当前位置：文档之家 › 2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第12课特征值与特征向量

2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第12课特征值与特征向量

  • 格式：doc
  • 大小：185.50 KB
  • 文档页数：4

第12课 特征值与特征向量

一、考纲要求

1. 掌握二阶段矩阵的特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；

2. 掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义．

3．会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题.

二、知识梳理

【回顾要求】

一、阅读苏教版教材选修4-2中第66——73页，完成以下任务：

1．特征值与特征向量的定义：

设矩阵A＝abcd，如果___________________________________________________，那么称为是矩阵A的一个特征值，而称为____________________的一个特征向量．

2．如果向量是属于特征值的一个特征向量，那么属于特征值的特征向量有_____个，它的一般形式是___ ________,(k∈R且k≠0)．

3．特征多项式：

设A  abcd是一个二阶矩阵，R，()f______________

_ 称为A的特征多项式．

4．设12,是二阶矩阵A的特征多项式的两个不相等的实数根，12,分别为12,对应的特征向量（两者不共线）， 则当任一非零向量12mn，则kA=______________________．

二、在书本上做以下题目：第73页练习的第1题、第3题．

【要点解析】

1.从几何观点分析，特征向量的方向经过变换矩阵A的作用后，保持在同一直线上，>0时方向不变；<0时方向相反；=0时特征向量就被变换成零向量．

2.对于一个二阶矩阵A，不是对任意的一个非零向量都存在一个实数使A.

3.若向量是属于的特征向量，则)0(kk也是属于的特征向量，即特征向量不唯一，但均为共线向量．

4.若特征多项式0)(f无解，则矩阵无特征值．

三、诊断性练习

1教学处理：课前由学生自主完成2道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力．点评时要简洁，要点击要害

2、诊断练习点评

题1. 已知矩阵A的逆矩阵A－1＝－14 34 12－12，求矩阵A的特征值．

【分析与点评】强调矩阵的特征值与特征向量的求解方法

【教学过程处理】：由学生来说明解题的方法与步骤．归纳得到定义法或者是特征多项式的方法

题2. 已知二阶矩阵A有特征值11及对应的一个特征向量111e和特征值22及对应的一个特征向量210e，试求矩阵A．

【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评．

问题1：二阶矩阵特征值，特征向量的定义是什么？

问题2.由特征值、特征向量的定义得到什么关系式？

问题3：二阶矩阵与列矩阵的乘法公式是什么？

【点评】矩阵常与变换相结合在一起，一个是代数形式，一个是几何形式．两者相辅相成，切不可不加联系来解题．

【变式】：求矩阵A的逆矩阵．

问题1.求逆矩阵A1的方法有哪些？一是定义法待定系数，二是使有课本上的公式．

问题2. 本题的逆矩阵A1对应的逆变换是一个什么样的变换？能说出变换前的向量坐标与变换后的向量坐标吗？再思考，逆变换A1的特征值与特征向量与矩阵A的特征值与特征向量有什么关系？

问题3.求逆矩阵A1的过程可以与求A的过程一样的．

四、范例导析

例1已知Ryx,，向量11是矩阵01yxA的属于特征值2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．

【教学处理】可让学生板演，教师点评．

【引导分析与精讲建议】

问题1：能通过特征值、特征向量的定义求出yx,的值吗？

问题2：矩阵A确定了，其特征值、特征向量是否确定？

问题3：求矩阵M的特征值及其对应的特征向量两种方法用哪种？为什么？

【说明】1 利用特征多项式求解特征值与特征向量的方法与步骤

2 向量的特征值与特征向量方便计算在矩阵多次变换下的结果．

例2：已知a，bR，矩阵A13ab所对应的变换TA将直线230xy变换为自身． （1）求实数a，b的值； （2）A的特征值与特征向量（3）计算213A．

【教学处理】要求学生独立思考并解题，学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评．

【引导分析与精讲建议】

问题1： 本题中将直线变换为自身的是什么变换？

问题2： 如何求特征值与对应的特征向量？

问题3：对于二阶矩阵A，它的特征值分别为12,，其对应的特征向量分别为12,，若当非零向量12mn，则kA=________________

【说明】 1、熟练掌握特征值、特征向量的定义及求已知矩阵的特征值、特征向量；

2、理解特征值、特征向量的意义和作用．向量的特征值与特征向量方便计算在矩阵多次变换下的结果．

【变式】 100A怎么求

例3：已知矩阵cM1 2b有特征值41及其对应的一个特征向量321

（1） 求矩阵M；

（2） 求曲线148522yxyx在M作用下的新曲线方程；

【教学处理】要求学生独立思考并解题，学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评．

【引导分析与精讲建议】

问题1.由特征值、特征向量的定义得到什么关系式？

问题2.二阶矩阵与列矩阵的乘法公式是什么？

问题3.要求新曲线方程其本质是求什么？

问题4.新曲线上点坐标与原曲线上点坐标有什么关系？此种求解方法实际上就是解析几何求轨迹的什么方法？

五、解题反思

1三道例题围绕着矩阵的特征值特征向量展开．求特征值特征向量方法是定义法与利用特征多项式的方法．利用特征值和特征向量求矩阵用待定系数的方法．利用特征值与特征向量可以方便计算矩阵的多次变换结果．

2 注意几何变换，矩阵以及矩阵的特征值与特征向量三者之间的关系，知道其中的一方面就能求出其他两个方面．

合集下载

江苏省2014届高考数学(文)三轮专题复习考前体系通关训练：倒数第3天

江苏省2014届高考数学(文)三轮专题复习考前体系通关训练：倒数第3天

1 倒数第3天 附加题选做部分

[保温特训]

1．如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：

(1)∠AED＝∠AFD；

(2)AB2＝BE·BD－AE·AC.

