复习题201301

2012-2013高等数学（一）复习题参考答案一、选择题1．D 2．D 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．CBA 9．B 10．D 11．A 12．D 13．B 14．B 15．D 16．C 17．B 18．A 19．C 20．C 21．B 22．C 23．D 24．B 25．B 26．C 二、填空题1．91，21 2．20 3．dx x x x x xxx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++sin ln cos 2ln 2sin 4．0 5．1-ln2 6．2 7．18．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21，⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,，()1,-∞-()+∞⋃,0 9．⎪⎭⎫ ⎝⎛225,21-，()22,2-e 10．29- 11．7 12．()C x xx x x++++--arctan1ln 212ln 2tan 2，C e x+arctan 13．π29，0 14．2-e15．34ln321+16．4341e +π 17．81221213xx xx+-+ 18．31 19．()[]⎰+ba21x f dx π20．x x e C e C y 321+=- 三、计算题 1．求极限：解：⎪⎭⎫⎝⎛--→12ln 1lim 21x xx ()x x x x x ln 1ln 21lim 221---=→（型00）x xx x x x 2x 1ln 22lim 21-+-=→1ln 22lim2221-+-=→x x x x2x （型00）xxx x x x4x 212ln 4lim21+⋅+=→xx x x4x 4ln 4lim1+=→1=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-→xx x xdxx dxx x 0200sinsin tan lim（型00）xx x x x 2sinsin tan lim-=→()xx x x x 2sincos 1tan lim-=→2121lim32=⋅=→xxx x2．设曲线方程为32=--y x e xy，求此曲线在纵坐标为0=y 的点处的切线方程与法线方程． 解: 由方程34xyex y --=及0y =得， 1x =-方程34xy e x y --=两边关于x 求导，得 ()30xy e y xy y ''+--= 将1x =-，0y =代入上式，得 32y '=-所求切线方程为： 3(1)2y x =-+，所求法线方程为： ()132+=x y ．3．求由方程yxe y +=1所确定的隐函数的二阶导数22dxy d ．解：方程yxe y +=1两边对x 求导，得：yyxeey -='1 ①①式两边再对x 求导，可得：22)1()1()1(yy yyxe y x exe y e y -'++-'='' ②将①式代入②式，化简可得：3222)2()3(y y edxy d y--=4．由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty tx arctan 1ln 2确定了)(x y y =，求dx dy ．（P163 12）解：因为21tt dtdx +=，211tdtdy +=，所以tdxdy 1=．5．已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=01sin 232y t e tt x y 求=t dx dy ．解：当0=t 时，有 0=x ，0=y由第一个方程，可得 0=t dtdx 2260=+==t t ．对第二个方程左右两边同时关于t 求导，得0cos sin =-+dtdy t e t dtdy eyy，得=t dtdy 0sin 1cos ==-=y t yyte t e 1=．因此，==0t dxdy 210==t dtdx dt dy．6．计算不定积分①解：⎰-++-dx xx x x)23122(22()C x x x+++-=2arcsin31ln 2ln 22；②⎰；解：令x t 45-=，则)5(41t x -=，tdt dx 21-=所以，原式=Ct t dt t dt t tt +-=-=-⋅-⎰⎰85241)5(81)21(45322=是任意常数）C C x x (4585)45(2413+---③⎰x d x n l x 2； 解 原式⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=331xd x n l ⎰-=x n l d xx n l x 333131⎰-=x d xx n l x233131C xx n l x +-=339131④dx x ⎰arctan ．解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=所以，原式=⎰)(arctan 2t td =)(arctan arctan 22t d t t t ⎰-=dt ttt t ⎰+-2221arctan=为任意常数）C C t t t (arctan )1(2+-+=为任意常数）C Cx x x (arctan)1(+-+7．