定积分及其应用

文科微积分学习指导（5） 1 第五章 定积分及其应用 第一部分 重点、难点及分析 一、 定积分的定义及几何意义：

由定积分的定义，

b

adxxf)(=iniixf10)(lim

一个函数的定积分是由“和式的极限”来定义的，许多现实问题都归结于求和式极限问题，如：不规则图形的面积、变力作功、变速直线运动的距离，都可通过定积分的计算找到答案。因此定积分的概念来源于实际，是解决实际问题的有力“工具”。 定积分的概念由四个步骤构成：分割、近似代替、求和、取极限。

求和iniixf10)(lim得到了近似的结果，而取极限改善了近似程度，极限值给出了所要测度的量的精确定义。应该说，定积分是一种特殊的“和式极限”，它比数列、函数的极限要复杂一些，在它的定义中，没有简单地写成以n或λ为自变量。 定积分

b

adxxf)(的值与积分区间[a，b]和被积函数f 有关，而与积分

变量用哪一个字母来表示无关，也就是说在

b

adxxf)(中将x改写成u

或t 得到的结果是一样的。 在f（x）> 0时，

b

adxxf)(的数值，在几何上等于曲线f（x），x=a，

x=b和x轴所围成的曲边梯形的面积。 在一般情况下，表示曲线f（x），直线x=a，x=b和x轴之间各部分面积的代数和。其中，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面文科微积分学习指导（5） 2 积取负号。 定积分的存在性，要满足两个任意性：一是对区间[a，b]的任意划分，可以是等距离的，也可以是非等距离的；另一个是在小区间],[

1iixx

上任意取一点i

，可以在区间端点上取，也可以在区间内取。

在“微分学”中知道函数的连续性不能保证可导性，连续性是可导的必要条件，但不是充分条件。而连续函数的定积分一定存在，这是定积分存在的充分条件，而不是必要条件，也就是说对不连续的函数，定积分也可能存在。事实上，在区间[a，b]上若有有限个间断点，而有界的函数f（x）在这个区间上的定积分是存在的。 二、 定积分的性质：

1） 运算性质：bababadxxgdxxfdxxgxf)()()]()([ 2） 区间性质： ♥

bccab

adxxfdxxfdxxf)()()(

♥ 若f（x）在[a，b]上可积，则在[a，b]上的部分区间],[],[

11baba

上也是可积的。 3） 不等式性质： ♥ 若f (x)，g（x）在[a, b]上可积，且f (x)g（x），那么

babadxxgdxxf)()(

♥ 若f (x)在[a, b]上可积，Mxfm)(，则)()()(abMdxxfabmba 文科微积分学习指导（5） 3 4)积分中值性质：],[),)(()(baabfdxxfba 三、 定积分的计算： 重要的公式：）的原函数（是xfxFaFbFdxxf

b

a)(),()()(

计算定积分也可以象计算不定积分时使用换元法，在用第二换元法时，一是，要注意引进的新变量应是单值、单调、连续的函数，且要有连续的导数。二是进行变量代换要换积分限。如：

单调的函数。上是不连续的，也不是，在，关键的是引进的，这是一个错误的结果从而，，如果令

]11[101111111111,111121121122112112txdxx

dttdtttdxxtxdxx

计算定积分时，常用的几个结论： 1） 当被积函数f（x）是奇函数时，aadxxf0)( 。

2） 当被积函数f（x）是奇函数时，aaadxxfdxxf0)(2)( 3） 若f（x）是以T为周期的连续函数，TTaadxxfdxxf0)()( 四、 定积分的应用：在几何中的应用：求平面图形的面积、求旋转体的体积；在物理方面的应用：变力作功。 第二部分 书后习题 1)①文科微积分学习指导（5） 4 ).()(lim)()(121][)(1011abkxxfabknabnknabkxxfkxfkxfxnabxnninabixnbaabkkdxiniiniiniiiiiiiba







求极限：和式）（，从而）（；而，取的长度

；每个小区间，，，，）（等分，分点为分成，将。用定义证明：

2）②121)1(222)12(1010101010eexedxdxedxexxx ④2)4(4arctan111112x

x

dx

⑥41arctan11111110101021010221022xxdxxdxdxxxdx

x

x

3）②

。对第一个积分，



aaaaaatxaaaaadxxfdxxfdxxfdttfdttfdxxfdxxfdxxfdxxf0000000)(2)()()()()()()()(

4）②727)3635(101)1361(101)21(5151)511()511(151)511(1612613123123uuduxdxdxx

④文科微积分学习指导（5）

5 3ln2)]11(213[ln2])1(21)1[ln(2))1(11(2111212211202202020202202202,40ttdttdtt

dtttdttttdtttdxx

xtdtdxtx

⑥2121)(lnlnln10210ln11ttdtxxddxx

xtx

ee

⑧313

1

sinsincossin10310220sin2202tdttxxdxdxxtx



⑩72)036(2121)(arcsinarcsin1arcsin2260260arcsin2102102ttdtxxddxxxtx

○12

的结果。例书注：第一个等号是根据890.)002(2)cossin(2cos4420202sin2202ptttdttdxxtx



5)②

12ln21)12(ln)1(2ln2ln2ln2ln2ln2ln02ln2ln02ln02ln02ln0eeeeedxexexdedxxexxxxx

④)1(

21)sin(cos2

1coscos2202020eexxxdexdxexxx

6）① 文科微积分学习指导（5）

6 .21)2121(lim)21(limlim132121313收敛xdxaxxdxx

dx

aaaaa

②

.21)11(lim21)(lim2121limlim002000222222收敛dxxeeedxedxxedxxexaaaxaaxaaxax

7）①所围面积： 313132)3132()(10323102xxdxxxS

②所围图形有两个交点：8,22)4(4222xxxxyxy；两个交点：（2，－2）、（8，4）

1824)464(21)22216(32222324)28(4213223222)]4(2[])2(2[1824126)24(4)6121()24(8228223202382204232422xxxdxxxdxxxSyydyyyS围面积：可以用两种方法计算所

8）①球的方程是：文科微积分学习指导（5）

7 333332222222222222

34)(31231)]([)(RRRRxRRRdxxRVxRxfxAxRyxRzyxRRRR



）（

）（）（轴旋转得到的绕，它可以看成是由圆

②22]2sin21)([2)2cos1(2sinxdxxxdxV

第三部分 附加习题 1）求定积分： ①

2)01()10(212212222221020121001100111xxxdxxdxxdxxdxdxx

②

)1(21)1ln(ln)1(21)(ln21221)(lnln221ln2ln22121121121122eeexxdxxxdxdxxxxdxdxx

xxeeeee

ee

③ 

2

05sincosxdxx,令sixdxdtxt,cos当x= 0时,t = 1, 当

2



x

时,t= 0 =616

11

06105015tdttdtt