中考数学专题讲座 代数、三角、几何综合问题答案

中考数学复习代数几何综合问题专项练习(人教版含答案) K
j 代数几何综合问题（1）专项练习
1 如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点B（0，4）。

⑴求抛物线的解析式；
⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为，连接BC、AC。

求证△ABC 是等腰直角三角形；
⑶在⑵的条下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l，直线l与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在，求出直线l的解析式，若不存在，请说明理由。

2 二次函数的图象的一部分如图所示。

已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。

（1）试求，所满足的关系式；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的倍时，求a的值；
（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形。

若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由。

3 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（4，0）、B（-1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，，EF⊥OD，垂足为F。

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值。

代数几何综合问题（1）专项练习
参考答案
1 （1）解由题意知16a+6=4。

2020年中考数学复习专题练：《三角形综合》1．如图：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝2，DC＝BC＝4．（1）求sin∠ADC的值．（2）E是四边形内一点，F是四边形外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF 的形状．（等腰直角三角形）（3）在（2）的条件下，当BE：CE＝1：2，∠BEC＝135°时，求sin∠BFE的值．2．如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN．（1）当∠BAM＝°时，AB＝2BM；（2）请添加一个条件：，使得△ABC为等边三角形；①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC；②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明．3．综合与实践：操作发现：如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，将这两个三角形放置在一起，使点B，D，E在同一直线上，连接CE．（1）如图1，若∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED＝55°，求证：△BAD≌△CAE；（2）在（1）的条件下，求∠BEC的度数；拓广探索：（3）如图2，若∠CAB＝∠EAD＝120°，BD＝4，CF为△BCE中BE边上的高，请直接写出EF的长度．4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．5．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x 轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB射线AC于点Q．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CQ的长为（用含t的代数式表示）（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．7．如图，在平面内给定△ABC，AB＝AC，点O到△ABC的三个顶点的距离均等于c（c为常数），到点O的距离等于c的所有点组成图形G，过点A作AB的垂线交BC于点E，交图形G于点D，延长DA，在DA的延长线上存在一点F，使得∠ABF＝∠ABC．（1）依题意补全图形；（2）判断直线BF与图形G交点的个数并证明；（3）若AD＝4，cos∠ABF＝，求DE的长．8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC，垂足为H点，点D是射线AH上的动点，连接CD，以CD为边在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）当点D在线段AH上时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；（2）当△CDE的面积等于△ABC的面积的时，判断线段CE与△ABC的边是否存在特殊的位置关系？若存在，说出是什么关系并证明；若不存在，请说明理由．9．如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为圆心以AM为半径作圆弧，以B为圆心以BN为半径作圆弧，两圆弧相交于点C构成△ABC，设AB＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）当∠CAB是锐角时，求△ABC的最大面积？10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，D是边AC上一点，且CD＝1cm．动点P从点D出发，以1cm/s的速度沿D→A向终点A匀速运动；同时动点Q从点B出发，以1m/s的速度沿B→C向终点C匀速运动，连结PQ，设点P的运动时间为ts，△CPQ的面积为Scm2（1）当PQ＝3时，求t的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）连结DQ，当直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分时，直接写出t的值，并写出此时S的值．11．如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE 表示△BCE的面积，S△AEF表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．12．如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）（1）当a＝2时，则C点的坐标为（，）；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由；（3）当a＝2时，在第一象限内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由13．