数学与物理学的联系
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数学与物理学的联系
物理学院 张跃伟 物理研究的是客观物质世界的各种物理特性和普遍的运动规律，数学是对数与形的简捷 的概括和优美的表达方式。数学知识具有最高的可靠性，是人类知识中最可靠的知识，而其 语言又具有高度的精确性和简洁性。一直以来数学体现着人们追求最高真善美的永恒的精神， 因而，数学很自然的被应用于物理规律的研究与表达。同时，物理学规律是来自客观事实的， 很多的抽象的数学语言可以具体化为某个物理过程，利用物理思想解决数学问题，这在一定 程度上也促进了数学的发展。正如彭加莱所说：“物理科学不仅给我们(数学家)求解问题的 机会，而且还帮助我们发现解决它们的方法。”一直以来数学与物理作为两门基础科学，是 相互联系，共同发展的。 物理学的Байду номын сангаас展与数学密不可分，物理学的各个领域中都布满了数学表达形式，也因此使 物理学规律显得更加简洁、更加漂亮。近代物理学的书写语言几乎都是数学，从经典力学、 热力学、统计力学到量子力学、场论等的研究中，数学都起着举足轻重的作用，可以说，没 有数学的辅助，就很难有物理学的飞速发展。我将从物理的各个分支学科与数学的密切联系 说明数学之于物理的重要意义。 1、 数学与经典力学 历史上天文学是经典力学乃至整个物理学的先导，对天体运动规律的探求开启了物理学 研究的窗口。德国天文学家开普勒用代数方程总结出了行星运动的三定律，被誉为世界第一 位数学物理学家。对普遍的行星运动规律，他用几何语言或方程，将行星的坐标及时间跟轨 道参数之间的关系直观的表示了出来。这是数学在物理学中的第一次伟大的应用。牛顿力学 的三个运动定律，是用最简单的代数方程来表达的，树立了近代科学成功的里程碑，其数学 形式极为简洁，加上牛顿运动定律的普适性，这成为了经典动力学的基础。 宏观物体的运动一般只涉及到四维空间，所以利用坐标就可以精确描述物体宏观状态， 坐标的引入是数学对物理学的一大重要贡献。宏观物体运动时的自由度是3（当然是指质点 而不是质点系，因而忽略转动），所以用（x，y，z）即可表示其确切的运动状态。这样就使 得宏观物体的运动可以实现精确的追踪。同时由于牛顿莱布尼茨对于微积分的创建与发展， 更是使坐标的概念在物理学中的地位显著上升。利用质点的坐标可以研究其运动状态随时间 的变化，运动规律的研究更加直观也更加简洁，也使方程的形式得到极大简化，从坐标到函 数与变量的关系，再到微积分，这一系列完善过程对于物理学的发展，对于物理形式的优化 起到了无可替代的作用。 当然，实际物体的运动存在多个自由度，位置坐标无法满足理论物理研究的需求，就产 生了广义坐标与广义动量，用拉格朗日函数或哈密顿量研究物体的实际运动，又打破了狭义 的坐标的束缚，将宏观运动归结为作用量变分为零的运动，为经典物理研究开启了一扇新的 大门。然而利用哈密顿量分析物理问题的方法不仅仅在经典物理中大展身手，还在量子物理 中成为了核心方法。这充分说明数学所提供的是普遍的方法，在研究中就成为了便捷的工具， 无论是被用来分析经典物理问题，还是被用来挖掘量子物理中的宝藏，都是普适的，并能带 来巨大的方便。 在广义坐标建立的基础上，就可以精确的列出物体运动的偏微分方程，从而可以由初始 条件或边界条件求得物体的运动方程。例如，弦的横振动或杆的纵振动就可以由方程：
∂ (∂u)-a2 ∂ (∂u)=0
∂t ∂t
∂t ∂x
描述，如果知道了初始状态及边界各点的情况，就可以解得整个运动过程中弦的偏移随时间
的变化。这样，各种振动过程就都可以有这样一个偏微分方程表示出来，数学的精炼程度充 分的显示了出来。而对于平衡位置附近的振动问题，同样可以由拉格朗日方程得到类似的偏 微分方程，把广义坐标进一步化成简正坐标，就可以很方便的求解这种振动问题。 2、 数学与热力学
