考研概率

1、概念网络图

、协方差、相关系数）数字特征（期望、方差）两大分布（均匀、正态二维随机变量随机事件）数字特征（期望、方差正态）、几何、均匀、指数、、二项、泊松、超几何八大分布（一维随机变量随机事件数字化数字化),(),(),()(10)()()()(yYxXPyxFYXABPxXPxFXAP

一、基本概念总结

假设检验参数估计数分布））（多维随机变量的函四大统计分布（正态数理统计理大数定律和中心极限定Ft,,,2

2、最重要的5个概念

（1）古典概型（由比例引入概率）

例1：3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？

例2：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？

（2）随机变量和随机事件的等价（将事件数字化）

)()(APxXP

)(),(ABPyYxXP

例3：已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

（1） 乙箱中次品件数X的数学期望。 （2） 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

例4：将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数和出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。

（3）分布函数（将概率和函数联系起来）

)()(xXPxF

（4）离散和连续的关系

dxxfxXP)()(

dxdyyxfyYxXP),(),(

例5：见“数字特征”的公式。

（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）

样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。

例6：样本的niiXnX11是已知的，个体（总体）的)(iXE未知，矩估计：X，完成了一个从样本到总体的推断过程。

二、做题的19个口诀（概率16个，统计3个）

1、概率

（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。

例7：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？

例8：设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 。

（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。

例9：玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。

例10：抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？

2335)21()21(C

例11：1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？

例12：某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了)2(nn台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求

（1） 全部能出厂的概率α；

（2） 恰有两台不能出厂的概率β；

（3） 至少有两台不能出厂的概率θ。

（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。

例13：5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？ 2523PP

例14：5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？ 2523CC

（5）“先后放回取”是“二项分布”。

例15：5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？

3225)52()53(C

（6）“直到…才”是“几何分布”。

例16：4黑球，2白球，每次取一个，放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“抽取次数”，求X的分布律。

例17：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开不扔掉，问以下事件的概率？

①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

（7）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。

例18：设X的分布函数F(x)是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。

（8）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。

)()()/()()(BPAPABPAPABP，)()()/()(),(yfxfxyfxfyxfYXX

（9）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。

例19：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中

},1||,1|:|),{(yxyxyxD

求X的边缘密度)(xfX。

（10）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）的积分。

例20：设随机变量（X，Y）的分布密度为

.,0,0,103),(其他xyxxyx

试求U=X-Y的分布密度。

（11）均匀分布用“几何概型”计算。

例21：设随机变量（X，Y）的分布密度为

.,0,0,102),(其他xyxyx

试求P(X+Y>1)。

（12）关于独立性：对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。

例22：设X～e（1），kxkxYk,1,0 （k=1, 2）,求：

（1）),(21YY的分布；

（2）21YY与边缘分布，并讨论他们的独立性；

（3）).(21YYE

例23：如图，f(x,y)=8xy, fX(x)=4x3, fY(y)=4y-4y3，不独立。

y

1

D1

O 1 x

例24：f(x,y)=其他,010,20,2yxAxy,判断X和Y的独立性。

（13）二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y)，由边缘分布来求。

例25：设A，B为两个随机事件,且41)(AP, 31)|(ABP, 21)|(BAP, 令

不发生，，发生，AAX0,1 .0,1不发生，发生，BBY

求

(Ⅰ) 二维随机变量),(YX的概率分布;

(Ⅱ) X和Y的相关系数 XYρ;

(Ⅲ) 22YXZ的概率分布.

（14）相关系数中的E(XY)，对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期望来求。

例26： 连续型随机变量：E(XY)＝dxdyyxxyf),(

（15）使用题：设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y和X的函数关系，再求E(Y)。

例27：设某种商品每周的需求量X服从区间[10，30]上的均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，每处理1单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每1单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量。

（16）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。

X

2、统计

（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。

连续型：),,,;(),,,(11122nimimxfL

离散型：),,,;(),,,(11122nimimxpL

例28：设总体X的概率分别为

21)1(2321022pX

其中θ（0

3， 1， 3， 0， 3， 1， 2， 3

求θ的矩估计值和最大似然估计值。

（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。

例29：设nxxx,,,21是总体的一个样本，试证

（1）;21103513211xxx

（2）;12541313212xxx

（3）.12143313213xxx

都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。

（3）标准正态、t分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，

2、F分布取面积对称的分位数。

三、选择题常考的5个混淆概念

1、乘法公式和条件概率

例30：100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？已知取了一个男生，是棕色头发的概率？

)/()()(ABPAPABP

2、独立和互斥

设A≠ø, B≠ø，则A和B相互独立和A和B互斥矛盾。

例31：对于任意二事件A和B，

（A） 若AB=Φ，则A，B一定不独立。

（B） 若AB=Φ，则A，B一定独立。

（C） 若AB≠Φ，则A，B一定独立。

（D） 若AB≠Φ，则A，B有可能独立。

3、独立和不相关

独立是不相关的充分条件。

(X,Y)为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。

4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布；

也不能推出 X+Y 为一维正态分布。

例32：已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X和Y的相关系数21XY，设.23YXZ

（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；

（2）求X和Z的相关系数XZ；

（3）问X和Z是否相互独立？为什么？

例33：设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则

（A）X和Y一定独立。 （B）（X，Y）服从二维正态分布。

（C）X和Y未必独立。 （D）X+Y服从一维正态分布。

5、几个大数定律的区别

切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。

例34：设{X1,X2,……Xn，……}是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, ……），则随机变量序列{ X1,22X2,……n2Xn，……}：

(A) 服从切比雪夫大数定律。

(B) 服从辛钦大数定律。

(C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。

(D) 既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。

四、解答题常考的6个题型

1、全概和贝叶斯公式

例35：在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求

（1） 该电子元件损坏的概率α；

（2） 该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。

919.040.1885.020.1841.000.1788.080.0726.060.0655.040.0579.020.0530.010.0)(xx

表中Φ（x）是标准正态分布函数。

2、二项分布

例36：设测量误差X~N（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。