出我的《文化苦旅》里有一百多个“文史差错”。