静电场复习题

第二章 恒磁场 习题一、判断题1、在安培定律的表达式中，若∞→→21021aF r ，则。

×2、真空中两个电流元之间的相互作用力满足牛顿第三定律。

×3、设想用一电流元作为检测磁场的工具，若沿某一方向，给定的电流元l d I0放在空间任意一点都不受力，则该空间不存在磁场。

×4、对于横截面为正方形的长螺线管，其内部的磁感应强度仍可用nI 0μ表示。

√5、安培环路定理反映了磁场的有旋性。

×6、对于长度为L 的载流导线来说，可以直接用安培定理求得空间各点的B。

×7、当霍耳系数不同的导体中通以相同的电流，并处在相同的磁场中，导体受到的安培力是相同的。

×8、载流导体静止在磁场中于在磁场运动所受到的安培力是相同的。

√9、安培环路定理Il d B C 0μ=∙⎰中的磁感应强度只是由闭合环路内的电流激发的。

×10、在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是一些平行直线，则该空间区域里的磁场一定均匀。

√二、选择题1 一无限大竖直放置的载流平板，电流面密度为i 自下而上。

现有一电子在板中部距板很的地方以速度v 自下而上射出。

则该电子将作： A ．匀速直线运动 B ． 螺旋线运动 C ． 上抛运动D ． 匀速圆周运动2 真空中一半径为R 的无限直圆柱导体载有电流I ，则穿过如图所示回路的磁通为：A ．0B ．C ．D ．3 一电子垂直射入一截流直导线，则该电子在磁场的作用下将：A.沿着电子方向偏转B.沿着电子反方向偏转C.不偏转D.偏转于电流方向偏转4 一个电子在通过空间某一空间区域时(不计重力)发生偏转则该区域：A．一定存在电场B．一定存在磁场C．一定存在磁场或电场D．不一定存在电场5 在回旋加速器中，电场和磁场的作用是：A.电场和磁场都加速粒子B.磁场对粒子加速,电场使粒子作圆周运动C.电场和磁场都加速粒子D.电场和磁场又使粒子加速,又使粒子作圆周运动6 四条相互平行的载流直导线，电流强度均为I，如图放置。

正方形的边长为2a.则正方形中心的磁感强度为:A．B．C．0 D．7 有两个竖直放置的刚性圆形线圈和，直径几乎相等，可以绕轴线AB自由转动，把它们放在互相垂直的位置上如果通过它们的电流如图所示，则从上往下看：A.逆时针转，顺时针转B.顺时针转，逆时针转C.逆时针转，逆时针转D. 顺时针转，顺时针转8 一电子和一质子以相同的速度射入一均匀磁场B中作圆周运动。

则电和质子：A．受力大小相等；B．圆周运动的大小相等；C．圆周运动的周期相等；D．圆周运动的轨迹相重合。

9 用金属丝作的圆形和正方形回路中，圆的直径和正方形的边长均为a，当通过相等的电流时，它们在各自的中心产生的磁之比为A.1B.C.D.10 质量为m，电量为q的运动电荷受到洛仑磁力作用后：A．动能不变，动量变B．动能动量均不变C．动量不变，动能变D．动能动量都改变三计算题1. 一边长为2a的载流正方形线圈，通有电流I。

试求：(1)轴线上距正方形中心为r0处的磁感应强度；(2) 当a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或10cm时，B等于多少特斯拉？解（1）沿轴向取坐标轴OX，如图所示。

利用一段载流直导线产生磁场的结果，正方形载流线圈每边在点P产生的磁感应强度的大小均为:,式中:由分析可知，4条边在点P的磁感应强度矢量的方向并不相同，其中AB边在P点的B1方向如图所示。

由对称性可知，点P上午B应沿X轴，其大小等于B1在X轴投影的4倍。

设B1与X轴夹角为α则:把r0=10cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=3.9×10-7(T)。