计算定积分： ①解：12121x dx x-++⎰[]π==-11arctan 2x （利用了奇函数在对称区间上的积分为0）；②解：dx xx ⎰---112491=dxxx dx ⎰⎰-----1111224949103213/1212-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰dx x =132arcsin x =32arcsin；③解：221ln x x dx ⎰=)31(ln 321x xd ⎰=dx x x x 22121331)ln 31(⎰-=2139132ln 8x-=)72ln 24(91-；④解 设 x n i s y 2=，则⎰-20228y d y⎰=40282πx d x s o c ⎰+=40)21(8πx d x s o c42218π⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x n i s x )2(22+=π．8．求微分方程xe y dxdy -=+满足初始条件20-==x y的特解．法1：解：令x e x Q x P -==)(,1)( ……..1分 由一阶线性微分方程的解的公式得：xxxxxdx xdx dx ex C C dxe eeeC dxe e e e C y -------+=⋅+=⎰⋅⋅⎰+⎰=⎰⎰)((0001110是任意常数）由 20-==x y，可得：xe C 20-=故原方程的特解为：2-=-x xe y 法2：由常数变易法计算的． 9．求微分方程xx xy dxdy sin =+满足初始条件1==πx y的特解．法1：解：令xx x Q x x P sin )(,1)(==由一阶线性微分方程的解的公式得：)c o s (s i n 1s i n 0001110C C xxC C x d x xx C dxexx e eC y dxx dxx dxx ±=-=+±=⎰⋅⋅⎰+⎰=⎰⎰--（是任意常数）所以方程的通解为：xxC y cos -=由初始条件可知1-=πC ．所以微分方程的特解为：xxy cos 1--=π法2：由常数变易法计算．10．求微分方程232++=+'x x y y x 的通解． 解 标准化，得 xx y xy 231'++=+．于是 xx x q xx p 23)(,1)(++==．又 ⎰⎰==x n l x d xx d x p 1)(⎰⎰++=⎰x d exx x d e x q xn l xd x p )23()()(x d x x⎰++=)23(2x x x223313++=因此， 所求通解为 xC x xy +++=223312．四、应用题1．设⎰⎰+-=1202)(2)()(dx x f dx x f x x x f ，求)(x f ．解 令120)(C dx x f =⎰,21)(2C dx x f =⎰,所以212)(C x C x x f +-=.因此， =1C ⎰2)(dx x f ()⎰+-=2212dx C x C x 22213231⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x C x C x212238C C +-=，即 382321=-C C ①又 =2C ⎰1)(2dx x f ()⎰+-=12122dx C x C x 122132312⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x C x C x21232C C +-=， 即 3221=-C C ②由①②得，=1C ，=2C ，所以=+-=212)(C x C x x f ． 2．求抛物线x p y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p,2处的法线所围成的图形的面积． 解 在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p p ,2处的法线方程为 23px y +-=．法线与抛物线的交点为 ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p p p p 3,29,,2． 于是，所求的面积为 y d p y y p S p p⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰-22323ppypy y p 332612123-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2316p =．3．设直线23y x =+和抛物线2y x =所围成的平面图形为W ． (1) 求W 的面积；(2) 求W 绕y 轴旋转一周所成旋转体的体积． 解：（1）由方程组⎩⎨⎧=+=232xy x y 可得两曲线交点坐标为：)9,3(),1,1(和- W 的面积为：dx x x S ])32[(312⎰--+==332⑵W 绕轴y 旋转一周所成旋转体的体积为： 24563312921πππ=⋅⋅-=-=⎰ydy V V V ．4．过曲线3)(x x f =上的点)1,1(A 作切线AB l 交x 轴于点B ，设该曲线与切线AB l 及x 轴所围成的平面图形为Γ．(1) 求切线AB l 的方程； (2) 求平面图形Γ的面积S ； (3) 求Γ绕x 轴旋转一周的旋转体的体积．