平面直角坐标系中，若点A（a，b），且+＝0，点B（m，m），其中m＞1，R点在x轴正半轴上，RA⊥RB（1）求a、b的值；（2）连接AB交y轴于E，连接ER，若∠ARO＝15°，求的值；（3）点D（﹣1，0）、C（0，1），射线DC分别交线段AR、AB于点S、T，若SC＝n，CT ＝k，试用含n的式子表示k．14．在平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2），B（2，4）．（1）如图1，求△AOB的面积；（2）如图2，求AB与两坐标轴的交点C，D坐标；（3）在坐标轴上求作点P，使△ABP的面积为6，求P点坐标，利用图3解答．15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B在x的负半轴上，△AOB的面积为8，作△AOB关于y轴的对称图形，点B的对应点为C．（1）求线段OC的长；（2）点D从A点出发，沿线段AO向终点O运动，同时点E从点C出发，沿x轴的正方向运动，且CE＝AD，连接DE交AC于点G，判断DG和EG的数量关系，并说明理由．（3）在（2）的条件下，当∠CEG＝∠ABD时，求点G点坐标．16．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是BC上一点．（1）如图1，AD平分∠BAC，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，点E在线段AD上，且∠CED＝45°，∠BED＝30°，求证：BE＝2AE；（3）如图3，CD＝BD，过B点作BM⊥AD交AD的延长线于点M，连接CM，过C点作CN⊥CM交AD于N，求证：DN＝3DM．17．如图，在Rt△ABC中，＝nM为BC上的一点，连接BM．（1）如图1，若n＝1，①当M为AC的中点，当BM⊥CD于H，连接AH，求∠AHD的度数；②如图2，当H为CD的中点，∠AHD＝45°，求的值和∠CAH的度数；（2）如图3，CH⊥AM于H，连接CH并延长交AC于Q，M为AC中点，直接写出tan∠BHQ 的值（用含n的式子表示）．18．如图1，在等边△ABC中，E、D两点分别在边AB、BC上，BE＝CD，AD、CE相交于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）过点A作AH⊥CE于H，求证：2FH+FD＝CE；（3）如图2，延长CE至点P，连接BP，∠BPC＝30°，且CF＝CP，求的值．（提示：可以过点A作∠KAF＝60°，AK交PC于点K，连接KB）19．在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）如图1，若AE＝BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD．求证：①AF＝CE；②OD平分∠AOC；（2）如图2，若AE＝2CF，作∠BCP＝∠AEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CE＝CP．20．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．参考答案1．解：（1）如图1，过点A作AM⊥DC于M，∵∠BCD＝90°，AM⊥CD，∴AM∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCM是平行四边形，且∠BCD＝90°，∴四边形ABCM是矩形，∴AM＝CB＝4，AB＝CM＝2，∴DM＝2，∴AD＝＝＝2，∴sin∠ADC＝＝＝；（2）△DEF是等腰直角三角形，理由如下：∵∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，BC＝CD，∴△CDE≌△CBF（SAS）∴∠DCE＝∠BCF，CE＝CF，∴∠DCE+∠ECB＝∠BCF+∠BCE，∴∠DCB＝∠ECF＝90°，且CE＝CF，∴△DEF是等腰直角三角形；（3）设BE＝k，则CE＝CF＝2k，∴EF＝2k，∵∠BEC＝135°，又∠CEF＝45°，∴∠BEF＝90°，∴BF＝＝＝3k，∴sin∠BFE＝．2．解：（1）当∠BAM＝30°时，∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB＝2BM；故答案为：30；（2）添加一个条件AB＝AC，可得△ABC为等边三角形；故答案为：AB＝AC；①如图1中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN；②成立，理由：如图2中，∵△ABC与△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM与△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN．3．（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）解：如图1中，设AC交BE于O．∵∠ABC＝∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣110°＝70°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABO＝∠ECO，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠BAO＝70°，即∠BEC＝70°．（3）解：如图2中，∵∠CAB＝∠EAD＝120°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠BAD＝∠ACE，BD＝EC＝4，同法可证∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠FEC＝60°，∵CF⊥EF，∴∠F＝90°，∴∠FCE＝30°，∴EF＝EC＝2．4．解：（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝＝4，＝•BC•AH＝•AC•BM，∵S△ABC∴BM＝＝，∴AM＝＝＝，∴cos A＝＝．（2）设AH交CD于K．∵∠BAC＝2∠ACD，∠BAH＝∠CAH，∴∠CAK＝∠ACK，∴CK＝AK，设CK＝AK＝x，在Rt△CKH中，则有x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，∴AK＝CK＝，∵∠ADK＝∠ADC，∠DAK＝∠ACD，∴△ADK∽△CDA，∴＝＝＝＝，设AD＝m，DK＝n，则有，解得m＝，n＝．∴AD＝．（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．理由：∵∠GBE＝∠ABC，∠BAC+2∠ABC＝180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠EBC＝∠BAC，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EBC＝∠EDC，∴D，B，E，C四点共圆，∴∠EDB＝∠ECB，∵∠EDB+∠EDC＝∠ACD+∠DAC，∠EDC＝∠DAC，∴∠EDB＝∠ACD，∴∠ECB＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝．