圆锥曲线轨迹方程经典例题

轨迹方程经典例题一、轨迹为圆的例题：1、必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在 x 轴和y 轴上移动，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程:1必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点(0,0)，A ( 3,0 )的距离之比为 _ ,求点M 的轨迹方程；(一般地：必修 2课2本P i4启组2：已知点M(x , y )与两个定点 的距离之比为一个常数 m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程(分 m =i .为22，在y 轴上截得线段长为 2・..3。

( 1)求圆心的P 的轨迹方程;(2)若P 点到直线y = x 的距离为—，求圆P 的方程。

2如图所示，已知 R4 , 0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A B 是圆上两动点，且满足/ APB 90°，求矩 形APBQ 勺顶点Q 的轨迹方程.解：设AB 的中点为R 坐标为(x ,y ),则在Rt △ ABP 中，|AR =| PR .又因为R 是弦AB 的中点, 依垂径定理：在 Rt △ OAF 中，| AR 2=|AQ 2—| OR 2=36— (x 2+y 2)又| AR =| PR = - (^4)2 y 2 所以有(x — 4)2+y 2=36 — (x 2+y 2),即x 2+y 2 — 4x — 10=0因此点R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运 动.设 Qx , y ) , Rx 1,y 1),因为 R 是 PQ 的中点，所以X 1= _ , y 1= ―，代入方程 ^+y 2 — 4x — 10=0,得 2 2(宁)2 •(寸)2 -4 —10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程.在平面直角坐标系 xOy 中，点A(0,3)，直线丨：y = 2x-4 •设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直 线y = x -1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA =2MQ ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.与2进行讨论)戈（2013陕西卷理20）已知动圆过定点 A （4,0），且在y 轴上截得弦 MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2） 已知点B （_1,0），设不垂直于x 轴的直线|与轨迹C 交于不同的两点 P,Q ，若x 轴是.PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点。

二、椭圆类型：13、 定义法：（选修2-1P 50第3题）点M （x , y ）与定点F （2，0）的距离和它到定直线 x=8的距离之比为一，求点2M 的轨迹方程.（圆锥曲线第二定义） 讨论：当这个比例常数不是小于1,而是大于1，或等于1是的情形呢？（对应双曲线，抛物线）4、圆锥曲线第一定义：（选修2-1P 50第2题）一个动圆与圆2 2 2 2x y •6x ・5=0外切，同时与圆 x y -6x -91=0内切，求 动圆的圆心轨迹方程。

圆锥曲线第一定义：点M （x °,y °）圆F j （x+1）2 +y 2=9上的一个动点，点F 2 （1,0）为定点。

线段MF ?的垂直平分线与 MF 1相交于点Q （x , y ）,求点Q 的 轨迹方程;（注意点F 2 （ 1,0 ）在圆内）6、其他形式：（选修2-1P 50例3）设点A,B 的坐标分别是（-5,0），（5,0），直线AM,BM 相交于点M 且他们的斜率4的乘积为 ，求点M 的轨迹方程：（是一个椭圆）94（讨论当他们的斜率的乘积为4时可以得到双曲线）9（2013新课标1卷20）已知圆M : （x • 1）2 • y 2 =1，圆N : （x -1）2 y 2= 9，动圆P 与圆M 外切并且与圆 N 内切，5、MQF 2圆心P 的轨迹为曲线C 。

（ 1）求C 的方程； （2）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A,B 两点，当圆P 的半径最长时，求 AB(2013陕西卷文20)已知动点 M (x,y)到直线I : x =4的距离是它到点 N(1,0)的距离的2倍。

(1)求动点M 的轨迹C 的方程(2)过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于 代B 两点，若A 是PB 的中点，求直线165定义法：(选修2-1P 59例5)点M(x , y )与定点F(5，0)的距离和它到定直线 x 的距离之比为，求点M 的轨迹方5 4程.(圆锥曲线第二定义)四、抛物线类型：10、定义法：(选修2-1 )点M(x , y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线 X =-2的距离相等， 求点M 的轨迹方程。

(或：点M(x , y )与定点F(2，0)的距离比它到定直线 X =-3的距离小1,求点M 的轨迹 方程。

)(2013陕西卷文20)已知动点M(x,y)到直线l :x =4的距离是它到点 N(1,0)的距离的2倍。

(1)求动点M 的轨 迹C 的方程(2)过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A, B 两点，若 A 是PB 的中点，求直线 m 的斜率 已知三点0(0,0) , A(-2,1)，B(2,1)，曲线C 上任意一点M(x,y)满足 T rT T|MA MB | =OM (OA OB) 2。

(1)求曲线C 的方程；m 的斜率。

三、双曲线类型： &圆锥曲线第一定义：点F 2 ( 1,0 )为定点。

线段的轨迹方程;(注意点F 2)在直角坐标系xOy中，曲线C i的点均在G: (x-5 ) 2+ y2=9外，且对C i上任意一点M M到直线x=-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值•(I)求曲线C的方程；(湖北)设A是单位圆x2+y2=1 上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线I上, 且满足丨DM| =m| DA|( m>0,且m^ 1)。