解：⑴由题意可知：23)(x x f ='，所以过点（1,1）的切线方程为23-=x y ，⑵平面图形的面积121)433261()32(103423110=-+=-+=⎰y y y dy y y S ；⑶平面图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积是： 63231131210621πππ=⋅⋅-=-=⎰dx x V V V ．5．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租定为1000元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少时可获得最大收入？（P164 15 略）6．一边靠墙用篱笆围成一矩形场地，现有36米长的篱笆，问能围成的最大场地面积是多少？(提示:周长一定,求面积的最大值 略）7．从一块半径为R 的圆铁片上上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角α取多大时，做成的漏斗的容积最大？（P164 13） 解：做成的漏斗其底圆半径,2παR r =高22rRh -=．漏斗的容积h r V 231π=0(42422233απαπ-=R＜α＜)2π22222343824'απαππ--⋅=RV ．,0'=V 得 .362πα=当α＜π362时，'V ＞0 ；当α＞π362时，'V ＜.0 于是，当πα362=时，V 取得极大值．又因在)2,0(π上极值唯一，因此，当πα362=时，V 取得最大值．五、证明题1．证明：当||x ≤1时，恒有arcsin arccos 2x x π+=成立．（P134 6）证明：取()arcsin arccos f x x x =+，1-≤x ≤1，()0f x '=-= 1-<x <1,所以,当1-<x <1时,()f x 是常数函数,即()f x C =(1-<x <1),arcsin arccos x x C +=.当0x =时，2C π=,故arcsin arccos 2x x π+=(1-<x <1),又1±=x 时,arcsin arccos 2x x π+=,因此当||x ≤1时，恒有arcsin arccos 2x x π+=成立．2．证明：若函数)(x f 在),(∞+∞-内满足关系式,)()('x f x f =且,1)0(=f 则xe xf =)(．（P134 14）证明：令()()x f ex F x-=，则()()()x f ex f e x F xx'+-='--()()0=⋅+-=--x f e x f e xx所以，()C x F ≡（C 为常数）．取0=x ，得()()1000=⋅==f e F C ，因此()1=-x f e x ，即()x e x f =． 3．证明不等式：①当1>x 时，x e e x ⋅>；证法1：令ex e x f x -=)(，因为e e x f x -=')(，当1>x 时，e e x >，所以0)(>'x f ，)(x f 在),1(∞+上单调递增，所以0)1()(=>f x f ，即x e ex⋅>．证法2：令t e t f =)(，则t e t f =')(．当1>x 时，)(t f 在[]x ,1上满足拉格朗日定理，故存在一点()x ,1∈ξ，有()()()ξf x f x f '=--11，即ξe x e e x=--1（x <<ξ1），因此11e ex e e x>=--ξ，即x e ex⋅>．②当,20π<<x 时，x x π2sin >；证明：令xx x f sin )(=，因为2)tan (cos )(xx x x x f -='，当20π<<x 时，x x tan <，0cos >x ，所以0)(<'x f ． 所以)(x f 在)2,0(π内单调递减，所以)2()(πf x f >，π2sin >xx ，即x x π2sin >．③当x >0时，22)1(ln )1(-≥-x x x ；——本题有问题，或把“当x >0时”改为“当x >1时”，利用单调性证明不等式． ④当0>x 时，xx x +>+1arctan )1ln(；证明：令x x x x f arctan )1ln()1()(-++=，因为2111)1ln()(xx x f +-++='01)1ln(22>+++=xxx ，所以，)(x f 在),0(∞+单调递增，所以0)0()(=>f x f ，0arctan )1ln()1(>-++x x x ，即xx x +>+1arctan )1ln(．⑤当e ＜a ＜b ＜2e 时，a n l b n l 22-＞)(42a b e-．证明: 令x n l x f 2)(=.对)(x f 在[]b a ,上应用拉格朗日定理，有a ab n l a n l b n l ()(222-=-ξξ＜ξ＜)b又设 xx n l x g =)(,21)('xx n l x g -=，当x ＞e 时，)('x g ＜0，于是，当x ＞e 时，)(x g 单调减少，有 )(ξg ＞)(2e g ，即ξξn l ＞22e,因此，当e ＜a ＜b ＜2e 时，a n l b n l 22-＞.)(42a b e-4．若()x f 在[]1,0上连续，证明⎰⎰=22)(cos )(sin ππdx x f dx x f ．提示：令t x -=2π．利用定积分的换元积分法证明．5．已知)(x f 是连续函数，证明：()[]dx x a b a f a b dx x f ba⎰⎰-+-=1)()(．提示：令()x a b a x -+=．利用定积分的换元积分法证明．。

