2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十
一、选择题（36分）
1．给定公比为q ( q≠1)的等比数列{ a n }，设b 1 = a 1 + a 2 + a 3 , b 2 = a 4 + a 5 + a 6 ,…, b n = a 3 n -2 + a 3 n -1 + a 3 n ,…，则数列{ b n }( )
( A )是等差数列( B )是公比为q 的等比数列
( C )是公比为q 3 的等比数列( D )既非等差数列也非等比数列
解析：(C).
由题设，a
n =a
1
q n-1，则
因此，｛b
n
｝是公比为q3的等比数列．
2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式
(| x |-1) 2 +(| y |-1) 2 ＜2的整点( x , y )的个数是( )
( A )16 ( B )17 ( C )18 ( D )25
解析：(A)
由(|x|-1)2+(|y|-1)2<2,可得(|x|-1,|y|-1)为(0，0)，(0，1)，(0，-1)，(1，0)或(-1，0).从而，不难得到(x,y)共有16
个．
3．若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y，则( ) ( A ) x - y ≥0 ( B ) x + y ≥0
( C ) x - y ≤0 ( D ) x + y ≤0
解析：(B)
记f(t)=(l o g23)t-(l o g53)t，则f(t)在R上是严格增函数．原
不等式即f(x)≥f(-y)．
故x≥-y，即x+y≥0．
4．给定下列两个关于异面直线的命题：
命题Ⅰ：若平面α上的直线a 与平面β上的直线b 为异面直线，直线c 是α与β的交线，那么，c 至多与a , b 中的一条相交；
命题Ⅱ：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么，( )
( A )命题Ⅰ正确，命题Ⅱ不正确 ( B )命题Ⅱ正确，命题Ⅰ不正确( C )两个命题都正确 ( D )两个命题都不正确
解析：(D)．
如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平
行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，则这
些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．
5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )
( A )0 ( B )1 ( C )2
( D )3
解析：(B)
设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题
意，可得，即=44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数．
6．已知点A (1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y 2 =4 x 交于另外两点B , C ，那么，△ABC 是( )
( A )锐角三角形 ( B )钝角三角形
( C )直角三角形 ( D )答案不确定
解析：(C)
设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，则直线BC的方程为
，化得2x-(s+t)y+2st=0．
由于直线BC过点(5，-2)，故 2×5-(s+t)(-2)+2st=0，即 (s+1)(t+1)=-4．
因此， . 所以，∠BAC=90°，从而△ABC 是直角三角形． 二、填空题（54分）
7．已知正整数 n 不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的 n 的个数是___________.
解析：
6．
首项为a 为的连续k 个正整数之和为
． 由S k ≤2000，可得60≤k ≤62．
当k =60时，S k =60a +30×59，由S k ≤2000，可得a ≤3，故S k =1830,1890,1950；
当k =61时，S k =61a +30×61，由S k ≤2000，可得a ≤2，故S k =1891，1952；
当k =62时，S k =62a +31×61，由S k ≤2000，可得a ≤1，故S k =1953．
于是，题中的n 有6个．
8．复数(12+5i )2(239-i )的辐角主值是_________.
解析：
．
z 的辐角主值
a r g z =a r g ［(12+5i )2
(239-i )］ =a r g ［(119+120i )(239-i )］
=a r g ［28561+28561i ］=．
8．在△ ABC 中，记 BC = a ， CA = b ， AB = c ，若9 a 2 +9 b 2 -19 c 2 =0，则
ctgB
ctgA ctgC =__________.
解析：
．
10．已知点 P 在双曲线
19
16
2
2
=-
y
x
上，
并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么， P 的横坐标是_____.
解析：
．
记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a 、b 、c ，离心率为
e ，点P 到右准线l 的距离为d ，则a =4, b =3, c =5, , 右
准线l 为
.
如果P 在双曲线右支，则
|P F 1|=|P F 2|+2a =e d +2a ． 从而，
|P F 1|+|P F 2|=(e d +2a )+e d =2e d +2a >2d ， 这不可能；故P 在双曲线的左支，则
|P F 2|-|P F 1|=2a ,|P F 1|+|P F 2|=2d ． 两式相加得2|P F 2|=2a +2d ． 又|P F 2|=e d ,从而e d =a +d ．
故
.
因此，P 的横坐标为
．
11．已知直线0=++c by ax 中的 a , b , c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______.
