高中数学 1.2.1绝对值三角不等式课件 新人教A版选修4-5

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∴－1－x＋1－x＝3，得 x＝－32，
同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A，B 两点距离和为 3，B1
栏 目
对应数轴上的 x， ∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x＝32.
链 接
从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之 和都小于 3；点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的
第一(dìyī)讲 不等式和绝对值不 等式
1.2 绝对值不等式 1.2.3 绝对值不等式的解法(二)
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栏 目 链 接
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会利用(lìyòng)绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
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A．{x|x<－1}
B．{x|x<1}
栏
C．{x|x<1，且x≠－1}
目 链
接
D．{x|x>1}
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变式 训练
解析：∵y＝loga(2－ax)在(0,1)上是增函数(hánshù)，
又a>0，∴2－ax为减函数(hánshù)．
∴0<a<1，即y＝logax为减函数(hánshù)．
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变式 训练
由于A、B两点的距离1，线段AB上的点不符合要求，利用图形
(如上图)，可知符合条件的点应该(yīnggāi)是在A点的左侧离A最近距
离是2，在B点的右侧离B最近距离为2的点处，即x>4或x<－1，
栏
所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
目 链
接
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(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对 值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的 关键．
3． 若 a， b∈R， 且|a|≤3， |b|≤2， 则|a＋b|的最大值是________， 最小值是________．
解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.
解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<(|x＋1|－|x－2|)min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3. ∴a<－3.即 a 的取值范围为(－∞，－3)．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（四）” (单击进入电子文档)
|A|＋|B| 2 1 2 2 ＝ (| A | ＋ | B | ＋2|A||B|) 4 2
|A|＋|B| 1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg ≥lg|A||B|. 4 2 |A|＋|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|＋lg|B|)，④正确． 2 2 答案：A
解析：∵|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； ∵1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，②正确； 1 1 |x| 2 ∵|y|>3，∴ < .又∵|x|<2，∴ < ，③正确； |y| 3 |y| 3
②若|a|<|b|， 左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立.

(1)(几何法)利用绝对值的几何意义求解.只要找到使|x-a|+|x-b|=c
成立的 x 值,依据“大于取两边,小于取中间”的法则写出不等式的解集
即可.
(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号,以 a,b 为分界点,将实数
集分为三个区间,在每个区间上 x-a,x-b 的符号都是确定的,从而去掉绝
对值符号.
∴x-8≥3,或 x-8≤-3.∴x≥11,或 x≤5.
∴原不等式的解集为{x|x≥11 或 x≤5}.
本题题型已成为“公式”型的问题,即解不等式时,套用|ax+b|≥c 型
的转化方法,进而解之,而数形结合是从函数图象的角度解释不等式,从
中可找到适合的 x.
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问题
(wèntí)导
学
KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
导引
预习交流
如何用分段讨论法解含绝对值的不等式?
提示:用分段讨论法解含绝对值的不等式时,先求出使每一个绝对
值符号内的多项式等于零的未知数的值(称为零点),再将这些值依次在
数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号
内的多项式在每一个区间上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
3
2
(3)当 x≥1 时,|x+2|+|x-1|<4⇔x+2+x-1<4⇔2x<3⇔x< ,即
≥ 1,
3
的解集为 1, .
2
| + 2| + |-1| < 4

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[证明] (1)因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又 abc ＝1，
故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ＝ab＋abbcc＋ca ＝1a＋1b＋1c. 所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.
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(2)因为 a，b，c 为正数且 abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33 a＋b3b＋c3a＋c3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c) ≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac) ＝24， 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.
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[解] 设圆柱形桶的底面半径为 r 米，高为 h 米，则底面积为 πr2 平方米，侧面积为 2πrh 平方米．
设用料成本为 y 元，则 y＝30πr2＋40πrh. ∵桶的容积为π2， ∴πr2h＝π2， ∴rh＝21r.
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用平均不等式求解实际问题
【例 2】如图所示，在一张半径是 2 米的圆桌的正
中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子
边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不
亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和
电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正
比，而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即 E＝
5
已知 a，b，c 为正数，则ab＋bc＋ac有( )
A．最小值为 3
B．最大值为 3
C．最小值为 2
D．最大值为 2
A [ab＋bc＋ac≥3 3 ab×bc×ac＝3， 当且仅当ab＝bc＝ac，即 a＝b＝c 时，取等号．]
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教材整理 2 基本不等式的推广 阅读教材 P9～P9“例 5”以上部分，完成下列问题． 对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均 不小于 它们 的几何平均，即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝… ＝an 时，等号成立．