5．解：（Ⅰ）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，如图1所示：∵CM⊥OA，AC⊥AB，∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠MAC＝∠OBA，在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝6，∴点C的坐标为（﹣6，﹣2），故答案为（﹣6，﹣2）；（Ⅱ）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则四边形OEDQ是矩形，∴DE＝OQ，∵∠APO+∠QPD＝90°，∠APO+∠OAP＝90°，∴∠QPD＝∠OAP，在△AOP和△PDQ中，，∴△AOP≌△PDQ（AAS），∴AO＝PQ＝2，∴OP﹣DE＝OP﹣OQ＝PQ＝OA＝2；（Ⅲ）如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点，则∠HSF＝∠GTF＝90°＝∠SOT，∴四边形OSFT是正方形，∴FS＝FT＝4，∠EFT＝90°＝∠HFG，∴∠HFS＝∠GFT，在△FSH和△FTG中，，∴△FSH≌△FTG（AAS），∴GT＝HS，又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣4，﹣4），∴OT═OS＝4，∴GT＝﹣4﹣m，HS＝n﹣（﹣4）＝n+4，∴﹣4﹣m＝n+4，∴m+n＝﹣8．6．解：（1）在Rt△ABC中，tan A＝＝＝，由题意得，AP＝3t，在Rt△APQ中，tan A＝＝，∴PQ＝AP＝4t，根据勾股定理得，AQ＝＝＝5t．当0＜t≤时，如图1所示：CQ＝AC﹣AQ＝6﹣5t；当＜t≤时，如图2所示：CQ＝AQ﹣AC＝5t﹣6；故答案为：6﹣5t或5t﹣6；（2）∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ACB，∴＝＝，即＝，解得：t＝，即当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，t为秒．（3）分两种情况：①当0＜t≤时，如图1所示：△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积＝×3t×4t＝6t2；即S＝6t2（0＜t≤）；②当＜t≤时，如图2所示：由（1）得：PQ＝3t，PQ＝4t，AQ＝5t，同（2）得：△CDQ∽△PAQ，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝（5t﹣6），∴△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积﹣△CDQ的面积＝×3t×4t ﹣×（5t﹣6）×（5t﹣6）＝﹣t2+t﹣；即S＝﹣t2+t﹣（＜t≤）；（4）由（1）知，AQ＝5t，PQ＝4t，CQ＝6﹣5t或CQ＝5t﹣6，当CQ＝PQ时，四边形BCQP是轴对称图形，则4t＝6﹣5t，∴t＝；当＜t≤时，设PQ和BC相交于D，当AC＝AP时，四边形ACDP是轴对称图形，则6＝3t，∴t＝2．综上所述，当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，t的值为秒或2秒．7．解：（1）如图，作AB，AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O 为图形G；（2）直线BF与图形G交点只有一个，理由如下：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°，∴BD是直径，∠ADB+∠ABD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠ACB＝∠ADB，∠ABF＝∠ABC，∴∠ABF＝∠ADB，∴∠ABF+∠ABD＝90°，∴∠DBF＝90°，∴BD⊥BF，且OB是半径，∴BF是圆O的切线，∴直线BF与图形G交点的只有一个；（3）∵cos∠ABF＝cos∠ADB＝＝，∴BD＝5，∴AB＝＝＝3，∵∠ABE＝∠ADB，∠BAE＝∠BAD＝90°，∴△ABE∽△ADB，∴，∴∴AE＝，∴DE＝AD﹣AE＝．8．解：（1）∵△ABC是等边三角形，AB＝8，AH⊥BC，∴BC＝AC＝AB＝8，BH＝HC＝4，∠HAC＝30°，∴AH＝HC＝4，∴DH＝4﹣x，∴DC2＝DH2+CH2＝（4﹣x）2+16∵△CDE是等边三角形，＝CD2＝[（4﹣x）2+16]＝x2﹣6x+16（0≤x≤4）∴y＝S△CDE（2）∵当△CDE的面积等于△ABC的面积的，∴x2﹣6x+16＝××64，∴x＝或，当x＝时，即AD＝，如图1，∴DH＝AH﹣AD＝，∵tan∠DCH＝＝＝，∴∠DCH＝30°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCH＝30°，∴∠ACE＝∠DCE+∠ACD＝90°，∴CE⊥AC；当x＝时，即AD＝，如图2，∴DH＝AD﹣AH＝，∵tan∠DCH＝＝＝，∴∠DCH＝30°，∴∠BCE＝∠DCH+∠DCE＝90°，∴CE⊥BC．9．解：（1）∵在△ABC中，AC＝1，AB＝x，BC＝3﹣x．，解得1＜x＜2；（2）①若AC为斜边，则1＝x2+（3﹣x）2，即x2﹣3x+4＝0，无解，②若AB为斜边，则x2＝（3﹣x）2+1，解得x＝，满足1＜x＜2，③若BC为斜边，则（3﹣x）2＝1+x2，解得x＝，满足1＜x＜2，综上，x＝或；（3）在△ABC中，作CD⊥AB于D，设CD＝h，△ABC的面积为S，则S＝xh，①若点D在线段AB上，则+＝x，∴（3﹣x）2﹣h2＝x2﹣2x+1﹣h2，即x＝3x﹣4，∴x2（1﹣h2）＝9x2﹣24x+16，即x2h2＝﹣8x2+24x﹣16．∴S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（≤x＜2），当x＝时（满足≤x＜2），S2取最大值，从而S取最大值；②若点D在线段MA上，则﹣＝x，同理可，得S2＝x2h2＝﹣2x2+6x﹣4＝﹣2（x﹣）2+（1＜x≤），易知此时S＜，综合①②得，△ABC的最大面积为．10．解：（1）由题意PC＝1+t，CQ＝3﹣t，在Rt△PQC中，∵∠C＝90°，PQ＝3，PC＝1+t，CQ＝3﹣t，∴32＝（1+t）2+（3﹣t）2，解得t＝．∴PQ＝3时，t的值为．（2）S＝•PC•CQ＝•（1+t）（3﹣t）＝﹣t2+t+（0≤t≤3）．（3）∵直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分，∴CD＝2PD或PD＝2CD，∴1＝2t或t＝2，解得t＝或2，当t＝时，S＝﹣×++＝，当t＝2时，S＝﹣×4+2+＝，∴t＝s或2s时，直线DQ将△CPQ分成面积比为1：2两部分．