中点的妙用

线段的中点
线段的中点是指连接线段两个端点的线段中点，即线段上距离两个端点相等的点。

中点具有平分线段的作用，即连接中点和线段两端点的线段长度相等。

线段的中点是几何中的一个重要概念，它不仅在数学中有重要的应用，也在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

在数学中，中点可以用于证明线段等分定理、垂直平分线段定理等基本几何定理。

在物理学中，中点可以用于计算物体的重心位置等问题。

在工程学中，中点可以用于计算结构的合理设计等问题。

因此，理解线段的中点概念对于学生掌握几何知识、应用数学知识解决实际问题都非常重要。

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一、中点的应用1、已知任意三角形一边上的中点：01、倍长中线和类中线构造全等三角形。

作用：a全等b平行线c把分散的线段转移到一个三角形中02、三角形中位线定理。

2、已知直角三角形斜边中点，考虑构造斜边中线。

3、已知等腰三角形底边中点，考虑与顶点连接，用“三线合一”。

4、挖掘题目隐含中点。

1如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，求证：AB+AC＞2AD.2如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，延长BE交AC于F，AF=EF，求证：AC=BE.3如图,在中,,点D为BC中点,点E、F分别为AB、AC上的点,且.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形?若能,请判断此三角形的形状.4、如图,在中,BE、CF分别为边AC、AB上的高,D为BC的中点,于M.求证:.5、已知:和都是直角三角形,且.如图甲,连接DE,设M为DE的中点.(1)说明:;(2)设,固定,让绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置,试问:是否还能成立?并证明其结论.6、(1)如图1,在四边形ABCD中,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则,求证:(2)如图2,在中,点O是BC边的中点,D是AC边上一点,E是AD的中点,直线OE交BA的延长线于点G,若,,求OE的长度.(3)如图，四边形ACBD中，AB与CD交于点O，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，试判断△OMN 的形状.(4)如图，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于G，若∠EFC ＝60°，连结GD，判断△AGD的形状并证明．7、如图在△ABC中, AB＝AC, CE是AB边上的中线, 延长AB到D, 使BD＝AB, 连结CD,证明CD＝2CE.1、证明：延长AD至点E，使ED=AD，连接CE，如图所示：∵AD为BC边上的中线，∴BD=CD.在△ABD和△ECD中，AD=ED，∠ADB=∠EDC，BD=CD，∴△ABD≌△ECD.∴AB=EC.在△ACE中，∵AC+EC＞AE=2AD，∴AB+AC＞2AD.2、证明：如图，延长AD到点G，使得AD=DG，连接BG∵AD是BC边上的中线(已知)，∴DC=DB，在△ADC和△GDB中，AD＝DG∠ADC＝∠GDB(对顶角相等)DC＝D ∴△ADC≌△GDB(SAS)，∴∠CAD=∠G，BG=ACB∵AF=EF，∴∠FAE=∠AEF，∵∠BED=∠AEF，∴∠BED=∠FAE，即：∠BEG=∠CAD，∴∠BEG=∠G∴BE=BG ∴AC=BE3、:作,与FD延长线交于G,连接EG,,,,在和中,,,,,,,,,,为直角三角形,、EF、FC为边能构成一个三角形,且为直角三角形. 4、证明:连接DE,DF,、CF分别为边AC、AB上的高,D为BC的中点,,,,即是等腰三角形.,点M时EF的中点,即.5证明：延长CM、DB交于G，∵△ABD和△ACE都是直角三角形，∴CE∥BD，即CE∥DG，∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD又∵M是DE中点，即DM=EM，∴△ECM≌△DMG，∴CM=MG，∵G在DB的延长线上，∴△CBG是Rt△CBG，∴在Rt△CBG中，BM= CG=CM.证明:(1)作点M作于点P,..为DE的中点,,是BC的中垂线,;(2)成立.取AD、AE的中点F、G,连接BF、MF、MG、CG显然线段MG、MF都是的中位线,四边形MFAG是平行四边形,,,,又,斜边中线,,,,,,,.6(1)证明:连结BD,取DB的中点H,连结EH、FH.、F分别是BC、AD的中点,,,,,,,;(2)解:连结BD,取DB的中点H,连结EH、OH,,,,,,是等边三角形,,.(3)首先取BD的中点G，连接EG，FG，则由E，F分别是BC，AD的中点，所以EG，FG分别是△CDB，△ADB的中位线，则由三角形的中位线定理得EG∥CD，EG＝12CD；FG∥AB，FG＝12AB；又由AB＝CD，所以EG＝FG，所以∠GFE＝∠GEF，又由EG∥CD，FG∥AB，所以∠G FE＝∠ONM，∠OMN＝∠GEF，所以∠OMN＝∠ONM，所以OM＝ON，即△OMN是等腰三角形.【答案】解：△OMN是等腰三角形；理由：如图，先取BD的中点G，连接EG，FG，∵E，F分别是BC，AD的中点，∴EG，FG分别是△CDB，△ADB的中位线，∴EG∥CD，EG＝12CD；FG∥AB，FG＝12AB；又∵AB＝CD，∴EG＝FG，∴∠GFE＝∠GEF，又∵EG∥CD，FG∥AB，∴∠GFE＝∠ONM，∠OMN＝∠GEF，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形.故答案为：△OMN是等腰三角形.(4)连接bd，k为bd的中点，连接fk、ek7、证法一: 取DC的中点为F, 联结BF, 则BF AC,又BE＝AB AB＝AC ∴BF＝BE∠FBC＝∠BCA＝∠ABC又∵ BC＝BC∴△FBC≌△EBC∴ FC＝CE即 CD＝2CE证法二: 延长CE到F, 使EF＝CE, 连结FB∵ CE为△ABC中线∴ BE＝AE又∠1＝∠2∴△FBE≌△CAE∴ FB＝AC ∠3＝∠A∵ AB＝AC＝BD∴ FB＝BD ∠ABC＝∠ACB ∠3+∠ABC＝∠A+∠ACB 即∠FBC＝∠DBC又∵ BC公用∴△FBC≌△DBC∴ FC＝DC又∵ FC＝2CE∴ CD＝2CE。

