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八年级数学上册 7.2 定义与命题 第2课时 定理与证明练习 (新版)北师大版

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第2课时 定理与证明
基础题
知识点1 公理、定理
1．下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是（ ）
A．公理和定理都是真命题
B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理和定理都可以作为推理论证的依据
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
2．“内错角相等，两直线平行”是（ ）
A．定义 B．定理
C．公理 D．需要判断的命题
3．在证明过程中可以作为推理根据的是（ ）
A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理
C．命题 D．真命题
4．下列语句中，属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
5．下列所学过的真命题中，不是公理的是（ ）
A．对顶角相等
B．两个角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等
C．同位角相等，两直线平行
D．三边分别对应相等的两个三角形全等
6．某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（ ）
A．直线的公理
B．直线的公理或线段最短公理
C．线段最短公理
D．平行公理
7．“两点之间线段最短”是________(填“定义”“公理”或“定理”)．
知识点2 证明
8．下面关于“证明”的说法正确的是（ ）
A．“证明”是一种命题
B．“证明”是一种定理
C．“证明”是一种推理过程
D．“证明”就是举例说明
9．如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）

A．当∠1＝∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1＝∠2
C．当a∥b时，一定有∠1＋∠2＝90°
D．当∠1＋∠2＝180°时，一定有a∥b
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若∠1＝∠2，则∠1，∠2是对顶角
B．若∠1，∠2都是直角，则∠1＝∠2
2

C．若∠1＝∠2，则∠1＋∠3＝∠2＋∠3
D．若∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠2
11．已知∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，则∠1＝∠3，理由是________________．
12．如图，已知AC⊥BC，C为垂足，E是BC上一点，并且∠1＝∠2.试问：DE与BC有何位置关系？请说明理由．

中档题
13．“垂线段最短”有下列说法：①是命题；②是假命题；③是真命题；④是定理．其中正确的说法是（ ）
A．①③ B．①③④
C．③④ D．①②④
14．下列命题可以作定理的有（ ）

①2与6的平均值是8；②能被3整除的数字能被6整除；③5是方程12x＋7＝9x＋26的根；④三角形内角和是
180°；⑤等式两边加上同一个数仍是等式．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
15．填空：
如图，已知AB∥CD，∠A＝∠C，则可推得AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD(已知)，
∴∠A＋∠____＝180°(________________)．
∵∠A＝∠C(已知)，
∴∠C＋∠____＝180°(________________)．
∴AD∥BC(________________)．

16．如图所示，如果∠1＝∠2，那么AB∥CD，这个命题是真命题吗？若不是，请你再添加一个条件，使该命题成为
真命题，并说明理由．

17．请你完成命题“邻补角的角平分线互相垂直”的证明．(画出图形，写出已知、求证，并完成证明)
3

综合题
18．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形(其中点B、F、C、E在同一直线上)，并写出四个条件：①
AB＝DE，②BF＝EC，③∠B＝∠E，④∠1＝∠2.
请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
条件________；结论________．(均填写序号)
4

参考答案
1．B 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.公理 8.C 9.D 10.A 11.同角的余角相等
12.DE⊥BC.理由：因为∠1＝∠2，所以AC∥DE(内错角相等，两直线平行)．
因为AC⊥BC，所以∠ACE＝90°.
所以∠DEC＝90°.
故DE⊥BC.
13.B 14.A 15.D 两直线平行，同旁内角互补 D 等量代换 同旁内角互补，两直线平行
16.假命题，添加BE∥DF.
理由：∵BE∥DF，∴∠EBD＝∠FDN.
∵∠1＝∠2，
∴∠EBD－∠1＝∠FDN－∠2.
∴∠ABD＝∠CDN.
∴AB∥CD.
17.已知：如图，AB，CD相交于点O，OE，OF分别平分∠AOC，∠AOD.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE平分∠AOC，

∴∠AOE＝12∠AOC.
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝12∠AOD.
∵∠AOC＋∠AOD＝180°，
∴∠EOF＝∠AOE＋∠AOF＝12∠AOC＋12∠AOD＝12(∠AOC＋∠AOD)＝12×180°＝90°.
∴OE⊥OF.

