重点高中立体几何证明方法及例题
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由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1. 线线、线面、面面平行关系的转化：
线线∥
线面∥
面面∥
公理
4
(a//b,b//c ⇒a c
//)
线面平行判定 αβ
αγβγ
//,//I I ==⇒⎫⎬⎭
a b a b
面面平行判定1
a b a b a //,//⊄⊂⇒⎫
⎬⎭ααα
面面平行性质
a b a b A a b ⊂⊂=⇒⎫⎬⎪⎭
⎪ααββαβ
,//,////I 线面平行性质
a a
b a b
////αβαβ⊂=⇒⎫⎬⎪
⎭
⎪I 面面平行性质1
αβαβ
////a a ⊂⇒⎫
⎬
⎭
面面平行性质
αγβγαβ
//////⎫⎬
⎭⇒
A b
α
a
β a
b
α
2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
线线⊥ 线面⊥
面面⊥
三垂线定理、逆定理
PA AO PO a a OA a PO a PO a AO
⊥⊂⊥⇒⊥⊥⇒⊥ααα
,为在内射影则
线面垂直判定1 面面垂直判定 a b a b O l a l b l ,,⊂=⊥⊥⇒⊥⎫⎬
⎪
⎭
⎪αα
I a a ⊥⊂⇒⊥⎫
⎬⎭
α
βαβ 线面垂直定义
l a l a
⊥⊂⇒⊥⎫
⎬⎭α
α
面面垂直性质，推论2
αβ
αββα⊥=⊂⊥⇒⊥⎫⎬⎪
⎭
⎪I b a a b a , αγβγαβ
γ⊥⊥=⇒⊥⎫
⎬⎪
⎭
⎪I a a
面面垂直定义
αβαβαβI =--⇒⊥⎫
⎬⎭
l l ，且二面角成直二面角
线线∥线面⊥面面∥
线面垂直判定2面面平行判定2
线面垂直性质2面面平行性质3
a b
a
b
//
⊥
⇒⊥
⎫
⎬
⎭
α
α
a
b
a b
⊥
⊥
⇒
⎫
⎬
⎭
α
α
//
a
a
⊥
⊥
⇒
⎫
⎬
⎭
α
β
αβ
//
αβ
α
β
//
a
a
⊥
⊥
⎫
⎬
⎭
a
4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”
5. 唯一性结论：
1. 三类角的定义：
（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°
2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”
即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；
（3）指出所求作的角；（4）计算大小。
【典型例题】
（一）与角有关的问题
例1. （1）如图，E 、F 分别为三棱锥P —ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ）
A. 60°
B. 45°
C. 30°
D. 120°
解：取AC 中点G ，连结EG 、FG ，则
EG PC FG AB
∥∥，==1212
∴∠EGF 为AB 与PC 所成的角
在△EGF 中，由余弦定理，
cos ∠··EGF EG FG EF EG FG =+-=+-⨯⨯=-
222222
25372531
2
∴AB 与PC 所成的角为180°－120°＝60°
∴选A
（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）
A B C D .
.
.
.
1313
36
33
2626
解：
设正四棱锥的高为，斜高为h h h '=
+⎛⎝ ⎫⎭⎪
2
2
12
由题意：1241121612
222
⨯⨯+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫
⎭⎪⎪+=⨯h
∴h 2
6=
