计 数 问 题
教学目标
1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；
2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；
3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；
4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。
5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。
知识点拨：
例题精讲：
一、 排 列 组 合 的 应 用
【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？
（1）七个人排成一排；
（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.
（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.
（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。
【解析】 （1）775040P =（种）。
（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.
（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×6
6P =1440(种)．
（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)． （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）. （6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.
（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所
以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×5
5P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊
情况再去全排列。
【例 2】 用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？ 【解析】 个位数字已知，问题变成从从5个元素中取2个元素的排列问题，已知5n =，2m =，根据排列数公式，
一共可以组成255420P =⨯=(个)符合题意的三位数。
【巩固】 用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比20000大且百位数字不是3的无重复数字的五位数？ 【解析】 可以分两类来看：
⑴ 把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有
44432124P =⨯⨯⨯=(种)放法，对应24个不同的五位数；
⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有336P =种选择．由乘法原理，可
以组成33654
⨯⨯=(个)不同的五位数。
由加法原理，可以组成245478
+=(个)不同的五位数。
【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？
【解析】从高位到低位逐层分类：
⑴千位上排1，2，3或4时，千位有4种选择，而百、十、个位可以从0~9中除千位已确定的数字之
外的9个数字中选择，因为数字不重复，也就是从9个元素中取3个的排列问题，所以百、十、个位可
有3
9987504
P=⨯⨯=(种)排列方式．由乘法原理，有45042016
⨯=(个)．
⑵千位上排5，百位上排0~4时，千位有1种选择，百位有5种选择，十、个位可以从剩下的八个数
字中选择．也就是从8个元素中取2个的排列问题，即2
88756
P=⨯=，由乘法原理，有1556280
⨯⨯=(个)．
⑶千位上排5，百位上排6，十位上排0，1，2，3，4，7时，个位也从剩下的七个数字中选择，有
116742
⨯⨯⨯=(个)．
⑷千位上排5，百位上排6，十位上排8时，比5687小的数的个位可以选择0，1，2，3，4共5个．
综上所述，比5687小的四位数有20162804252343
+++=(个)，故比5687小是第2344个四位数．
【例 3】用1、2、3、4、5这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？
【解析】按位数来分类考虑：
⑴一位数只有1个3；
⑵两位数：由1与2，1与5，2与4，4与5四组数字组成，每一组可以组成2
2212
P=⨯=(个)不同的两位数，共可组成248
⨯=(个)不同的两位数；
⑶三位数：由1，2与3；1，3与5；2，3与4；3，4与5四组数字组成，每一组可以组成
3 33216
P=⨯⨯=(个)不同的三位数，共可组成6424
⨯=(个)不同的三位数；
⑷四位数：可由1，2，4，5这四个数字组成，有4
4432124
P=⨯⨯⨯=(个)不同的四位数；
⑸五位数：可由1，2，3，4，5组成，共有5
554321120
P=⨯⨯⨯⨯=(个)不同的五位数．由加法原理，一共有182424120177
++++=(个)能被3整除的数，即3的倍数．
【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析】由于组成偶数，个位上的数应从2，4，6中选一张，有3种选法；十位和百位上的数可以从剩下的5张
中选二张，有2
55420
P=⨯=(种)选法．由乘法原理，一共可以组成32060
⨯=(个)不同的偶数．
【例 4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9，那么确保打开保险柜至少要试几次？
【解析】四个非0数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；
2，2，2，3六种。
第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的位置就可以了，6可以任意选择4个位置中的一个，其余位置放1，共有4种选择；
第二种中，先考虑放2，有4种选择，再考虑5的位置，可以有3种选择，剩下的位置放1，共有4312
⨯=(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有12种选择．最后一种，与第一种的情形相似，3的位置有4种选择，其余位置放2，共有4种选择．
综上所述，由加法原理，一共可以组成412121212456
+++++=(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次．
【例 5】两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？
【解析】第一个位置在6个人中任选一个，有1
66
C=(种)选法，第二个位置在另一胞胎的3人中任选一个，有
1 33
C=(种)选法．同理，第3，4，5，6个位置依次有2，2，1，1种选法．由乘法原理，不同的坐
法有111111 63221163221172
P P P P P P
⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=(种)。
【例 6】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:24：30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字