量子场论是用来较精确地表达基本粒子的产生、湮灭、变化、运动等物理规律的。由于 基本粒子是具有内部结构的无限个自由度的物理系统, 表达它的物理规律的数学工具是相 当复杂的， 牵涉到数学的各个方面， 但是最主要的是泛函分析、算子理论群和代数的表示 理论、复分析和微分几何。交换关系的表示和流群、流代数的表示，公理化场论与构造性场 论，路径积分、规范场的量子化，不定度规场论，非线性场、孤立子场论，等都对数学有相 当高的要求，甚至急需新的数学模型去解决现有问题。
综上，物理学的发展与数学密不可分，无论是对于经典物理还是近代物理，数学一直都 是物理家族中重要的一员。数学使物理理论表达更简洁更自然，也在很大程度上为完善物理 的思想作出了巨大贡献。当代的一些新的物理理论出现的时候，都能够找到数学工具，或者 是创造新的数学工具，来为之服务，来描述。物理学不仅使数学家面临大量新的数学问题， 而且从某种意义上也能够引领数学家朝着起先还梦想不到的地方前进。物理学家狄拉克和费 曼提出了路径积分与泛函的内在联系，使得费曼积分的严格数学成为21世纪重要的数学问 题之一。统计物理学与概率数学的内在联系，逐渐使得相变数学理论成为统计物理严格数学 基础的核心问题之一。因而，物理与数学是共同发展，相互完善的。物理学借助数学和逻辑， 做出了最为理性、简洁和优美的数学物理表述。相信物理学与数学在今后的发展中会有更紧 密的联系。
立；(4)算符力学，由玻恩和N.维也纳合作完成；(5)波动力学，由苏黎世大学的E.薛定谔于 1926年根据L.德布勒意在1923年提出的物质波思想推导建立。在这五种不同表述中，薛定 谔的波动力学最为实用，因为它的数学形式直观简洁，可以计算当时所有的原子问题。在量 子力学中，一个物理体系的状态由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种 可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，线性代数、lie代数、lie群等的应用成 为关键。
非相对论性的单粒子量子力学的数学理论基于以下假设：一个物理系统于时间点t的状 态可以由希尔伯特空间中的一个归一化矢量来定义：每个可观测量A可以通过状态空间中的 一个厄米算符来表示；位置算符和动量算符之间满足正则对易关系；状态矢量的动力学演化 由薛定谔方程表示。可见，量子力学对数学具有相当大的倚重。 6、 数学与场论
热传导方程是数学的另一大运用，热传导方程的建立需要热学方面的两个基本定律：能 量守恒定律和热传导的傅里叶定律。而方程则十分简洁：
∂u ∂t − κΔu = 0 由初始条件以及边界条件就可以确定出连续体系中温度随时间的变化关系。如果介质不均匀， 求解上述微分方程就需要用到Fourier级数。可见当由物理定律建立好模型后，处理的工作 就成为数学的分析过程，得到结果后才会重新分析其物理内涵，达到对事物本身或物理过程 的更深刻的认识。 3、 数学与统计物理学 统计物理是从系统的微观性质出发研究计算宏观性质的，自然需要对微观的粒子的状态 进行统计平均，所借助的手段就是统计数学。系综理论就是在建立物理模型后，用统计手段 处理这些问题，涨落与概率分布相统一。Maxwell-Boltzman分布就是利用将最概然分布作 为与宏观状态相对应的分布形式，是概率论的分析过程在实际的物理学中的应用。统计物理 中的其他的分布都是利用的同样的数学手段，只是将物理原理进行适当的改变得到的。例如 费米分布、波色分布等都是在研究不同的粒子系统时，对统计学的不同的应用而已。 数学之于统计物理的另外的一个应用实例，是对于波尔兹曼的各态历经假说的否定，一 个完全的物理假说，然而其推论却被证实与数学的计算不符，从而将假说从数学的角度予以 否定，而如果想从物理的角度去验证这个假说的正确与否则很困难。由此可见，数学不仅仅 是物理分析的工具，而更应该是为物理提供一种思想，以完善整个物理体系的哲学框架。 4、 数学与相对论 1907年，德国数学家闵可夫斯基提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供 了合适的数学模型，也才有了四维速度、思维动量的概念。 广义相对论同样与数学密切相关。