11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC﹣AC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AD＝AC，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD＝180°，∠CAD＝90°，∠ABD＝15°，∴∠EBC＝45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE＝x，则EC＝2﹣x．在Rt△CGE中，∠ACB＝60°，∴，，∴BG＝2﹣CG＝1+x，在Rt△BGE中，∠EBC＝45°，∴，解得．所以线段AE的长是．（2）①设∠ABD＝α，则∠BDA＝α，∠DAC＝∠BAD﹣∠BAC＝120°﹣2α．∵AD＝AC，AH⊥CD，∴，又∵∠AEF＝60°+α，∴∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠ACB，又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴，由（1）得在Rt△CGE中，，，∴BE2＝BG2+EG2＝x2﹣2x+4，∴（0＜x＜2）．②当∠CAD＜120°时，y＝7，则有7＝，整理得3x2+x﹣2＝0，解得x＝或﹣1（舍弃），．当120°＜∠CAD＜180°时，同法可得y＝当y＝7时，7＝，整理得3x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣（舍弃）或1，∴AE＝1．12．解：（1）如图1中，过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵A（﹣1，0），B（0，2），∴AO＝BE＝1，OB＝CE＝2，∴OE＝1+2＝3，∴C（﹣2，3），故答案为：﹣2，3；（2）动点A在运动的过程中，c+d的值不变．过点C作CE⊥y轴于E，则∠CEA＝∠AOB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE，∴∠BCE＝∠ABO，在△BCE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS），∵B（﹣1，0），A（0，a），∴BO＝AE＝1，AO＝CE＝a，∴OE＝1+a，∴C（﹣a，1+a），又∵点C的坐标为（c，d），∴c+d＝﹣a+1+a＝1，即c+d的值不变；（3）存在，使△PAB与△ABC全等，如图2中，过C作CM⊥x轴于M，过P作PE⊥x轴于E则∠CMB＝∠PEB＝90°，∵△CAB≌△PAB，∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP，∴∠CBP＝90°，∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°，∴∠MCB＝∠PBE，在△CMB和△BEP中，，∴△CMB≌△BEP（AAS），∴PE＝BM，CM＝BE，∵C（﹣2，3），B（﹣1，0），∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2，即P的坐标是（2，1）．13．解：（1）∵+＝0，又∵≥0，≥0，∴a＝﹣1，b＝1．（2）如图1中，作AM⊥x轴于M，AH⊥y轴于H，在RM上取一点K，使得AK＝KR，连接AK，AO．∵A（﹣1，1），∴AM＝AH＝1，∵AK＝KR，∴∠KRA＝∠KAR＝15°，∴∠AKM＝∠KAR+∠KRA＝30°，∴AK＝KR＝2AM＝2，MK＝，∴MR＝2+，∴AR＝＝＝+，∵B（m，m），∴OB平分∠EOB，∵OA平分∠EOM，∴OA⊥OB，∴∠AOB＝∠ARB＝90°，∴A，O，R，B四点共圆，∴∠BAR＝∠BOR＝45°，∴△ABR是等腰直角三角形，∴AB＝AR＝2+2，∵AH∥MR，∴∠HAR＝∠ARM＝15°，∴∠EA＝30°，∴AE＝＝，∴＝＝．（3）如图，作SH⊥AD于H．由题意四边形ADOC是正方形，∴∠ACD＝45°＝∠CAT+∠ATC，∵∠CAT+∠SAC＝45°，∴∠SAC＝∠ATC，∵∠ASC＝∠TSA，∴△SAC∽△STA，∴＝，∴SA2＝SC•ST，∵CS＝n，CT＝k，CD＝，∴SH＝DH＝（﹣n），AH＝n，∴AS2＝AH2+HS2＝n2+（﹣n）2＝n（n+k），∴k＝（0＜n＜）．14．解：（1）如图1，过A作AC∥x轴，过B作BC⊥AC于C，BC交x轴于E，AC交y轴于D，∵A （﹣3，﹣2），B （2，4），∴△AOB 的面积＝S △ACB ﹣S △AOD ﹣S △BOE ﹣S 长方形ODCE ，＝﹣﹣﹣2×2，＝15﹣3﹣4﹣4，＝4；（2）设直线AB 的解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），则，解得：，∴直线AB 的解析式为：y ＝x +，当x ＝0时，y ＝，∴C （0，），当y ＝0时，x +＝0，解得：x ＝﹣，∴D （，0）；（3）①当点P 在x 轴上时，∵△ABP 的面积为6，∴＝6，∴PD ＝2，如图3，点P 在x 轴的正半轴上，P （，0）；同理得当点P在x轴的负半轴上，P（﹣，0）；②当点P在y轴上时，＝6，∴CP＝，∴P（0，4）或（0，﹣）；综上，点P的坐标是（，0）或（，0）或（0，4）或（0，）．15．解：（1）如图1中，∵A（0，4），∴OA＝4，＝×OB×OA＝8，∵S△AOB∴OB＝4，∵△AOB与△AOC关于y轴对称，∴OC＝OB＝4．（2）如图2中，结论：DG＝GE．理由：作DH∥EC交AC于H．∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∴∠DAH＝∠ACO＝45°，∵DH∥OC，∴∠AHD＝∠ACO＝45°，∴∠DAH＝∠AHD，∴AD＝DH，∵AD＝EC，∴DH＝EC，∵∠DHG＝∠GCE，∠DGH＝∠CGE，∴△DGH≌△EGC（AAS），∴DG＝EG．（3）如图3中，连接DB，DC，作DH∥EC交AC于H．设AD＝DH＝x，则AH＝x，HC＝4﹣x，∵HG＝CG，∴HG＝HC＝2﹣x，∵OA⊥BC，OB＝OC，∴AB＝AC，DB＝DC，∴∠ABC＝∠ACB，∠DBO＝∠DCO，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠CEG＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CEG，∵DH∥CE，∴∠HDG＝∠CEG＝∠DCH，∵∠DHG＝∠DHC，∴△DHG∽△CHD，∴＝，∴＝，解得x＝2，∴AH＝CH＝2，∴H（2，2），∵GH＝GC，∴G（3，1）．16．证明：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，∴△ADC≌△ADH（ASA），∴AC＝AH，DC＝DH，∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，∴HD＝HB，∴BH＝CD，（2）如图2中，作BM⊥AD交AD的延长线于M，连接CM．∵∠ACB＝∠AMB＝90°，∴C，A，B，M四点共圆，∴∠AMC＝∠ABC＝45°，∵∠CEM＝45°，∴∠CEM＝∠CME，∴CE＝CM，∴∠ECM＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCM，∵CA＝CB，CE＝CM，∴△ACE≌△BCM（SAS），∴AE＝BM，∵在Rt∠EMB中，∠MEB＝30°，∵BE＝2BM＝2AE．