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秩(aij) =2 依其奇异点情况及与l∞的关 |aij|=0 系, 分成7个仿射等价类. 秩(aij) =1
综上讨论, 在射影仿射平面上, 二阶曲线共分为11个等价类. 任 何二阶曲线皆可通过适当选取射影仿射坐标系化为上述11种标准 方程之一. 例 求射影仿射坐标变换, 将二阶曲线 2 2 : x12 2x1x2 2x2 6x1x3 2x2 x3 9x3 0 () 化为射影仿射标准方程.
实椭圆( x 2 y 2 1) 虚椭圆( x 2 y 2 1) 双曲线( x 2 y 2 1)
在射影仿射平面上, 有心二阶曲线皆可化为上述标准方程之一.
§ 4.7 二次曲线的仿射分类
2. A33=0, 无心二阶曲线, 即抛物线. 以l∞为一边的自极三点形不存在. 取中心(无穷 远切点)为A1', 取一直径与 的有穷远交点为A3', A3'处的切线上无穷远点取作为A2'. 以三点形A1'A2'A3'为坐标三点形, 适当选取单位点建立仿射坐 标系, 据§4.5, 的方程可以化为
x2 2 2a13 x1 x3 0. a22
再作一次仅改变单位点的仿射坐标变换, 可得 的仿射标准方程
2 x2 2x1x3 0.
(即y 2 2 px)
在射影仿射平面上, 无心二阶曲线(抛物线)皆可化为上述标准方程.
§ 4.7 二次曲线的仿射分类
二、 退化情形
§ 4.7 二次曲线的仿射分类
一、 非退化二阶曲线的射影仿射分类
此时, |aij|≠0, 秩(aij)=3. 依据A33是否为零分类: 1. A33≠0, 有心二阶曲线. 取中心为A3', 任取一对相异的共轭直径, 其 与l∞的交点分别取作A1', A2'. 则三点形A1'A2'A3' 为 的一个自极三点形. 以 A1'A2'A3'为坐标三点形, 适当选取单位点E ', 建立新的射影仿 射坐标系. 据§4.5, S =0可以化为
§ 4.7 二次曲线的仿射分类
例 求射影仿射坐标变换, 将二阶曲线 : x1x2 x1x3 x2 x3 0 () 化为射影仿射标准方程.
由秩(aij)=3知 为一条非退化二阶曲线, 又由 A33 > 0知 为一个椭圆.
第一步, 选取以中心为一个顶点的自极三点形. 第二步, 求射影仿射坐标变换的逆式. 第三步, 化为射影仿射标准方程.
2 2 S x12 x2 x3 0.
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§ 4.7 二次曲线的仿射分类
在方程
2 2 S x12 x2 x3 0.
中, 注意到x1, x2地位平等, 而x3特殊, 从而有下列三个等价类
2 2 x12 x2 x3 0 0 2 2 2 x x x A33 2 3 0 1 2 2 2 0 x x x 1 2 3 0
§ 4.7 二次曲线的仿射分类
问题：在射影仿射平面上, 给定二阶曲线
:
S aij xi x j 0
i , j 1
3
aij a ji , 秩(aij ) 1.
(1)
适当选取射影仿射坐标系, 将 的方程化为射影仿射标准方程. 依据： 的秩, A33的符号, 将双曲型、抛物型、椭圆型三个类 型的曲线进一步细分为若干仿射等价类, 得到每一类的标准方程. 注意：因为无穷远直线l∞: x3= 0在射影仿射变换下保持不变, 故在选取新的射影仿射坐标系时必须保持A1', A2'总取在l∞上.