爱因斯坦在1916年发表广义相对论时，就是用几何 语言描述的，在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性就是曲率，而这种时空曲 率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引 力场方程，一个二阶非线性偏微分方程组。同时，意大利数学家勒维一奇维塔等在黎曼几何 基础上发展起来的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析，也是建立广义相对论引 力理论的另一个合适的数学工具。最终，爱因斯坦导出了广义协变的引力方程，爱因斯坦指 出，“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成”。 5、数学与量子力学 最初，量子力学有五种不同的数学体系：(1)矩阵力学，由玻恩、约丹和海森堡在哥廷 根建立；(2)Q-代数，由P.狄拉克在剑桥建立；(3)积分方程理论，由K.兰酋斯在法兰克福建
热力学的四个基本方程就是以微分的形式表示出来，从而由连续函数的性质可以得到麦 克斯韦关系，这完全是数学的推论，但是却有着举足轻重的作用，在理论推导与实验数据分 析中都有巨大的应用价值。
均匀系的平衡的判定以及相变理论都完全是利用数学方法对物理函数的处理，在处理过 程中再对得到的新的量分析得出其物理内涵。例如，均匀系的平衡位置的判定，就是熵极大， 或内能、吉布斯函数、自由能极小时对应的位置，对相应的函数的一阶导和二阶导进行分析 即可。相变理论几乎是同样的道理，一级相变、二级相变分别对应系统化学势的一阶导和二 阶导，数学把复杂的热力学平衡过程简化成了对函数的变化趋势的分析，可谓精妙至极！
同样，规范场论又需要纤维丛理论，而超弦理论则更是涉及到当代数学几乎所有的核心 分支，这些近代发展起来的核心理论都对数学提出了相当高的要求，可以说也正是物理学的 发展，对数学模型及表述形式的迫切需求，成为了促使数学科学发展的一个重要原因。
总之，物理概念和定律的形式往往借助于数学，数学以极度浓缩的语言写出了物理世界 的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才 能应用于错综复杂的物质运动过程之中。
物理学院 张跃伟 物理研究的是客观物质世界的各种物理特性和普遍的运动规律，数学是对数与形的简捷 的概括和优美的表达方式。数学知识具有最高的可靠性，是人类知识中最可靠的知识，而其 语言又具有高度的精确性和简洁性。一直以来数学体现着人们追求最高真善美的永恒的精神， 因而，数学很自然的被应用于物理规律的研究与表达。同时，物理学规律是来自客观事实的， 很多的抽象的数学语言可以具体化为某个物理过程，利用物理思想解决数学问题，这在一定 程度上也促进了数学的发展。正如彭加莱所说：“物理科学不仅给我们(数学家)求解问题的 机会，而且还帮助我们发现解决它们的方法。”一直以来数学与物理作为两门基础科学，是 相互联系，共同发展的。 物理学的Байду номын сангаас展与数学密不可分，物理学的各个领域中都布满了数学表达形式，也因此使 物理学规律显得更加简洁、更加漂亮。近代物理学的书写语言几乎都是数学，从经典力学、 热力学、统计力学到量子力学、场论等的研究中，数学都起着举足轻重的作用，可以说，没 有数学的辅助，就很难有物理学的飞速发展。我将从物理的各个分支学科与数学的密切联系 说明数学之于物理的重要意义。 1、 数学与经典力学 历史上天文学是经典力学乃至整个物理学的先导，对天体运动规律的探求开启了物理学 研究的窗口。德国天文学家开普勒用代数方程总结出了行星运动的三定律，被誉为世界第一 位数学物理学家。对普遍的行星运动规律，他用几何语言或方程，将行星的坐标及时间跟轨 道参数之间的关系直观的表示了出来。这是数学在物理学中的第一次伟大的应用。牛顿力学 的三个运动定律，是用最简单的代数方程来表达的，树立了近代科学成功的里程碑，其数学 形式极为简洁，加上牛顿运动定律的普适性，这成为了经典动力学的基础。 宏观物体的运动一般只涉及到四维空间，所以利用坐标就可以精确描述物体宏观状态， 坐标的引入是数学对物理学的一大重要贡献。宏观物体运动时的自由度是3（当然是指质点 而不是质点系，因而忽略转动），所以用（x，y，z）即可表示其确切的运动状态。