（3）如图3中，作CH⊥MN于H．∵∠ACB＝∠AMB＝90°，∴C，A，B，M四点共圆，∵CN⊥CM，∴∠NCM＝90°∴∠CNM＝∠CMN，∴CN＝CM，∵CH⊥MN，∴HN＝HM．∵CD＝DB，∠CHD＝∠BMD＝90°，∠ADH＝∠BDM，∴△CHD≌△BMD（AAS），∴DH＝DM，∵HN＝HM，∴DN＝3DM．17．解：（1）①如图1中，作AK⊥CD交CD的延长线于K．∵CD⊥BM，AK⊥CK，∠ACB＝90°，∴∠CHB＝∠K＝90°，∠CBH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠ACK＝90°，∴∠CBH＝∠ACK，∵CB＝CA，∴△CHB≌△AKC（AAS），∴AK＝CH，∵∠CHM＝∠K＝90°，∴MH∥AK，∵AM＝BM，∴CH＝KH，∴AK＝KH，∵∠K＝90°，∴∠AHD＝45°．②如图2中，作AK⊥CD交CD的延长线于K，作CM⊥AB于M．设DH＝CH＝a．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AHD＝45°，∠AHD＝∠ACH+∠CAH，∴∠ACH+∠CAH＝∠CAH+∠DAH，∴∠DAH＝∠ACD，∵∠ADH＝∠CAD，∴△ADH∽△CDA，∴＝，∴＝，∴AD＝a，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴AM＝BM，∴CM＝AM＝BM，设AM＝CM＝BM＝x，在Rt△CMD中，∵CM2＝DM2+CD2，∴x2+（x﹣a）2＝4a2，解得x＝a（负根已经舍弃）．∴BD＝AB﹣AD＝（+）a﹣a＝a，∴＝＝．∵△ADH∽△CDA，∴＝＝，设AH＝m，则AC＝m，AK＝KH＝m，∴tan∠ACK＝＝，∴∠ACH＝30°，∴∠CAH＝∠AHD﹣∠ACH＝45°﹣30°＝15°．（2）作AJ⊥BM交BM的延长线于J．设AM＝CM＝y，则BC＝2yn．∵CH⊥BM，BM＝＝＝•y，∴CH＝＝＝•y，∴HM＝＝•y，∵AJ⊥BJ，CH⊥BJ，∴∠J＝∠CHM＝90°，∵∠AMJ＝∠CMH，AM＝CM，∴△AMJ≌△CMH（AAS），∴AJ＝CH＝•y，HM＝JM＝•y，∵∠BHQ＝∠AHJ，∴tan∠BHQ＝tan∠AHJ＝＝＝n．18．（1）解：如图1中．∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，在△EBC和△DCA中，，∴△EBC≌△DCA（SAS），∴∠BCE＝∠DAC，∵∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠DAC+∠ACE＝60°，∴∠AFE＝60°．（2）证明：如图1中，∵AH⊥EC，∴∠AHF＝90°，在Rt△AFH中，∵∠AFH＝60°，∴∠FAH＝30°，∴AF＝2FH，∵△EBC≌△DCA，∴EC＝AD，∵AD＝AF+DF＝2FH+DF，∴2FH+DF＝EC．（3）解：在PF上取一点K使得KF＝AF，连接AK、BK，∵∠AFK＝60°，AF＝KF，∴△AFK为等边三角形，∴∠KAF＝60°，∴∠KAB＝∠FAC，在△ABK和△AFC中，，∴△ABK≌△AFC（SAS），∴∠AKB＝∠AFC＝120°，∴∠BKE＝120°﹣60°＝60°，∵∠BPC＝30°，∴∠PBK＝30°，∴FP＝CK，∴PK＝CK，∵FP＝FK+PK∴FP＝AF+CF，∵CF＝CP，设CP＝9a，∵CF＝2a，∴FP＝7a，∴AF＝5a，∴＝＝．19．（1）证明：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝60°，∵AE＝BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝EC．②如图1中，∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝∠OCA+∠BAF＝∠BAC＝60°，又∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠AOE＝∠ADC，∵∠AOE+∠AOC＝180°，∴∠ADC+∠AOC＝180°，∴A，D，C，O四点共圆，∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°，∴∠AOD＝∠COD，∴OD平分∠AOC．（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．∵AE＝2CF，AM＝ME，∴AM＝CF，∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA，∴△ACM≌△CAF（SAS），∴∠ACM＝∠CAF，∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF，∴∠CME＝∠CFP，∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM，∴△CME≌△PFC（ASA），∴CE＝PC．20．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．。

北京市中考数学专题突破九：几何综合(含答案)专题突破(九)几何综合在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．2011－2015年北京几何综合题考点对比年份20112012201320142015考点平行四边形的性质、从特殊到一般、构造图形(全等三角形或等边三角形或特殊平行四边形)旋转变换、对称变换、构造全等三角形全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，等腰直角三角形旋转的性质以轴对称和正方形为载体，考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、圆及圆周角定理以正方形为载体，考查了平移作图，利用轴对称图形的性质证明线段相等及写出求线段长的过程1．[2015·北京]在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.(1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)．①依题意补全图(a)；②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明．(2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果．．．．．．．．．)图Z9－12．[2014·北京]在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图Z9－2①；(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．图Z9－23．[2013·北京]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段B D.(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．