把r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=2.8×10-7(T)。

可见，正方形载流线圈中心的B要比轴线上的一点大的多。

2. 将一根导线折成正n边形，其外接圆半径为a，设导线载有电流为I，如图所示。

试求：(1)外接圆中心处磁感应强度B0；(2) 当n→∞时，上述结果如何？解: （1）设正n边形线圈的边长为b，应用有限长载流直导线产生磁场的公式，可知各边在圆心处的感应强度大小相等，方向相同，即：所以，n边形线圈在O点产生的磁感应强度为：因为2θ=2π/n,θ=π/n，故有：由右手法则，B0方向垂直于纸面向外。

（2）当n→∞时，θ变的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述结果中，得：此结果相当于一半径为a，载流为I的圆线圈在中心O点产生磁感应强度的结果，这一点在n→∞时，是不难想象的。

3. 如图所示，载流等边三角形线圈ACD，边长为2a，通有电流I。

试求轴线上距中心为r0处的磁感应强度。

解:由图可知，要求场点P的合场强B，先分别求出等边三角形载流线圈三条边P点产生的磁感应强度Bi ，再将三者进行矢量叠加。

由有限长载流导线的磁场公式可知，AC边在P点产生的磁感应强度BAC的大小为：由于⊿ACP为等腰三角形，且PC垂直AC，即：代入上述结果中，得：由右手螺旋定则可知，BAC的方向垂直于ACP平面向外，如图所示。

由对称性可知，AC，CD，DA三段载流导线在P点产生的磁感应强度BAC、BCD、BDA在空间方位上对称，且它们在垂直于Z轴方向上的分量相互抵消，而平行于Z轴方向上的分量相等，所以：根据等边三角形性质，O点是⊿ACP的中心，故:，并由⊿EOP可知sinα=,所以P点的磁感应强度BP的大小为：磁感应强度BP的方向沿Z轴方向。

4. 一宽度为b的半无限长金属板置与真空中，均匀通有电流I0。

P点为薄板边线延长线上一点，与薄板边缘距离为d。

如图所示。

试求P点的磁感应强度B。

解: 建立坐标轴OX，如图所示，P点为X轴上一点。

整个金属板可视为无限多条无限长的载流导组成，取其任意一条载流线，其宽度为dx，上载有电流dI=I0dx/b，它在P点产生的场强为：dB的方向垂直纸面向里。

由于每一条无限长直载流线P点激发上的磁感应强度dB具有相同的方向，所以整个载流金属板在P点产生的磁感应强度为各载流线在该点产生的dB的代数和，即：BP方向垂直纸面向里。

5 两根导线沿半径方向引到金属环上的A、C两点，电流方向如图所示。

试求环中心O处的磁感应强度。

解: 由毕-萨定律可知，两载流直线的延长线都通过圆心O，因此她们在O点产生的磁感应强度为零。

图中电流为I1的大圆弧在O点产生的B2的方向垂直纸面向里。

应用载流圆线圈在中心处产生磁场的结果B=μ0I/2r，可知B1、B2的大小为:则O点的磁感应强度的大小为:设大圆弧和小圆弧的电阻为R1、R2，则:有:, 因大圆弧和小圆弧并联，故I1R1 = I2R2，即:,代入表达式得B0=0。

6 如图所示，一条无限长导线载有电流I，该导线弯成抛物线形状，焦点到顶点的距离为a，试求焦点的磁感应强度B。

解: 本题采用极坐标。

用毕-萨定律得电流元Idl在焦点P处产生的磁感应强度为:, 由于Idl与r的夹角为θ，由图可知，Idlsinθ=Irdψ,所以dB的大小为:, 方向由右手螺旋定则可知，垂直纸面向外。

由于所有电流元Idl在P点产生的磁感应强度方向相同，所以P点的总产生的磁感应强度为:,因抛物线的极坐标方程为:,因此:7 如图所示，两块无限大平行载流导体薄板M、N，每单位宽度上所载电流为j，方向如图所示，试求两板间Q点处及板外P点处的磁感应强度B。