这样就使 得宏观物体的运动可以实现精确的追踪。同时由于牛顿莱布尼茨对于微积分的创建与发展， 更是使坐标的概念在物理学中的地位显著上升。利用质点的坐标可以研究其运动状态随时间 的变化，运动规律的研究更加直观也更加简洁，也使方程的形式得到极大简化，从坐标到函 数与变量的关系，再到微积分，这一系列完善过程对于物理学的发展，对于物理形式的优化 起到了无可替代的作用。 当然，实际物体的运动存在多个自由度，位置坐标无法满足理论物理研究的需求，就产 生了广义坐标与广义动量，用拉格朗日函数或哈密顿量研究物体的实际运动，又打破了狭义 的坐标的束缚，将宏观运动归结为作用量变分为零的运动，为经典物理研究开启了一扇新的 大门。然而利用哈密顿量分析物理问题的方法不仅仅在经典物理中大展身手，还在量子物理 中成为了核心方法。这充分说明数学所提供的是普遍的方法，在研究中就成为了便捷的工具， 无论是被用来分析经典物理问题，还是被用来挖掘量子物理中的宝藏，都是普适的，并能带 来巨大的方便。 在广义坐标建立的基础上，就可以精确的列出物体运动的偏微分方程，从而可以由初始 条件或边界条件求得物体的运动方程。例如，弦的横振动或杆的纵振动就可以由方程：
∂ (∂u)-a2 ∂ (∂u)=0
∂t ∂t
∂t ∂x
描述，如果知道了初始状态及边界各点的情况，就可以解得整个运动过程中弦的偏移随时间
的变化。这样，各种振动过程就都可以有这样一个偏微分方程表示出来，数学的精炼程度充 分的显示了出来。而对于平衡位置附近的振动问题，同样可以由拉格朗日方程得到类似的偏 微分方程，把广义坐标进一步化成简正坐标，就可以很方便的求解这种振动问题。 2、 数学与热力学
量子场论是用来较精确地表达基本粒子的产生、湮灭、变化、运动等物理规律的。由于 基本粒子是具有内部结构的无限个自由度的物理系统, 表达它的物理规律的数学工具是相 当复杂的， 牵涉到数学的各个方面， 但是最主要的是泛函分析、算子理论群和代数的表示 理论、复分析和微分几何。交换关系的表示和流群、流代数的表示，公理化场论与构造性场 论，路径积分、规范场的量子化，不定度规场论，非线性场、孤立子场论，等都对数学有相 当高的要求，甚至急需新的数学模型去解决现有问题。
综上，物理学的发展与数学密不可分，无论是对于经典物理还是近代物理，数学一直都 是物理家族中重要的一员。数学使物理理论表达更简洁更自然，也在很大程度上为完善物理 的思想作出了巨大贡献。当代的一些新的物理理论出现的时候，都能够找到数学工具，或者 是创造新的数学工具，来为之服务，来描述。物理学不仅使数学家面临大量新的数学问题， 而且从某种意义上也能够引领数学家朝着起先还梦想不到的地方前进。物理学家狄拉克和费 曼提出了路径积分与泛函的内在联系，使得费曼积分的严格数学成为21世纪重要的数学问 题之一。统计物理学与概率数学的内在联系，逐渐使得相变数学理论成为统计物理严格数学 基础的核心问题之一。因而，物理与数学是共同发展，相互完善的。物理学借助数学和逻辑， 做出了最为理性、简洁和优美的数学物理表述。相信物理学与数学在今后的发展中会有更紧 密的联系。
立；(4)算符力学，由玻恩和N.维也纳合作完成；(5)波动力学，由苏黎世大学的E.薛定谔于 1926年根据L.德布勒意在1923年提出的物质波思想推导建立。在这五种不同表述中，薛定 谔的波动力学最为实用，因为它的数学形式直观简洁，可以计算当时所有的原子问题。在量 子力学中，一个物理体系的状态由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种 可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，线性代数、lie代数、lie群等的应用成 为关键。
非相对论性的单粒子量子力学的数学理论基于以下假设：一个物理系统于时间点t的状 态可以由希尔伯特空间中的一个归一化矢量来定义：每个可观测量A可以通过状态空间中的 一个厄米算符来表示；位置算符和动量算符之间满足正则对易关系；状态矢量的动力学演化 由薛定谔方程表示。可见，量子力学对数学具有相当大的倚重。 6、 数学与场论