18.①②③ ④
证明：∵BF＝CE，

∴BF＋CF＝CE＋CF，即BC＝EF.在△ABC与△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF.
∴∠1＝∠2.

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7.2定义与命题

7.2定义与命题


议 下列语句中, 哪些语句对事情作了判断?
一 哪些没有？与同伴进行交流。 议 ⑴任何一个三角形一定有一个角是直角.
⑵对顶角相等. ⑶无论n为怎样的自然数，式子n2-n+11的值都是质数。 ⑷如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行。
(5)你喜欢数学吗？ (6)作线段AB=CD。
归
纳
判断一件事情的的句子叫做命题.
总
例如，上面议一议中的（1）（2）（3）
结
（4）对事情进行了判断，都是命题。
如果一个句子没有对某件事 情进行判断，那么它就不是 命题。例如，上面议一议中 的（5）（6）都不是命题。
跟
1.下列句子中哪些是命题? (1)是动物的一种; 是 (3)玫瑰花是动物; 是
“求证……”或“则……”等形式表述。
两直线平行，同位角相等.
如果两直线平行，那么同位角相等.
条件
结论
跟
1、指出下列命题的条件和结论，并
踪 改写成“如果……那么……”的形式.
练 ⑴三条边对应相等的两个三角形全等.
习 ⑴如果两个三角形三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
(2)两直线相交，只有一个交点.
（13）不是无理数. 是
（14）作一条直线和已知直线垂直.不是
（15）父母是我们人生的第一位老师. 是
（16）“非典”是不可以战胜的. 是
想 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共 同特征？与同伴交流。
一 ⑴如果一个三角形是等腰三角形，那
想 么这个三角形的两个底角相等。
⑵如果a=b，那么a2=b2。 ⑶如果两个三角形中有两条边和一个 角分别相等，那么这两个三角形全等。
这些方法往 往靠不住。
7.2 定义与命题 北师大版八年级 数学上册随堂小练(含答案)

7.2 定义与命题 北师大版八年级 数学上册随堂小练(含答案)

7.2定义与命题—数学北师大版(2012)八年级上册随堂小练1.对于“两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补”，有两种不同的说法：甲：它是假命题，所以不是命题；乙：它是命题，并且是真命题.下列判断正确的是( )A.甲对乙错B.甲错乙对C.甲乙都错D.甲乙都对2.下列命题是真命题的是( )A.相等的角是对顶角B.两直线平行,同旁内角相等C.两点之间直线最短D.邻补角互补3.下面关于实数a,b的值中,能说明“若,则”这个命题是假命题的是( )A.,B.,C.,D.,4.能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是( )A. B. C. D.5.下列命题中,不是真命题的是( )A.垂线段最短B.两直线平行,同旁内角相等C.对顶角相等D.两点之间,线段最短6.“对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题.7.命题“邻补角互补”的题设为______，结论为______.8.如图，在和中，点D在边上，下面有四个条件：①，②，③，④.（1）从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的条件和结论的序号分别填写在对应的横线上，已知：_______，求证：_______；（2）请对你写出的命题进行证明.答案以及解析1.答案：C解析：题设：两条直线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补，∵两条相互平行的直线被第三条直线所截，同旁内角相等，∴原命题是假命题，∴甲乙都错.故选：C.2.答案：D解析：A、对顶角相等,但相等的角不一定是对顶角,原说法错误,故该选项是假命题；B、两直线平行,同旁内角互补,原说法错误,故该选项是假命题；C、两点之间线段最短,原说法错误,故该选项是假命题；D、邻补角互补是指两个相邻的角,它们的互为补角,该说法正确,故该选项是真命题；故选：D.3.答案：C解析：当,时,,而成立,故A选项不符合题意；当,时,,而成立,故B选项不符合题意；当,时,,但不成立,故C选项符合题意；当,时,不成立,故D选项不符合题意；故选：C.4.答案：B解析：当时，，当时，，即“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是，故选：B.5.答案：B解析：A、根据垂线段的性质可知：垂线段最短,正确,是真命题；B、根据平行线的性质可知：两直线平行,同旁内角互补,不正确,不是真命题；C、根据对顶角的性质可知：对顶角相等,正确,是真命题；D、根据线段的性质可知：两点之间,线段最短,正确,是真命题；故选：B.6.答案：假解析：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，此命题为假命题.故答案为：假.7.答案：①.两个角是邻补角②.这两个角互补解析：命题“邻补角互补”改写为：如果两个角是邻补角，那么这两个角互补，所以，题设是：两个角是邻补角，结论是这两个角互补.故答案是两个角是邻补角；这两个角互补.8.答案：（1）①②③；④（2）见解析解析：（1）根据题意可得由①，②，③作为题设，④作为结论可以组成一个真命题；故答案为：①②③；④；（2）已知：，，，求证：.证明：，，在和中，，，.。