（2）3毫升等于（ ③ ①0.3 ②0.03
做一做
4L= 4000 mI
2.4L= 2400 mI
反馈练习 3升=( 3000 )毫升 2.57升= ( 2570 )毫升 2.4升=( 2400 )毫升
4800mI= 4.8 L
500mI= 0.5 L
2700毫升=( 2.7 )升
640毫升=( 0.64 3.5升=( 3.5 )升
3.计量容积，一般用体积单位。
若计量液体的体积，如药水、 汽油等，常用容积单位升和毫升。
1升=1000毫升
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米
例5、一种小汽车上的油箱，里面长5dm，宽4dm，高 2dm。这个油箱可以装汽油多少升？
V=abh=5×4×2=40（dm3 ）
40dm3 =
40 L
答：这个油箱可以装汽油 40 L。
一、填空
(1)( 一个物体所能容纳物体的体积 ) 叫做容积。
(2)容积的计算方法跟( 体积)的计算方法相同.但要从( 容器里面 )
量长、宽、高。
二、判断题
（1）冰箱的容积就是冰箱的体积。 （× ）
（2）一个薄塑料长方体（厚度不计），它的体积就是容积。 （√ ）
三、选择题。 （1）计量墨水瓶的容积用（ ② ①升 ②毫升 ）立方分米 ③0.003 ）作单位恰当。
北京版五年级数学下册
容积
学习目标
• 掌握容积的含义，容积的单位；区别容积 和体积，寻找两者的联系以及两者的邻两个体积单位间的进率是多少? ２．填入适当的单位名称. (1) 一支粉笔的体积是8( (2) 一堆木料的体积是2( 3.长方体的体积=( ). 正方体的体积=( ).
)立方分米
500毫升=( 0.5