证明 (1)连接AD.

因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.

又EF⊥AB，∠EFA＝90°，

则A，D，E，F四点共圆．

所以∠AED＝∠AFD.

(2)由(1)知，BD·BE＝BA·BF.

连接BC，显然△ABC∽△AEF，

所以ABAE＝ACAF，

即AB·AF＝AE·AC，

所以BE·BD－AE·AC＝BA·BF－AB·AF＝AB(BF－AF)＝AB2.

2．如图，圆O的直径AB＝4，C为圆周上一点，BC＝2，过C作圆O的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆O交于点D，E，求线段AE的长．

解 在Rt△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°，

因为l为过点C的切线，所以∠DCA＝∠ABC＝60°.

又因为AD⊥DC，所以∠DAC＝30°.

连接OE，在△AOE中，

因为∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，

所以AE＝AO＝12AB＝2.

2 3．求矩阵2 11 2的特征值及对应的特征向量．

解 特征多项式f(λ)＝λ－2 －1 －1 λ－2＝(λ－2)2－1＝λ2－4λ＋3

由f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3，

将λ1＝1代入特征方程组，得 －x－y＝0，－x－y＝0⇒x＋y＝0，

可取 1－1为属于特征值λ1＝1的一个特征向量；

同理，当λ2＝3时，由 x－y＝0，－x＋y＝0⇒x－y＝0，

所以可取11为属于特征值λ2＝3的一个特征向量．

综上所述，矩阵2 11 2有两个特征值λ1＝1，λ2＝3；

属于λ1＝1的一个特征向量为 1－1，属于λ2＝3的一个特征向量为11.

毕业论文-矩阵的特征值与特征向量的相关研究【范本模板】

毕业论文-矩阵的特征值与特征向量的相关研究【范本模板】

本科毕业设计（论文）

( 2015届 )

题 目： 矩阵的特征值与特征向量的相关研究

学 院: 数理与信息工程学院

专 业： 数学与应用数学

学生姓名： 学号:

指导教师： 职称：

合作导师: 职称：

完成时间: 201 年 月 日

成 绩:

浙江师范大学本科毕业设计（论文)正文

目 录

摘要……………………………………………………………………………………1

英文摘要………………………………………………………………………………1

1 引言……………………………………………………………………………… 1

2 选题背景以及特征值与特征向量的定义与性质 ………………………………2

2. 1 选题背景……………………………………………………………………2

2。 2 特征值与特征向量的定义…………………………………………………2

2. 3 特征值与特征向量的性质 ……………………………………………… 2

3 矩阵的特征值与特征向量的求解方法………………………………………… 3

3。 1 求解数字方阵的特征值与特征向量………………………………………3

3。 2 已知矩阵A的特征值与特征向量， 求与A相关的矩阵的特征值………7

4 矩阵的特征值与特征向量的反问题的求解…………………………………… 7

2022年高考数学(理)一轮复习教师用书：第十二章 坐标系与参数方程 Word版含答案

2022年高考数学(理)一轮复习教师用书：第十二章 坐标系与参数方程 Word版含答案

第1课时 坐标系

1．平面直角坐标系

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ： x′＝λ·x λ＞0，y′＝μ·y μ＞0的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：  x＝ρcos

θy＝ρsin θ，或 ρ2＝x2＋y2，tan θ＝yxx≠0.

这就是极坐标与直角坐标的互化公式．

3．常见曲线的极坐标方程

曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r(0≤θ＜2π)

圆心为(r,0)，半径为r的圆

ρ＝2rcos_θ

－π2≤θ＜π2

圆心为r，π2，半径为r的圆

ρ＝2rsin_θ

(0≤θ＜π)

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α(ρ∈R)

或θ＝π＋α(ρ∈R)

过点(a,0)，与极轴垂直的直线

ρcos θ＝a

－π2＜θ＜π2

过点a，π2，与极轴平行的直线 ρsin_θ＝a

(0＜θ＜π)

考点一 极坐标与直角坐标的互化

[例1] (1)把点M的极坐标－5，π6化成直角坐标；

2017数学二真题

2017数学二真题

2017数学二真题 正保考研教育网

一、选择题（每小题4分，共32分）

（1）若函数21cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（ ）。

A. 12ab

B. 12ab

C. 0ab

D. 2ab

【答案】A

【解析】由连续的定义可知：-00lim()lim()(0),xxfxfxf其中-0(0)lim()xffxb，

20001()1cos12lim()limlim2xxxxxfxaxaxa，从而12ba，也即12ab，故选A.

【试题点评】本题考查函数的连续性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第一章函数、极限、连续和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（2）设二阶可导函数()fx满足(1)(1)1,(0)1fff，且''()0fx，则（ ）。 正保考研教育网 正保考研教育网

【答案】D

【解析】limsin)sinnnxxxaa（，而要使sin0aa，只有a=0，故D正确。

【试题点评】本题考查级数收敛性。此知识点在冲刺阶段的数学冲刺串讲班中第一部分高等数学有重点讲解，在强化阶段数学强化班高等数学第九章级数和强化阶段数学重点题型精讲班也均有涉及。

（4）微分方程'''2481cos2xyyyex的特解可设为ky（ ）。

A. 22cos2sin2xxAeeBxCx

B. 22cos2sin2xxAxeeBxCx

C. 22cos2sin2xxAexeBxCx

D. 22cos2sin2xxAxexeBxCx

【答案】C

【解析】齐次方程的特征根为22ri，原方程可分解为两个非齐次方程：2''4'8xyyye和2''4'8cos2xyyyex，可知第一个方程的特解为2xAe，第二个方程的特解为2(cos2sin2)xxeBxCx，故选C.