2025年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷一满分150分，考试用时90分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}{}1,2,5,7,31,A B xx n n ===-∈N ∣，则A B = （）A ．{2}B ．{1,7}C ．{2,7}D ．{2,5}2．已知数列{}n a 为等差数列，且1233a a +=，2346a a a ++=，则8a =（）A ．4B ．5C ．6D ．73．设,x y ∈R ，向量(),1,1a x = ，()1,,1b y = ，()2,4,2c =- ，且a b ⊥ ，b c∥，则a b + 等于（）A ．B ．3C D ．44．函数()0f x -=）A ．(],2-∞B ．(),2-∞C ．11,,222⎛⎫⎛⎤-∞ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ D ．11,,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．“14a =”是直线1l ：()2110a x ay --+=与直线2l ：210x ay +-=平行的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知函数()()()4,0,4,0,x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩若()()11f a f +<，则实数a 的取值范围为（）A ．()6,4-B ．()2,0-C ．[]6,4-D ．[]2,0-7．在ABC V 中，若sin sin 2A CBC AC A +=，则角B =（）A ．π4B ．π6C ．π2D ．π38．已知一批产品中有90%是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05，一个次品被误判为合格品的概率为0.01．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（）A ．0.855B ．0.856C ．0.86D ．0.8659．在ABC V 中，已知a =，4b =，3c =，则cos A =（）A ．12B C D ．2-10．若(2)(1)0x x +-<，则x 的取值范围为（）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(1,2)D ．(2,1)--11．要得到sin 2y x =的图象，只需把πcos 2y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象上所有点的（）A ．横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变B ．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．纵坐标变为原来的12倍，横坐标不变D ．纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变12．已知:p a b >，33:q a b >，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若(1)(6)0x x +-<，则x 的取值范围为.14．已知()2,1a = ，(),2b x =- ，若a b ⊥ ，则x =.15．已知()3f x x a =+是奇函数，则实数a 的值为．16．若,0x y >，且36xy =，则x y +的最小值是．17．若幂函数()af x x =的图象过点()2,8，则()2f -=．18．设函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩则不等式()()1f x f >的解集是.三、解答题19．已知函数()1sin 2f x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.20．在ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +-=.(1)求cos A 的值；(2)若ABC V 是锐角三角形，a b c +的取值范围.21．为了了解某校女生视力情况，某中学对女生视力进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：组别频数频率[)0.85,0.9510.02[)0.95,1.0540.08[)1.05,1.15200.40[)1.15,1.25150.30[)1.25,1.3580.16[]1.35,1.45m n 合计MN(1)求出表中m ，n ，M ，N 所表示的数分别是多少？(2)将频率分布直方图补充完整；(3)利用组中值计算女生视力的平均值.22．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1DD ⊥底面ABCD ，点P 为1DD 的中点.求证：BD平面PAC；(1)直线1//BDD 平面PAC.(2)平面1参考答案一．单项选择1．D【分析】根据交集的定义求解.【详解】因为集合{}{}1,2,5,7,31,A B xx n n ===-∈N ∣，所以1,2,5,7B B B B ∉∈∈∉，所以{}2,5A B ⋂=.故选：D.2．D【分析】先利用等差数列的性质可得32,a a ，进而可得公差，再利用2a 和公差求出8a .【详解】由等差数列的下角标性质可知123233a a a a ++==，得21a =，234336a a a a =+=+，得32a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，则321d a a =-=，所以826167a a d =+=+=.故选：D.3．B【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出,x y ，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解.【详解】由题可得111101112242x y x y y ⨯+⨯+⨯=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=-==⎩⎪-⎩，所以向量()1,1,1a = ，()1,2,1b =- ，所以()2,1,2a b +=-，所以3a b +== .故选：B.4．D【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解.【详解】对于()0f x =，有21020x x -≠⎧⎨->⎩，解得2x <且12x ≠，所以函数()f x 的定义域为11,222⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5．C【分析】先根据12//l l 求出a ，进而结合充分、必要条件的定义判断即可.【详解】由1l ：()2110a x ay --+=与2l ：210x ay +-=平行，则()221a a a -=-，解得14a =或0a =，当14a =时，1111:024l x y --+=，即1202x y +-=，21:102l x y +-=，满足12//l l ；当0a =时，10:1l x -+=，即10x -=，2:10-=l x ，两直线重合，不符合题意.所以“14a =”是直线1l ：()2110a x ay --+=与直线2l ：210x ay +-=平行的充要条件.故选：C.6．B【分析】根据分段函数表示()1f a +和()1f ，再求解不等式.【详解】由题可知()15f =，()()()()()15,1113,1a a a f a a a a ⎧++≥-⎪+=⎨+-<-⎪⎩，因为()()11f a f +<，则当1a ≥-时，()()155a a ++<，解得60a -<<，故10a -≤<；当1a <-时，()()135a a +-<，解得24a -<<，故21a -<<-，综上可知，a 的取值范围为()2,0-．故选：B 7．D【分析】根据正弦定理，正弦的二倍角公式以及三角形的内角和即可求得.【详解】由正弦定理可知，sin sin 2A CBC AC A +=可化为sin sin 2A C a b A +=，又πABC ++=，则πsinsin 2B a b A -=，即cos sin 2a A Bb =，再根据正弦定理可知，cos sin sin 2sin BB A A =，又sin 0A ≠，即cos2sin cos 222B B B=，则1sin 22B =，又0πB <<，所以π3B =.