解: 无限长载流直导线产生磁感应强度的公式B=μ0Ir0/2πr 可知，M 板Q 点激发的磁感应强度BM 的大小为：, dBx = -dBcosα，dBy = dBsinα由对称性可知：, 设Q 点到M 板的垂直距离为a ，则：由几何关系可知：a/r=co sα,x=tanα,dx=ada/cos2α，代入上式：BM 的方向沿X 轴方向，因此，Q 点的磁感应强度BM+BN=0，采用同样的方法得，M 板在P点产生磁感应强度为：N 板在P 点产生磁感应强度为：,表明在P 点两块板产生磁感应强度相同，所以P点的B 为B = BM+BN= -μ0ji ，B 的方向沿X8一个塑料圆盘，半径为R ，电荷q 均匀地分布于表面。

圆盘绕通过圆心且垂直于圆盘面的轴转动，角速度为ω，试证明：（1）在圆盘在中心处的磁感应强度为R qB πωμ=20。

（2）若此圆盘放入与盘平行的均匀外磁场B 0中，外磁场作用在圆盘上的力矩为BR q 42ω=τ。

证明（1）取距圆盘中心O 为r 处，宽度为dr 的圆环，如图所示，在此圆环上的电量为rdr R q rdr R q dq 2222==ππ……①当圆盘以角速度ω转动时，该圆环中的电流为dqdq dI πωωπ22==……②将①式代入②式得rdr R qdI 2πω=……③由载流圆环中心处场强公式得r dIdB 20μ=……④将③式代入④式得dr R qdB 202πωμ=所以R qdr R q dB B R Rπωμπωμ2200200===⎰⎰……⑤ （2）该圆环电流的磁矩为2r dI dm π⋅=……⑥将③式代入⑥式得drr R qdm 32ω=……⑦圆环在均匀磁场中所受力矩为B m d d⨯=τ dmB d =τ……⑧将⑦式代入⑧式得drr R qBd 32ωτ=所以2324R qBdr r R qBd RR ωωττ===⎰⎰……⑨9、一半径为R 的带电导体球壳，电势为U ，绕其中一直径以角速度ω匀速转动，在实验室坐标系中，（1）证明导体球壳表面的面电流密度θωε=sin 0U i ; (θ为球心与考察点的连线与固定轴的夹角)；（2）求出轴线上任一点（球内和球外）的磁感应强度；（3）证明此旋转导体的磁偶极矩。

Uk R m ωεπ=0334其中k 是沿着轴的单位矢量，其方向与旋转方向组成右手螺旋系。

证明：(1)根据题意有σrωo ωθd θRR q U 04πε=所以RU q 04πε=R U R q 024επσ==图5-1 在球面上取一圆环带，如图5-1所示，当球壳以ω旋转时，其上电流为00sin 2sin 2U dI R Rd UR d R εωθπθεωθθπ=⋅⋅⋅⋅= 面电流密度为θωεθθθωεsin sin 00U Rd Rd UR dl dI i ===（2）由圆电流轴线上的场强公式得在如图5-2所示，距原点r 处的磁感应强度为()[][]23220220232220cos 22sin sin )sin (cos 2)sin (θ++θθωθε⋅μ=θ+θ+θμ=rR R r d UR R R R r R dI dB()23223300cos 2sin 2θθθωεμrR R rd UR++=所以()⎰+=πθθθωεμ023223300cos 2sin 2rR R rd UR B令θcos =U ， θθd dU sin -= 图5-2则有()()⎰-+-=23222300212rRUR rdUU UR B εμ()[][]{}R r R r rR R r R r R r rU-++---++=223003ωεμ当R r >，则R r R r -=-，得30032⎪⎭⎫ ⎝⎛=r R U B ωεμ当R r >，则R r R r -=-得 U B ωεμ0032=（3）圆电流dI 的磁偶极矩为 ()θθπωεθπθθωεd UR R d UR S dI dm 33020sin sin sin )(=⋅=⋅=旋转导体的磁偶极矩为300330034sin UR d URdm m ωπεθθπωεππ===⎰⎰所以θrωωεπ U R m 0334=10、在一个半径为R 的无限长半圆筒状的金属薄片中，电流I 沿圆筒的轴向从下而上流动若A 为该金属薄片的两条竖边所确定的平面上的一点（A 点在竖边之间如图9-1所示），试证明A 点的磁感应强度B 的方向一定平行于该平面。