当点A在圆上运动时，记点M勺轨迹为曲线G(I )求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；2 2(辽宁)如图，椭圆C o: -2 y^ =1(a〉b〉0 , a, b 为a b^222C i: x y =ti , b :::ti ::: a。

点A, A分别为C o的左，右顶交于A, B, C, D四点。

(I )求直线AA i与直线A2B交点M的轨迹方程；(四川)如图，动点M到两定点A(-i,0)、B(2,0)构成. MAB，且.MBA =2 MAB，设动点M的轨迹为C。

(I)求轨迹C的方程；(n)设直线y = -2x • m与y轴交于点P ,与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ卜：| PR|,求J-PR|的取值范围。

|PQ|1. ( ★★★★)已知椭圆的焦点是F i、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长F i P到Q使得|PQ=| PF2|，那么动点Q的轨迹是()A. 圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线2 22. ( ★★★★)设A、A是椭圆—+-^=i的长轴两个端点，P、F2是垂直于AA的弦的端点，则直线A i P i与AF2交9 4点的轨迹方程为()A.2 2X . y=i2B. y2 2 2x x y .i C. i2D. y2-x=i 9 49 4 9 494二、填空题3.( ★★★★ ) △ ABC 中, A为动点， B C为定点， B - a,0), q旦，0)，且满足条件sin C—siniB^- si n A,则动点A222的轨迹方程为__________ .4. ( ★★★★)高为5 m和3 m的两根旗杆竖在水平地面上，且相距i0 m如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(—5, 0)、B(5 , 0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是 ______________ .三、解答题5. ( ★★★★)已知A、B C是直线I上的三点，且| AB=| BQ=6 , O O切直线I于点A,又过B C作O O异于I的两切线，设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程•2 26.( ★★★★)双曲线 冷—笃=1的实轴为AA ,点P 是双曲线上的一个动点，引 AQ! AP, AQL AP, AQ 与AQ 的a b交点为Q,求Q 点的轨迹方程.x 2 y 28.( ★★★★★)已知椭圆 r=1(a >b >0),点P 为其上一点，民F 2为椭圆的焦点，/ FFR 的外角平分线为l ,b设点R 形成的曲线为C,直线I : y =k (x + .2 a )与曲线C 相交于A B 两点，当△ AOB 勺面积取得最大值时，求 k的值.16x 2 16y 2a了一亩 Jx 4).2 2答案：哼一% =1(x 旦)a 2 3a 24,化简得P 点轨迹方程为 4x 2+4y 2— 85x +100=0. •. (x -5)2 y 2 2 2答案：4x +4y — 85x +100=0三、5.解：设过B 、C 异于I 的两切线分别切OO'于D E 两点，两切线交于点 P.由切线的性质知：|BA =| BD ,|PD =I PE , |CA =| CE ，故 I PB +I PC =I BD +| PD +| PC =| BA +I PE +I PC=|BA +| CE =I AB +I CA =6+12=18 >6=|BC ，故由椭圆定义知，点 P 的轨迹是以 B C 为两焦点的椭圆，以I所在的直线点F 2关于I 的对称点为 Q F 2Q 交I于点R当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程;一、1.解析:|PF |+| PR |=2a ,| PQ =| PB |, 等于定长2a ,故动点 Q 的轨迹是圆••••I PF |+| PB |=| PF |+| Pq =2 a ,即| FQ =2 a , •••动点 Q 到定点 R 的距离2.解析：设交点 P (x ,y ) ,A ( — 3,0), A(3,0),P 1(X 0,y °), P 2(X 0, — y °)•/ A 、P 1、P 共线，• y —y ° =—y •/ A 、F 2、Px — x 0 x + 3x - x 0 x -3J 解得 X °=9,y 。

二翌,代入得 x 2 2X 。

y 。

92=1,即—2「194、3.解析：由 sin C — sin1B= sin A 得2b=2a ,•应为双曲线一支，且实轴长为-,故方程为24.解析：设Rx,y ),依题意有(X 5)2 y 2心| ad k 2.2 〒k专题一：求曲线的轨迹方程课前自主练习：1 •如图 1, ABC 中，已知 B( -2,0) , C(2,0) 的轨迹方程是— 2.如图2,若圆C :则G 的轨迹方程是，点A 在x 轴上方运动，且tanB - tanC = 2，则顶点A(x 1)2 y^36上的动点1:y2 2为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方程为-—=1(y 工0)81726. 解：设 F (x o ,y o ) (x 工土 a ), Qx , y ). ••• A i ( - a ,0), A(a ,O).而点 P (x o , y o )在双曲线上，••• b 2x 。