各地解析分类汇编:不等式1。

【天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科】若x≥0，y ≥0且2=1x y +，那么2x+3y 2的最小值为 A 、2 B 、34C 、23D 、0【答案】B【解析】由2=1x y +得=120x y -≥得，102y ≤≤，所以22222232433()33x yy y y +=-+=-+，因为102y ≤≤，所以当12y =时，有最小值2211323243243244x y y y +=-+=-⨯+⨯=，选B 。

2 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】下列命题中，正确的是A ．若d c b a >>,，则bc ac >B ．若bc ac >，则b a >C ．若22c b c a <,则b a < D ．若d c b a >>,,则d b c a ->-【答案】C【解析】由不等式的性质知C 正确.故选C.3 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】 下列三个不等式中，恒成立的个数有①12(0)x x x+≥≠ ②(0)c c a b c ab<>>> ③(,,0,)a m a a b m a b b m b+>><+。

A ．3B 。

2 C.1D 。

0【答案】B【解析】当0x <时,①不成立。

由0a b c >>>，得11,ab<所以c c ab<成立，所以②横成立。

③恒成立，所以选B.4。

【北京市东城区普通校2013届高三11月联考数学(文）】某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0。

5万元，此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（ ）年后需要更新设备。

A 。

10 B. 11 C. 13 D 。

2013李永乐复习全书（数⼀）例题（⽆答案）（第三章）2013李永乐复习全书（数⼀）例题（⽆答案）（第三章）1、若()f x 的导函数是sin x ，则()f x 的原函数是 .2、设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()1=-baf x dx f b b a ?. 求证：在(),a b 内⾄少存在⼀点ξ，使()=0f ξ'. 3、以下计算是否正确？为什么？()1-1111arctan =arctan =arctan1-arctan -1=+=-1442d dx dx x x πππ?? ??. 4、设()f x 在[]01，连续，()2cos =f x dx A π，则()20cos =f x dx π.5、n 为⾃然数，证明：220200,cos =sin =4sin ,.n n nn xdx xdx xdx n πππ为奇数，为偶数 6、求下列不定积分：（Ⅰ）21+cos 1+cos 2x dx x ?；（Ⅱ）()421+1+dx x x；,1+-1,f =1,<0.1+xx x f x dx x x e≥其中 8、设函数()201,,=1<2,2-,x x f x x x ≤≤??≤? 并记()()()0=02x F x f t dtx ≤≤?，试求()F x .】9、求下列不定积分：（Ⅰ）sec xdx ?；（Ⅱ）sin +tan dxx x ?；（Ⅲ）.10、求下列不定积分：（Ⅰ）；（Ⅱ）)>0a ；（Ⅲ）()3421-x x dx ? .11、求12、求下列积分：（Ⅰ）1；（Ⅱ）()()2223>0-dx13、求下列不定积分：（Ⅰ）arcsin arccos x xdx ? ；（Ⅱ）22 sin x xdx ?；（Ⅲ）.14、求()2sin =01,2,3n xdx n π，，.15、计算不定积分24+1+1x dx x ? .16、求下列不定积分：（Ⅰ）；（Ⅱ）2 .17、求下列不定积分：（Ⅰ）1=1+sin J dx x ?；（Ⅱ）2-sin =2+cos xJ dx x ? .18、求下列不定积分：（Ⅰ）()sin cos x xdx m n ?≠±? （Ⅱ）25 cos sin x xdx.19、求定积分：20=I π.20、求b.21、求下列定积分：（Ⅰ）2sin =1+cos x x I dx x π；（Ⅱ）22-2sin arctan x J x e dx ππ=? . 