热传导方程是数学的另一大运用，热传导方程的建立需要热学方面的两个基本定律：能 量守恒定律和热传导的傅里叶定律。而方程则十分简洁：
∂u ∂t − κΔu = 0 由初始条件以及边界条件就可以确定出连续体系中温度随时间的变化关系。如果介质不均匀， 求解上述微分方程就需要用到Fourier级数。可见当由物理定律建立好模型后，处理的工作 就成为数学的分析过程，得到结果后才会重新分析其物理内涵，达到对事物本身或物理过程 的更深刻的认识。 3、 数学与统计物理学 统计物理是从系统的微观性质出发研究计算宏观性质的，自然需要对微观的粒子的状态 进行统计平均，所借助的手段就是统计数学。系综理论就是在建立物理模型后，用统计手段 处理这些问题，涨落与概率分布相统一。Maxwell-Boltzman分布就是利用将最概然分布作 为与宏观状态相对应的分布形式，是概率论的分析过程在实际的物理学中的应用。统计物理 中的其他的分布都是利用的同样的数学手段，只是将物理原理进行适当的改变得到的。例如 费米分布、波色分布等都是在研究不同的粒子系统时，对统计学的不同的应用而已。 数学之于统计物理的另外的一个应用实例，是对于波尔兹曼的各态历经假说的否定，一 个完全的物理假说，然而其推论却被证实与数学的计算不符，从而将假说从数学的角度予以 否定，而如果想从物理的角度去验证这个假说的正确与否则很困难。由此可见，数学不仅仅 是物理分析的工具，而更应该是为物理提供一种思想，以完善整个物理体系的哲学框架。 4、 数学与相对论 1907年，德国数学家闵可夫斯基提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供 了合适的数学模型，也才有了四维速度、思维动量的概念。 广义相对论同样与数学密切相关。爱因斯坦在1916年发表广义相对论时，就是用几何 语言描述的，在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性就是曲率，而这种时空曲 率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引 力场方程，一个二阶非线性偏微分方程组。同时，意大利数学家勒维一奇维塔等在黎曼几何 基础上发展起来的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析，也是建立广义相对论引 力理论的另一个合适的数学工具。最终，爱因斯坦导出了广义协变的引力方程，爱因斯坦指 出，“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成”。 5、数学与量子力学 最初，量子力学有五种不同的数学体系：(1)矩阵力学，由玻恩、约丹和海森堡在哥廷 根建立；(2)Q-代数，由P.狄拉克在剑桥建立；(3)积分方程理论，由K.兰酋斯在法兰克福建
热力学的四个基本方程就是以微分的形式表示出来，从而由连续函数的性质可以得到麦 克斯韦关系，这完全是数学的推论，但是却有着举足轻重的作用，在理论推导与实验数据分 析中都有巨大的应用价值。
均匀系的平衡的判定以及相变理论都完全是利用数学方法对物理函数的处理，在处理过 程中再对得到的新的量分析得出其物理内涵。例如，均匀系的平衡位置的判定，就是熵极大， 或内能、吉布斯函数、自由能极小时对应的位置，对相应的函数的一阶导和二阶导进行分析 即可。相变理论几乎是同样的道理，一级相变、二级相变分别对应系统化学势的一阶导和二 阶导，数学把复杂的热力学平衡过程简化成了对函数的变化趋势的分析，可谓精妙至极！
同样，规范场论又需要纤维丛理论，而超弦理论则更是涉及到当代数学几乎所有的核心 分支，这些近代发展起来的核心理论都对数学提出了相当高的要求，可以说也正是物理学的 发展，对数学模型及表述形式的迫切需求，成为了促使数学科学发展的一个重要原因。
总之，物理概念和定律的形式往往借助于数学，数学以极度浓缩的语言写出了物理世界 的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才 能应用于错综复杂的物质运动过程之中。