中点的妙用一、倍长中线法例1AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB =2，AC =4，则AD 的取值范围是___________。

DCBA例2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE 。

A B CD EF例3⑴如图1，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，BA ⊥AC ，ED ⊥BD ，点D 在AB 边上。

连接EC ，取EC 中点F ，连接AF ，DF ，猜测AF ，DF 的数量关系和位置关系，并加以证明。

FDEACB图1⑵如图2，将△BDE 旋转至如图位置，使E 在AB 延长线上，D 在CB 延长线上，其他条件不变，则⑴中AF ，DF 的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。

FD ACBE例4已知四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证EFGH 为平行四边形。

HGF DEACB例5如图，已知四边形ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为BC 、AD 中点，延长MN 与AB 、CD 延长线交于E 、F ，求证∠BEM =∠CFME FACDMB例6已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE =90°，连接DE ，设M 为DE 的中点。

⑴求证：MB =MC ；⑵设∠BAD =∠CAE ，固定Rt △ABD ，让Rt △ACE 移至图示位置，此时MB =MC 是否成立？请证明你的结论。

EA CDMBEACDMB例7如图，已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 中点，求证△BMD 为等腰直角三角形。

AMCEDB总结：出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法⑴倍长中线法 ⑵构造中位线⑶如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线课后测试题1．在△ABC 中，AB =12，AC =30，求BC 边上的中线AD 的范围。