22、计算下列反常积分（⼴义积分）的值：（Ⅰ）+3∞；（Ⅱ）()+2211+dx x ∞.23、求⼀块铅直平板如图3.1所⽰在某种液体（⽐重为γ）中所受的压⼒.24、略.25、求下列平⾯曲线的弧长：（Ⅰ）曲线()()229=-30y x x y ≥位于=0x 到=3x 之间的⼀段；（Ⅱ）曲线()2233+=1>0,>0,x y a b a b a b（Ⅰ）求()()=-sin =-cos x a t t y a t t ，的曲率；（Ⅱ）求=ln y x 在点()0,1处的曲率半径.27、已知抛物线2=++y ax bx c 经过点()1,2P ,且在该点与圆22151-+-=222x y ???? ? ?????相切，有相同的曲率半径和凹凸性，求常数,,a b c .液⾯28、设函数()=y f x 在[],a b ()>0a 连续，有曲线()=y f x ，直线=,=x a x b 及x 轴围成的平⾯图形（如图3.12）绕y 轴旋转⼀周得旋转体，试导出该旋转体的体积公式.29、设底⾯长短轴分别为2,2a b 的正椭圆柱体被过此柱体底⾯的短轴且与底⾯成α⾓0<<2πα?的平⾯截得⼀楔形体（如图3.13），求它的体积 30、设两曲线)()00=>0,y a y x y 与处有公共切线（如图3.14），求和两曲线与X 轴围成的平⾯图形绕X 轴旋转⽽成的旋转体的体积V. 31、求圆弧222+=2a x y a y a ??绕y 轴旋转⼀周所的球的⾯积. 32、有⼀椭圆形薄板，长半轴为a 短半轴为b ，薄板垂直⽴于⽔中，⽽其短半轴与⽔⾯相齐，求⽔对薄板的测压⼒.33、半径为R 的球沉⼊⽔中，上顶点与⽔⾯相切，将球从⽔中取出要做多少功？（设球的⽐重为1） 34、设()f x 是连续函数，并满⾜()2sin =cos+f x xdx x C ?.⼜()F x 是()f x 的原函数，且满⾜()0=0F ，则()F x = . 35、设()f x 是连续函数，且满⾜()()1=+f x x xf x dx ?，则()=f x .36、设()()220sin sin ,=cos cos M x dx N x dx ππ=，则有(A) M<1、⽐较定积分π与2ππ的⼤⼩.图3.12图3.14F x f t dt π，其中()()2sin2=1+sin cos 2tf x e t t ，则()F x（A ）为正数（B ）为负数（C ）恒为零（D ）不是常数 39、证明下列不等式：(Ⅰ)102<3?; (Ⅱ2240<<32ππ?. 40、设()f x 在(),a b 上有定义，(),c a b ∈，⼜()f x 在(){},\a b c 连续，c 为()f x 的第⼀类间断点，问()f x 在(),a b 是否存在原函数?为什么?.41、设()f x 在定义(),a b 上，(),c a b ∈，⼜设()(),H x G x 分别在(][),,,a c c b 连续，且分别在(),a c 与(),c b 是()f x 的原函数.令() ()()0,<<,=+,<,H x a x c F x G x c c x b≤??其中选常数0c ，使得()F x 在=x c 处连续.就下列情形回答()F x 是否是()f x 在义(),a b 上的原函数. （Ⅰ）()f x 在点=x c 处连续；（Ⅱ）点=x c 是()f x 的第⼀类间断点；（Ⅲ）点=x c 是()f x 的第⼆类间断点.42、已知()()22cos -sin ,<0,=0,>0ln 1+-1+,2x x xx x f x A x x x xx在()-+∞∞，存在原函数，求常数A 以及()f x 的原函数.43、计算下列不定积分：（Ⅰ）3；（Ⅱ）；（Ⅲ）)a b ≠；（Ⅳ）()2211sin +cos +0sin +cos a x b x dx a b a x b x≠?；（Ⅴ）21+arcsin x x dx；（Ⅵ）(()322ln 1+x dx x ?44、计算下列定积分：（Ⅰ）-ln 0；（Ⅱ）20sin 1+sin +cos xdx x xπ；（Ⅲ）0π?；（Ⅳ）161；（Ⅴ）()2222>0,>0sin +cos dx. 45、求下列积分：（Ⅰ）设()2-1=xy f x e dx ?，求()120x f x dx ?；（Ⅱ）设函数()f x 在[]0,1连续且()10=f x dx A ?，求()()11xdx f x f y dy ??.46、设函数()f x 在()-+∞∞，内满⾜()()=-+sin f x f x x π，且()[)=,0,f x x x π∈，求()3f x dx ππ?.47、计算下列反常积分：（Ⅰ）++13-1+x xdx e e ∞；（Ⅱ）()0>0a x a ?；（Ⅲ）-+-201+x x xe dx e ∞（）；（Ⅳ）()+21+1dx x x ∞? 