矩阵的分解
一、矩阵的三角分解 定义 3.1 设.n n
A F
⨯∈
(1) 若,n n L U F ⨯∈分别为下三角矩阵和上三角矩阵，,A LU =则称A 可作LU 分解。 (2) 若,n n L U F ⨯∈分别是对角线元素为1的下三角矩阵和上三角矩阵，D 为对角矩阵。
,A LDU = 则称A 可作LDU 分解。
用Gauss 消去法，一个方阵总可以用行初等变换化为上三角矩阵，若只用第i 行乘以数k 加到第j 行（i j <）型初等变换就能把A 化为上三角矩阵U ，则有下三角形可逆矩阵,P 使
,PA U =从而有LU 分解：1.A P U -=
例1 设223477245A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，求A 的LU 分解和LDU 分解。 解 为求,P 对下面的矩阵做如下行初等变换：
32
23100223100()4
77010031210245001068101223100031210006521A I ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
因此 100223210,031521006P PA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 令1
100223210,031121006L P U -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
则223031.006A L LU ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
再利用初等变换，有
311
2100212103013121600
1A ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
就得到A LDU =
其中 311
210021210,3,0131216001L D U ⎡
⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
一般来说，,LU LDU 分解一般不是惟一的。下面讨论方阵的LU 和LDU 分解的 存在性和唯一性。
定理 3.1 设(),n n
ij n n A a F ⨯⨯=∈ 则A 有惟一LDU 分解A LDU =的充分必要条件是A 的
顺序主子式
11
1212122201
2......0,1,2,...,;1,......
...
...
...k k k k k kk
a a a a a a k n a a a ∆=
≠=∆=
其中 1
2
1,;1,2,...,...k k k n d d D d k n d -⎡⎤⎢
⎥∆⎢
⎥===⎢⎥∆⎢⎥⎣
⎦
证明：只证充分性：对A 的阶数n 进行归纳证明
11111111,()(1)()(1)n A a a L DU ==== 所以定理对1n =成立，设定理对1n -成立，即 (1)(1)111()ij n n n n n A a L D U -⨯----== 则对,n 将A 分块成
1
n n T
n
nn A A u a τ-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
其中 121,12,1(,,...,),(,,...,),T
T
n n n n n n n n n n a a a u a a a τ--==
设
111100,1001n n n n n n T T n nn n
n A L D V v u a l d τ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 比较两边，则有
1111,n n n n A L D U ----= (3.1)
11n n n n L D v τ--= (3.2)
11T T
n n n n u l D U --= (3.3) 1T nn n n n n a l D v d -=+ (3.4)
由归纳假设（3.1）式成立。由110,k n n L D --∆≠非奇异，11n n D U --非奇异，从而由(3.2)
式和(3.3)式可惟一确定n v 和T n l . 又从(3.4)式可唯一求得,n d 所以A LDU =分解是存在而
且惟一的。
又由归纳证明过程，A 的k 阶顺序主子式
111111222222211||||||,
||||||||,............
||||||||.
k k k k k k k k A L DU D A L D U D d D A L D U D d D -∆===∆====∆====
所以 1
,1,2,...,.k
k k d k n -∆=
=∆ 推论 可逆矩阵n n
A F ⨯∈有LU 分解的充分必要条件是A 的顺序主子式
0,1,2,..., 1.k k n ∆≠=-
例 2 设123121973431942621A -⎡⎤⎢⎥
--⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦
，求A 的LDU 分解。 解 1(1)(1)(1)
,A = 由(3.1)—(3.4)式，得到 222222,
2,5,
v l u d τ=====-
所以
22222222
12101012,,,,21210510A L D U A L D U ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=
3123219,343A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
同理求得： 3331231001003210,050,01,53210012001L D U ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
4,A A = 从(3.1)—(3.4)式求得
4441(4,2,1,1),1,(1,1,,1).2
T
T
l d v =-==- 所以
4410001210
05,321012
42111L D ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
412
313
0115100120
001U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
444A L D U =
定义3.2 设矩阵A 有惟一的LDU 分解。若把A LDU =中的D 和U 结合起来，并且用 U
来表示，就得到唯一的分解
()A L DU LU
== 称为A 的Doolittle 分解.
练习：求矩阵
5240212
142500102A -⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥--⎢
⎥⎣⎦