第四节线段中点的应用一、课标导航课标内容课标要求目标层次线段的中点会用线段的中点解决简单问题★★中位线掌握三角形中位线定理，会用三角形中位线解决相关问题★★二、核心纲要线段的中点是几何图形中一个特殊的点，它关联着三角形中线、直角三角形斜边中线、中心对称图形、三角形中位线等丰富的知识，恰当地利用中点，处理中点是解与中点有关问题的关键，由中点想到什么？常见的联想路径有以下几种.1．倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形与平行线2.作直角三角形斜边中线3.构造中位线4.构造等腰三角形三线合一5.三角形的中线可以等分三角形的面积若D是BC边上的中点，则S△ABD＝S△ACD6.中点四边形（1）定义：顺次连接四边形四边中点所得的四边形叫做中点四边形.（2）常见的中点四边形①任意四边形的中点四边形是平行四边形;②平行四边形的中点四边形是平行四边形;③矩形的中点四边形是菱形;④菱形的中点四边形是矩形;⑤正方形的中点四边形是正方形;⑥等腰梯形的中点四边形是菱形.本节重点讲解：一个应用（中点的应用），一个四边形（中点四边形）.三、全能突破基础演练1. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（）A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形2. 如图18-4-1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长为（）A.65B.95C.125D.165图18-4-13. 如图18-4-2所示，在△ABC中，D为AC边的中点，E为BD中点，F为CE中点，若△ABD的面积为4，则△BFC的面积为（）.A.2B.1C.1.5D.0.5图18-4-24. 如图18-4-3所示，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD.下列结论: ①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，，④EG＝12（BC―AD），⑤四边形EFGH是菱形.其中正确的个数是（）.A.1B.2C.3D.418-4-35. 如图18-4-4所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，M为BD中点，N为AC中点，求证：MN⊥AC.18-4-46. 如图18-4-5所示，在等边△ABC中，P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，M为RC上任意一点，△PMS为等边三角形，求证：RM=QS.18-4-57. 如图18-4-6所示，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明.18-4-6能力提升8. 如图18-4-7所示，已知△ABC周长为1，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2013个三角形的周长为______________.图18-4-79. 如图18-4-8所示，在矩形ABCD中，AB=24，BC=26.先顺次连接矩形各边中点得菱形，又顺次连接菱形各边中点得矩形，再顺次连接矩形各边中点得菱形，以此类推…，第10次连接的图形面积是___________.18-4-810. 如图18-4-9所示，△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，点E、F分别是AD、AB的中点，AD=BD.求证：CF是∠ECB的平分线.图18-4-911. 如图18-4-10所示，在四边形ABCD中，CD>AB，AB与CD不平行，E、F分别是AC、BD的中点，求证：EF>12(CD－AB).图18-4-1012. 如图18-4-11所示，在△ABC中，AD是三角形的高，D为垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形.图18-4-1113. 如图18-4-12(a)所示，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE.(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）；(2)将图18-4-12(a)中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图18-4-12(b)所示），连接BD，取BD的中点F，问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由;(3)将图18-4-12(a)中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图18-4-12(c)所示），连接BD，取BD的中点F，问(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由.如图18-4-1214. 如图18-4-13(a)所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，连接BM.(1)请你判断并写出∠BMD是∠ABM的几倍;(2)如图18-4-13(b)所示，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，连接EM、CM，请问：∠AEM与∠DME是否也具有(1)中的倍数关系？若有，请证明；若没有，请说明理由.图18-4-1315. 如图18-4-14所示，正方形ABCD和正方形CGEF(CD>BC)，连接AE，取线段AE的中点M.求证：MF⊥MD，且FM=MD.18-4-1416. 小明数学成绩优秀，他平时善于总结，并把总结出的结果灵活运用到做题中是他成功的经验之一，例如，总结出“依次连接任意一个四边形各边中点所得四边形（即原四边形的中点四边形）一定是平行四边形”后，他想到曾经做过的这样一道题：如图18-4-15(a)所示，点P是线段AB的中点，分别以AP和BP为边在线段AB的同侧作等边三角形APC和等边三角形BPD，连接AD和BC，他以了四边形ABDC的中点四边形一定是菱形，于是，他又进一步探究：如图18-4-15(b)所示，若P是线段AB上任一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，设点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H请你接着往下解决三个问题:（1）猜想四边形ABDC的中点四边形EFGH的开关，直接回答__________，不必说明理由;（2）当点P在线段AB的上方时，如图18-4-15(c)所示，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中结论还成立吗？说明理由；（3）如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全18-4-15(d)所示，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由.图18-4-1517. 已知：在△ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点，N为CE中点，P为AB中点.(1)如图18-4-16(a)所示，当∠ACB＝90°时，∠MPN的度数为___________；(2)如图18-4-16(b)所示，当∠ACB＝α（0°＜α＜180°）时，∠MPN的度数是否变化？给出你的证明.图18-4-1618. 在平行四边形ABCD中，∠A＝∠DBC，过点D作DE=DF，且∠EDF＝∠ABD，连接EF、EC，N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.(1)如图18-4-17(a)所示，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论.(2)如图18-4-17(b)所示，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在(1)中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明(1)中的结论.图18-4-1719. (1)如图18-4-18(a)所示，以等腰直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为______________________；(2)如图18-4-18(b)所示，以任意直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为______________________；(3)如图18-4-18(c)所示，以任意非直角△ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，试判断DE与AM之间的数量关系，并说明理由；(4)如图18-4-18(d)中，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其他条件不变，请直接写出线段DE与AM之间的数量关系.图18-4-18中考链接20. (2012贵州黔西南)如图18-4-19所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为___________.图18-4-1921. (2012毕节地区)我们把顺次接连四边形四条边的中点所得的四边形，叫中点四边形.现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是____________cm.22. (2012孝感)我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫做中点四边形.如图18-4-20所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.（1）这个中点四边形EFGH的形状是______________;（2）请证明你的结论.图18-4-20巅峰突破23. 如图18-4-21所示，任意五边形ABCDE，M、N、P、Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L分别为MN、PQ的中点，求证：KL⊥AE且KL＝12AE.图18-4-2124. 如图18-4-22所示，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF；过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P.求证：∠PAE＝∠PBF.图18-4-22。