高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx ψ的图象第1课时自我小测新人教A版必修4

正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像平移及解析式的求法【知识点梳理及分析】一、有关正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)基础知识1．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的性质如下： 4．图象的对称性函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x k (其中 ωx k ＋φ＝k π＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x k,0)(其中ωx k ＋φ＝k π，k ∈Z)成中心对称图形． 二、图像的平移转换图像的平移转换遵循左加右减，上加下减原则 1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图像变换（1）左右平移：由y ＝sinx 的图象向左或向右平行移动｜φ｜个单位，得到y ＝sin （x ＋φ）的图象.（2）胖瘦变换：由y ＝sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的1||ω倍，得到y ＝sin ω x 的图象.（3）高矮变换：由y ＝sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y ＝Asinx 的图象.2.两种变换方法注意：左侧为先平移后伸缩，右侧为先伸缩后平移 三、正弦型函数y ＝Asin(ωx ＋φ)解析式的求法1.表达式的化简（主要利用辅助角公式）（1）辅助角公式sin cos a b αα+22)a b αϕ++(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,2222sin tan ba ab a b ϕϕϕ===++ ，该法也叫合一变形).（2）所涉及到公式① 两角和与差的正弦、余弦公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-②二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a③降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a += （2） 22cos 1sin 2aa -=注：表达式的化简攻略可化简的表达式多种多样，很难靠举例一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，主要有以下几个特征：（1）观察式子：主要有三点①系统：整个表达式是以正余弦为主，如果有正切需要切化弦进行统一 ②确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式看做一个角来进行变换③式子是否齐次：式子要做到齐次统一，利用所涉及到三角函数恒等式的公式进行转换，把同一角转换为齐二次式或是齐一次式在使用辅助角公式，使结果成为y ＝A sin(ωx ＋φ)（2）向“同角齐次正余全”靠拢，能拆就拆，能降幂就降幂（注意平方降幂）.2. 求解A 、ω、φ以及确定解析式 (1)A 的求解A 的求解：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2（2）ω的求解结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω①如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两条对称轴为x=a ，x=b （a<b ），则T=2(b-a).②如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的两个对称中心为（a ，0）、（b ，0）（a<b ），则T=2(b-a).③如果y ＝Asin(ωx ＋φ)相邻的对称轴与对称中心分别为x=a ，（b ，0）则T=4a -b .注意：在y ＝Asin(ωx ＋φ)中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.（3）φ的求解①代入法：把图上已知点代入即可. ②五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”（即图像上升时与x 轴交点）为ωx ＋φ=0；“第二点”（即图像的“峰点”）为ωx ＋φ=π2；“第三点”（即图像下降时与x 轴交点）为ωx ＋φ=π；“第四点”（即图像的“谷点”）为ωx ＋φ=3π2；“第五点”为ωx ＋φ=2π.（4）y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 中“B ”的确定 B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2补充：函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：①b x a y +=sin （或)cos b x a +型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论②x b x a y cos sin +=型：引进辅助角化成)sin(22ϕ++=x b a y 再利用有界性③c x b x a y ++=sin sin 2型：配方后求二次函数的最值，应注意1sin ≤x 的约束④dx c bx a y ++=sin sin 型：反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决⑥c x x b x x a y +⋅++=cos sin )cos (sin 型：常用到换元法：x x t cos sin +=，但须注意t 的取值范围：2≤t 。

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(3)周期 T＝2ωπ＝21π＝4π，振幅 A＝3，初相是－π4. 2
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(2)方法 1：“先平移，后伸缩”． 先把 y＝sinx 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到 y＝ sin(x－π4)的图象；再把 y＝sin(x－π4)图象上所有点的横坐标伸长 到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin(12x－π4)的图象；最后 将 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横 坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
D．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变
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解析：由 x→12x，周期变为原来的 2 倍，横坐标应伸长为 原来的 2 倍．
答案(dáàn)：A
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4．将函数 y＝2sin13x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 y＝2sin16x 的图象．
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方法 2：“先伸缩，后平移”． 先把 y＝sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变)，得到 y＝sin(12x)的图象；再把 y＝sin(12x)图象上 所有的点向右平移π2个单位，得到 y＝sin[12(x－π2)]＝sin(2x－π4)的 图象；最后将 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
知识点 一
左右平移变换
1.将函数 y＝sinx 的图象向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位后，得
到函数 y＝sinx－π6的图象，则 φ 等于(
)
π A.6

(1)求 f(x)的振幅，最小正周期及单调递增区间；
1 2π 解 函数 f(x)的振幅为 ，最小正周期 T ＝ ＝π， 2 2 π π π 由 2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ (k∈Z)， 2 6 2 π π 得 kπ－ ≤x≤kπ＋ (k∈Z)， 3 6 π π f(x)的单调递增区间为kπ－ ，kπ＋ (k∈ Z). 3 6
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3
设函数 f(x)＝sin(2 x＋φ)(－π ＜φ＜0)，函数 y＝f(x)的图象的一
π 条对称轴是直线 x＝ . 8
(1)求φ的值；
π 解 2x＋φ＝kπ＋ ，k∈Z， 2 kπ π φ kπ π φ π 得 x＝ ＋ － ，令 ＋ － ＝ ， 2 4 2 2 4 2 8
解析答案
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合.
解 当
π sin2x＋ ＝－1， 6
π π 即 2x＋ ＝－ ＋2kπ(k∈Z)， 6 2 π 所以 x＝－ ＋kπ(k∈Z)时， 3 3 π f(x)的最小值为 ，此时 x 的取值集合是x|x＝－ ＋kπ，k∈Z . 4 3
或把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)， 得 1 π 到 y＝sin 2x 的图象，再把所得图象上所有的点向左平移3个单位长度，得 到
1 π x ＋ y＝sin ，即 3 2 1 π x ＋ y＝sin 的图象. 2 6
π 3π 得 φ＝kπ＋ ，k∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－ . 4 4
解析答案
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值.
解
3π 由(1)知，f(x)＝sin2x－ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ. 4

高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象教学案 新人教A 版必修4学习目标：1、理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.教学重点：讨论字母φ、ω、A 变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.教学难点：:由正弦曲线y=sinx 到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程. 教学过程：<引入>：从图象上看,函数y=sinx 与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探索φ、ω、A 对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.（一） 探索A 对y=Asin(ωx+φ)，R x 的图象的影响。

【振幅变换】例1画出函数y=2sin x ， x ∈R ，y= sin x ，x ∈R 的简图21结论：一般地，函数y=Asin x ， x ∈R （其中A ＞0且A ≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时）或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到。

函数y=Asin x ， x ∈R 的值域是[－A ，A]，最大值是A ，最小值是－A 。

注：A 引起图象的纵向伸缩，它决定函数的最大（最小） 值,我们把A 叫做振幅。

x sin 21x sin 2x sin x 横坐标不变倍纵坐标缩短到原来的横坐标不变倍纵坐标伸长到原来的纵坐标不变倍横坐标缩短到原来的纵坐标不变倍横坐标伸长到原来的,43)(,34)(,43)(,34)(D C B A 上所有的点（）的图象，只要把为了得到函数的图象为已知函数C sin 4.sin 3.1x y C x y ==（二） 探索φ对y=Asin(ωx+φ)，R x ∈的图象的影响。