北师大版八年级上册7.2定义与命题

北师大版八年级上册7.2定义与命题

北师大版八年级上册7.2定义与命题
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知识点讲解
7.2.1节《定义与命题》
学习目标：
1.理解定义、命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式．（重点）
2.了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对假命题举反例．（难点）
同步练习
7.2 定义与命题
第1课时定义与命题1．下列语句中属于定义的是( )
A．直角都相等
B．作已知角的平分线
C．连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D．两点之间，线段最短
2．对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的反例是( )
A．a＝3，b＝2 B．a＝3，b＝－2
C．a＝－3，b＝－2 D．a＝－2，b＝－3
3．下列命题：①全等三角形的面积相等；②面积相等的两个三角形全等；③成轴对称的两个图形全等；④两个全等三角形是轴对称图形．其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．将命题“相等的两个角是对顶角”改写成“如果……那么……”的形式为___________________________________．
1
参考答案
7.2定义与命题
第1课时定义与命题
1．C 2.C 3.B
4．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。

北师版八年级上册数学第7章 平行线的证明 定理与证明(3)

北师版八年级上册数学第7章 平行线的证明 定理与证明(3)


5 推理；根据
10
两直线平行，内错角相等；直角三 角形两锐角互余；等角的余角相等
1．公认的_真__命_题____称为公理(也称为基本事实)．除了公理外， 其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断．演绎 推 理 的 过 程 称 为 __证__明___ ， 经 过 证 明 的 真 命 题 称 为 ___定_理___．每个定理都只能用___公_理____、__定_义____和已经证明 为真的命题来证明．
解：答案不唯一，如选择①③⇒②.证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C. 在△ABD 和△ACE 中， AB＝AC， ∠B＝∠C， BD＝CE， ∴△ABD≌△ACE(SAS)． ∴AD＝AE.
∴∠ADB＝∠ADC＝90°(垂直的定义)． ∴∠BAD＋∠ABC＝90°，∠CAD＋∠ACB＝90° (__直_角__三_角__形_两__锐_角__互_余________)． 又∵∠BAD＝∠CAD(已知)， ∴∠ABC＝∠ACB(__等__角_的__余_角__相_等_______)． ∴∠BAM＝∠CAN(等量代换)．
第七章 平行线的证明
第2节 定义与命题 第2课时 定理与证明
提示：点击 进入习题
真命题；证明； 1 定理；公理；定义
6 同角的余角相等
答案显示
11 见习题
2B
7D
3C
根据题意，画出图形；已知，求证；证明 8 的过程
4C
9
Hale Waihona Puke ∠2；角平分线的定义；∠3；两直 线平行，同位角相等；等量代换
条件；公理；定义；定理；
①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；
③等角的余角相等；④同角的补角相等．
A．1 个
B．2 个