故选：D.8．B【分析】记事件:A 抽取的一个产品为合格品，事件:B 抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得()P B 的值.【详解】记事件:A 抽取的一个产品为合格品，事件:B 抽查一个产品被判为合格品，则()0.9P A =，()0.95P B A =，()0.01P B A =，由全概率公式可得()()()()()0.90.950.10.010.856P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为0.856.故选：B.9．A【分析】根据余弦定理，即可求解.【详解】在ABC V 中，已知a =，4b =，3c =，由余弦定理，得224313169131cos 243242A +-+-===⨯⨯.故选：A ．10．A【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由(2)(1)0x x +-<，解得2<<1x -，则x 的取值范围为(2,1)-.故选：A.11．A【分析】根据诱导公式可得πcos sin 2x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，再根据三角函数的伸缩变换求解即可.【详解】因为πcos sin 2y x x ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以要得到sin 2y x =的图象，只需把sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变.故选：A.12．C【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可.【详解】因为3y x =在R 上单调递增，所以当a b >时，33a b >成立，反之当33a b >时，a b >成立，所以p 是q 的充要条件.故选：C 二．填空题13．16x -<<【分析】由一元二次不等式的解法求出即可；【详解】(1)(6)0x x +-<，解得16x -<<，所以x 的取值范围为16x -<<，故答案为：16x -<<.14．1【分析】根据向量垂直坐标表示列方程求x 即可.【详解】因为()2,1a = ，(),2b x =- ，a b ⊥ ，所以220x -=，所以=1故答案为：1.15．0【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】由()3f x x a =+是奇函数，得()()f x f x -=-，则()33x a x a -+=-+，则0a =.故答案为：0.16．12【分析】根据基本不等式求解即可.【详解】因为,0x y >，且36xy =，所以12x y +≥.故答案为：12.17．8-【分析】根据幂函数的图象经过点()2,8，先求a 的值，再求对应的函数值.【详解】由()28f =⇒28a =，所以3a =，即()3f x x =.所以()()3228f -=-=-.故答案为：8-18．()()3,13,-+∞ 【分析】由函数解析式可得()13f =，按0x ≥时()3f x >和0x <时()3f x >讨论，取并集即可.【详解】解：因为函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，所以()11463f =-+=，当0x ≥时，由()()1f x f >可得2463x x -+>，即()()243310x x x x -+=-->，解得3x >或1x <，因为0x ≥，所以3x >或01x ≤<，当0x <时，由()()1f x f >可得63x +>，解得3x >-，所以30x -<<，综上31x -<<或3x >，故答案为：()()3,13,-+∞ 三．解答题19．(1)πT =；(2)π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解；（2）结合正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间，再求其与π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦交集即可.【详解】（1）因为()1sin 2f x x =+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，Z k ∈，则ππππ44k x k -+≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．(1)12(2)(3,【分析】（1）利用余弦定理可求出cos A 的值；（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出π6b c B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，根据题意求出角B 的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得b c +的取值范围.【详解】（1）因为222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===.（2）因为1cos 2A =，()0,πA ∈，则π3A =，由正弦定理可得2sin sin sin b c aB C A===，所以，()π2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 3b c B C B A B B B ⎛⎫+=+=++=++ ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6B B B B B B ⎛⎫=++==+ ⎪⎝⎭，因为ABC V 为锐角三角形，则π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，解得ππ62B <<，所以，ππ2π363B <+<，则πsin 6B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，故(π3,6b c B ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭.即b c +的取值范围是(3,.21．(1)2m =，0.04n =，50M =，1N =(2)直方图见解析(3)1.162【分析】（1）由数据组[)0.85,0.95的频数为1，频率为0.02，求出样本容量M ，进而求出,,m n N 的值；（2）根据样本的频率分布表，计算出[)1.05,1.15，[)1.15,1.25组对应矩形块的纵坐标，画出频率分布直方图；（3）根据用频率分布直方图估算平均数公式计算得解.【详解】（1）由数据组[)0.85,0.95的频数为1，频率为0.02，则10.02M=，得50M =，5014201582m ∴=-----=，所以20.0450n ==，1N =.（2）根据题意，变量落在区间[)1.05,1.15的频率为0.4，则该组[)1.05,1.15对应矩形块的高为0.440.1=，同理，组[)1.15,1.25对应矩形块的高为0.33 0.1=，补全直方图如下：（3）根据题意，女生视力的平均值为0.020.90.0810.4 1.10.3 1.20.16 1.30.04 1.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1.162=.22．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设AC BD O=，连接OP，可证1//PO BD，故由线面平行的判定定理可得1//BD平面PAC.（2）由线面垂直的判定定理可证AC⊥平面1BDD，故可得平面1BDD⊥平面PAC.【详解】（1）设AC BD O=，连接OP，∵底面ABCD是菱形，∴O为BD的中点，又∵P是1DD的中点，∴1//PO BD，又PO⊂平面PAC，1⊄BD平面PAC，∴直线1//BD平面PAC.（2）∵底面ABCD是菱形，∴AC BD⊥.又1DD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴1AC DD⊥.又1BD DD D=，BD⊂平面1BDD，1DD⊂平面1BDD，∴AC⊥平面1BDD，∵AC⊂平面PAC，∴平面1BDD⊥平面PAC.11。