图Z9－34．[2012·北京]在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ ＝DQ，请直接写出α的范围．图Z9－45．[2011·北京]在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC 于点F.(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．图Z9－51．[2015·怀柔一模]在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图Z9－6①；(2)若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；(3)如图②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．图Z9－62．[2015·朝阳一模]在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上．①依题意补全图(a)；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．图Z9－73．[2015·海淀一模]在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG＝BC；(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：________．图Z9－84．[2015·海淀二模]如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)．(2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.图Z9－95．[2015·西城一模]在△ABC中，AB＝AC，取BC边的中点D，作DE⊥AC于点E，取DE 的中点F，连接BE，AF交于点H.(1)如图Z9－10①，如果∠BAC＝90°，那么∠AHB＝________°，AFBE＝________；(2)如图②，如果∠BAC＝60°，猜想∠AHB的度数和AFBE的值，并证明你的结论；(3)如果∠BAC＝α，那么AFBE＝________．(用含α的代数式表示)图Z9－106．[2015·丰台一模]在△ABC中，CA＝CB，CD为AB边上的中线，点P是线段AC上任意一点(不与点C重合)，过点P作PE交CD于点E，使∠CPE＝12∠CAB，过点C作CF⊥PE交PE的延长线于点F，交AB于点G.(1)如果∠ACB＝90°，①如图Z9－11(a)，当点P与点A重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG全等的一个三角形；②如图(b)，当点P不与点A重合时，求CF PE的值．(2)如果∠CAB＝a，如图(c)，请直接写出CF PE的值．(用含a的式子表示)图Z9－117．[2015·海淀]将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到线段AC，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD，连接CD.(1)连接BD，①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC 的度数为________．②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED ＝90°，求α的值．图Z9－128．[2015·西城二模]正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．(2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立？若成立给出证明；若不成立，说明理由．(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA 上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．图Z9－13参考答案北京真题体验1.解：(1)①如图(a)所示．②AH＝PH，AH⊥PH.证明：连接CH，由条件易得：△DHQ为等腰直角三角形，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP.∵BD为正方形ABCD的对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH.(2)如图(b)，过点H作HR⊥PC于点R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°，∴∠DCH＝17°.设DP＝x，则DR＝HR＝RQ＝1－x 2.由tan17°＝HRCR得1－x21＋x2＝tan17°，∴x＝1－tan17°1＋tan17°.2．解：(1)补全图形如图①所示：(2)如图①，连接AE，则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠EAD＝130°，AE＝AD.∴∠ADF＝25°.(3)如图②，连接AE，BF，BD.由轴对称的性质可得EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ，∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°.∴BF 2＋FD 2＝BD 2.∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.3．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝α，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12α. ∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ，∠DBC ＝60°，∴∠ABD ＝30°－12α. (2)△ABE 是等边三角形．证明：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ，则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°.∴△BCD 为等边三角形．∴BD ＝CD.∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－12α. 在△ABD 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α. ∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－12α)－150°＝12α＝∠BAD.在△ABD 和△EBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠BAD ，∠EBC ＝∠ABD ，BC ＝BD ，∴△ABD ≌△EBC ，∴AB ＝BE .又∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．(3)∵∠BCD ＝60°，∠BCE ＝150°， ∴∠DCE ＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形，∴DC ＝CE ＝BC.∵∠BCE ＝150°.∴∠EBC ＝12(180°－150°)＝15°. ∵∠EBC ＝30°－12α＝15°， ∴α＝30°.4．解：(1)如图①，∵BA ＝BC ，∠BAC ＝60°，M 是AC 的中点，∴BM ⊥AC ，AM ＝MC.∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ，∴AM ＝MQ ，∠AMQ ＝120°， ∴CM ＝MQ ，∠ CMQ ＝60°， ∴△CMQ 是等边三角形，∴∠ACQ ＝60°，∴∠CDB ＝30°.(2)连接PC ，AD ，∵AB ＝BC ，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，∴AD ＝CD ，AP ＝PC.在△APD 与△CPD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，PD ＝PD ，PA ＝PC ，∴△APD ≌△CPD ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∠PAD ＝∠PCD ， ∴∠ADC ＝2∠CDB.又∵PQ ＝PA ，∴PQ ＝PC ，∴∠PQC ＝∠PCD ＝∠PAD ， ∴∠PAD ＋∠PQD ＝∠PQC ＋∠PQD ＝180°，∴∠APQ＋∠ADC＝360°－(∠PAD＋∠PQD)＝180°，∴∠ADC＝180°－∠APQ＝180°－2α，∴2∠CDB＝180°－2α，∴∠CDB＝90°－α.(3)∵∠CDB＝90°－α，且PQ＝QD，∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°－2α.∵点P不与点B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°.5．解：(1)∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F.∴∠CEF＝∠F.∴CE＝CF.(2)∠BDG＝45°.(3)如图，分别连接GB，GE，GC，∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝120°，∴∠ECF＝∠ABC＝120°.∵FG∥CE且FG＝CE，∴四边形CEGF是平行四边形．由(1)得CE＝CF.∴四边形CEGF是菱形，∴GE＝EC，①∠GCF＝∠GCE＝12∠ECF＝60°，∴△ECG与△FCG是等边三角形，∴∠GEC＝∠FCG，∴∠BEG＝∠DCG，②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE ＝∠AEB，∴AB＝BE.在▱ABCD中，AB＝DC，∴BE＝D C.③由①②③得△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∠1＝∠2，∴∠BGD＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC ＝60°，∴∠BDG＝180°－∠BGD2＝60°. 北京专题训练1.解：(1)补全图形，如图①所示．(2)连接AD，如图①.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝30°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AD＝AC，∠DAC＝120°，∴2∠ACE＋120°＝180°.∴∠ACE＝30°.(3)线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．证明：连接AD，EB，如图②.∵点D与点B关于直线AP对称，∴AD＝AB，DE＝BE，可证得∠EDA＝∠EB A.∵AB＝AC，AB＝AD，∴AD＝AC，∴∠ADE＝∠ACE，∴∠ABE＝∠ACE.设AC，BE交于点F，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BAC＝∠BEC＝60°，∴线段AB，CE，ED可以构成一个含有60°角的三角形．2．解：(1)①补全图形，如图(a)所示．②如图(b)，由题意可知AD＝DE，∠ADE ＝90°.∵DF⊥BC，∴∠FDB＝90°.∴∠ADF＝∠ED B.∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠DFB＝45°.∴DB＝DF.∴△ADF≌△EDB.∴AF＝EB.在△ABC和△DFB中，∵AC＝8，DF＝3，∴AB＝8 2，BF＝3 2.AF＝AB－BF＝5 2，即BE＝5 2，(2)2BD＝BE＋AB.3．解：(1)补全图形，如图①所示．(2)方法一：证明：连接BE，如图②. ∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∵∠ADC＝120°，∴∠DCB＝60°.∵AC]是菱形ABCD的对角线，∴∠DCA＝12∠DCB＝30°.∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠DCA＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°，∠EBC＝∠EDC＝100°，∴∠GEB＝∠DEC＋∠BEC＝100°.∴∠GEB＝∠CBE.∵∠FBC＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°. ∴∠EBG ＝∠BEC.在△GEB 与△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEB ＝∠CBE ，BE ＝EB ，∠EBG ＝∠BEC ，∴△GEB ≌△CBE .∴EG ＝BC .方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图②.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°，∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°＝∠BEC .∴BH ＝EH .在△GEH 与△CBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEH ＝∠CBH ，EH ＝BH ，∠EHG ＝∠B HC ，∴△GEH ≌△CBH .∴EG ＝BC .(3)AE ＋BG ＝3EG .4．解：(1)∠ADE ＝90°－α.(2)①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形， ∴AB ∥EF .∴∠EDC ＝∠ABC ＝α.由(1)知∠ADE ＝90°－α，∴∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝90°. ∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD.②证明：∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α， ∴∠C ＝α.∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AE∥BF，AE＝BF.∴∠EAC＝∠C＝α.由(1)知∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2(90°－α)＝2α，∴∠DAC＝α.∴∠DAC＝∠C.∴AD＝CD.∵AD＝AE＝BF，∴BF＝CD.∴BD＝CF.5．解：(1)901 2(2)结论：∠AHB＝90°，AFBE＝32.证明：如图，连接AD.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形．∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴∠1＋∠2＝90°.又∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°.∴∠2＋∠C ＝90°.∴∠1＝∠C ＝60°.设AB ＝BC ＝k (k >0)，则CE ＝12CD ＝k 4，DE ＝34k . ∵F 为DE 的中点，∴DF ＝12DE ＝38k ，AD ＝32AB ＝32k . ∴AD BC ＝32，DF CE ＝32. ∴AD BC ＝DF CE. 又∵∠1＝∠C ，∴△ADF ∽△BCE .∴AF BE ＝AD BC ＝32，∠3＝∠4.又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＋∠6＝90°.∴∠AHB ＝90°. (3)12tan(90°－α2)．6．解：(1)①作图．△ADE (或△PDE )．②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，∴∠CPM ＝∠CAB.∵∠CPE ＝12∠CAB ， ∴∠CPE ＝12∠CPN .∴∠CPE ＝∠FPN . ∵PF ⊥CG ，∴∠PFC ＝∠PFN ＝90°. ∵PF ＝PF ，∴△PFC ≌△PFN .∴CF ＝FN . 由①得：△PME ≌△CMN .∴PE ＝CN .∴CF PE ＝CF CN ＝12. (2)12tan α. 7．解：(1)①30°.②不改变，∠BDC 的度数为30°. 方法一：由题意知AB ＝AC ＝A D.∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BAC ＝30°. 方法二：由题意知AB ＝AC ＝A D. ∵AC ＝AD ，∠CAD ＝α，∴∠ADC ＝∠ABD ＝180°－α2＝90°－12α.∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°＋α，∴∠ADB ＝∠ABD ＝180°－⎝⎛⎭⎫60°＋α2＝120°－α2＝60°－12α. ∴∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝(90°－12α)－(60°－12α)＝30°. (2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM .∴∠AMC ＝90°.在△AEB 与△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AMC ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△AMC.∴AE ＝AM ，∠BAE ＝∠CAM .∴∠EAM ＝∠EAC ＋∠CAM ＝∠EAC ＋∠BAE ＝∠BAC ＝60°.∴△AEM 是等边三角形．∴EM ＝AM ＝AE .∵AC ＝AD ，AM ⊥CD ，∴CM ＝DM .又∵∠DEC ＝90°，∴EM ＝CM ＝DM .∴AM＝CM＝DM.∴点A，C，D在以M为圆心，MC为半径的圆上．∴α＝∠CAD＝90°.8．解：(1)CH＝AB(2)结论成立．证明：如图，连接BE.在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠BCD＝∠ABC ＝90°.∵DE＝DF，∴AF＝CE.在△ABF和△CBE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠BCE ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE .∴∠1＝∠2.∵EH ⊥BF ，∠BCE ＝90°，∴H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上． ∴∠3＝∠2.∴∠3＝∠1.∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC ＝90°， ∴∠4＝∠HB C.∴CH ＝CB.∴CH ＝AB. (3)3 2＋3.。

则D的 y＝172a，
坐标是(172a，172a)，OA 的垂直平分线的解析式是 x＝32a，则 C 的坐标是(32a，32a)，则 k＝
94a2.∵以 CD 为边的正方形的面积为27，∴2(172a－32a)2＝27，则 a2＝2(2015·钦州)如图，在平面直角坐标系中，以点 B(0，8)为端点的射线 BG∥x 轴，点 A 是射线 BG 上一个动点(点 A 与点 B 不重合)，在射线 AG 上取 AD＝OB，作线段 AD 的垂直平分线，垂足为 E，且与 x 轴交于点 F，过点 A 作 AC⊥OA，交直线 EF 于点 C， 连接 OC，CD.设点 A 的横坐标为 t.
点拨：作∠DAE＝∠BAD 交 BC 于 E，作 DF⊥AE 交 AE 于 F，作 AG⊥BC 交 BC 于 G.∵∠C＋∠BAD＝∠DAC，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝EC，∵tan∠BAD＝47，∴设 DF＝ 4x，则 AF＝7x，在 Rt△ADF 中，AD2＝DF2＋AF2，即( 65)2＝(4x)2＋(7x)2，解得 x1＝－1(不 合题意，舍去)，x2＝1，∴DF＝4，AF＝7，设 EF＝y，则 CE＝7＋y，则 DE＝6－y，在 Rt△ DEF 中，DE2＝DF2＋EF2，即(6－y)2＝42＋y2，解得 y＝53，∴DE＝6－y＝133，AE＝236，∴设 DG＝z，则 EG＝133－z，则( 65)2－z2＝(236)2－(133－z)2，解得 z＝1，∴CG＝12，在 Rt△ADG 中，AG＝ AD2－DG2＝8，在 Rt△ACG 中，AC＝ AG2＋CG2＝4 13.故答案为：4 13
5．(2015·乌鲁木齐)如图，在直角坐标系 xOy 中，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴，OOAB＝ 34.∠AOB 的角平分线与 OA 的垂直平分线交于点 C，与 AB 交于点 D，反比例函数 y＝kx的图 象过点 C.当以 CD 为边的正方形的面积为27时，k 的值是( D )