48、假定所涉及的反常积分（⼴义积分）收敛，证明：()++--1-=f x dx f x dx x ∞∞∞.49、设()f x 在[],a b 上有⼆阶连续导数，求证：()()()()()()()11=-+f +--22bbaaf x dx b a f a b f x x a x b dx ''. 50、设函数()f x 与()g x 在区间[],a b 上连续，证明：()()()()222bb b a aa f x g x dx f x dx g x dx ??≤.51、设()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且同为单调不减（或同为单调不增）函数，证明： () ()()()()-bb baaab a f x g x dx f x dx g x dx ≥?.52、设()f x 在[],a b 上有⼆阶连续导数，[](),max a b M f x ''=，证明：()()()2-+--224bab a a b f x dx f b a M ??≤ ?. 53、设()f x 在[],a b 上有连续导数，求证：[]()()aaa b f x f x dx f x dx b a '≤??.54、设函数()f x 在()-+∞∞，上连续，且()()()0=-2xF x x t f t dt ?，证明：（Ⅰ）若()f x 为偶函数，则()F x 也为偶函数；（Ⅱ）若()f x 为单调不增，则()F x 也为单调不减 55、设()f x 在[],a b 上可积，求证：()()0 =xx x f u du Φ?在[],a b 上连续，其中[]0,x a b ∈.56、设()22-0=x t F x e dt ?，试求：（Ⅰ）()F x 的极值；（Ⅱ）曲线()=y F x 的拐点的横坐标；（Ⅲ）()32-2x F x dx '?.57、求曲线3=sin3r a θ的全长.58、求曲线()=1+cos r a θ的曲率. 59、（Ⅰ）下列课表⽰由双纽线()22222+=-x yx y 围成平⾯区域的⾯积的是（A ）402cos 2d πθθ?（B ）404cos 2d πθθ?（C ）2θ（D ）()2402cos 2d πθθ?（Ⅱ）由曲线[]=-sin x a t t ，()()=1-cos 02y a t t π≤≤（摆线）及x 轴围成平⾯图形的⾯积S = .60、已知⼀条抛物线通过x 轴上两点()()1,03,0A ，B ,求证：两坐标轴与该抛物线所围成的⾯积等于x 轴与该抛物线所围成的⾯积. 61、求下列旋转体的体积V :（Ⅰ）由曲线22+2x y x ≤与y x ≥确定的平⾯图形绕直线=2x 旋转⽽成的旋转体；（Ⅱ）由曲线2=3--1y x 与x 轴确定的平⾯图形绕直线=3y 旋转⽽成的旋转体.62、求以半径为R 圆为底，平⾏且等于底圆直径的线段为顶，⾼为h 的正劈椎体的体积. 63、设两点()()1,000,1,1A ，与B 的连线AB 绕z 轴旋转⼀周⽽成的旋转⾯为S ,求曲⾯S与=0=1z z ，围成的⽴体的体积.64、设y 轴右⽅有平⾯曲线()()=x g y y αβΓ≤≤：，它有⼀阶连续的导数，则Γ绕y 轴旋转⼀周的旋转曲⾯的⾯积=F .65、求曲线33=cos =sin x a t y a t ，绕直线=y x 旋转所得曲⾯的⾯积.66、边长为a 和b 的矩形薄板与液⾯成α⾓斜沉于液体内，长边平⾏于液⾯位于深h 处，设>a b ，液体的⽐重为γ，求薄板受的液体压⼒.67、设有⼀半径为R 长度为l 的圆柱体，平放在深度为2R 的⽔池中（圆柱体的侧⾯与⽔相切），设圆柱体的⽐重为()>1ρρ，现将圆柱体从⽔中移出⽔⾯，问需做多少功?68、求星⾏线33=cos =sin x a t y a t ，02t π??≤≤ ??的质⼼，其中>0a 为常数. 69、求由曲线2=x ay 与()2=>0y ax a 所围成平⾯图形的质⼼（形⼼）（如图3.35）.70、设函数()f x 在[]0,π上连续，且()()0sin =0cos =0f x xdx f x xdx ππ，.证明：在()0,π内()f x ⾄少有两个零点.71、设()f x 在()-+∞∞，连续，以T 为周期，令()()0=xF x f t dt ?，求证：（Ⅰ）()F x ⼀定能表成：()()=+F x kx x ?，其中k 为常数，()x ?是以T 为周期的周期函数；（Ⅱ）()()00 11lim=x Tx f t dt f x dx x T→∞??；（Ⅲ）若⼜有()()()0-,+f x x ≥∈∞∞，n 为⾃然数，则当()<+1nT x n T ≤时，有()()()()0<+1T x Tn f x dx f t dt n f x dx ≤.=ax。