苏教版选修22高中数学1.2.1导数的运算同步检测
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1word版本可编辑.欢迎下载支持. §1.2 导数的运算
1.2.1 常见函数的导数
课时目标 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．
1．几个常用函数的导数：
(kx＋b)′＝______(k，b为常数)；
C′＝______ (C为常数)；
(x)′＝______；
(x2)′＝______；(x3)′＝______；
1x′＝________；(x)′＝________.
2．基本初等函数的导数公式：
(xα)′＝________(α为常数)
(ax)′＝________ (a>0，且a≠1)
(logax)′＝1xlogae＝______ (a>0，且a≠1)
(ex)′＝______ 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
2word版本可编辑.欢迎下载支持. (ln x)′＝______
(sin x)′＝________
(cos x)′＝________
一、填空题
1．下列结论不正确的是________．(填序号)
①若y＝3，则y′＝0；
②若y＝1x，则y′＝－12x；
③若y＝－x，则y′＝－12x；
④若y＝3x，则y′＝3.
2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；②sin π3′＝cos π3；③若y＝1x2，则f′(3)＝－227.其中正确的有______个．
3．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 010(x)＝________.
4．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为__________．
5．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝5t，则质点在t＝4时的速度为__________．
6．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________.
7．曲线y＝cos x在点Aπ6，32处的切线方程为__________________．
8．曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是__________．
二、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝log4x3－log4x2；
(2)y＝2x2＋1x－2x；
(3)y＝－2sin x22sin2 x4－1.
10.已知曲线y＝x2上有两点A(1,1)，B(2,4)．求：
(1)割线AB的斜率kAB；
(2)在[1,1＋Δx]内的平均变化率；
(3)点A处的切线斜率kAT；
(4)点A处的切线方程． 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
3word版本可编辑.欢迎下载支持. 能力提升 11．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：
p(t)＝p0(1＋5%)t，
其中p0为t＝0时的物价，假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)
1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式．
2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．
答 案
知识梳理
1．k 0 1 2x 3x2 －1x2 12x
2. (xα)′＝αxα－1(α为常数)
(ax)′＝axln_a (a>0，且a≠1)
(logax)′＝1xlogae＝1xln a (a>0，且a≠1)
(ex)′＝ex 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
4word版本可编辑.欢迎下载支持. (ln
x)′＝1x
(sin
x)′＝cos_x
(cos
x)′＝－sin_x
作业设计
1．②
解析
y′＝1x′＝(x－12)′＝－12x－32＝－12xx.
2．1
解析 直接利用导数公式．
因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin π3＝32，而32′＝0，所以②错误；
1x2′＝(x－2)′＝－2x－3，则f′(3)＝－227，
所以③正确．
3．－sin x
解析 f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)＝cos x，
f2(x)＝f′1(x)＝－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－cos x，
f4(x)＝f′3(x)＝sin x，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，
2 011＝4×502＋3，所以f2 010(x)＝f2(x)＝－sin x.
4．(－1，－1)或(1,1)
解析 y′＝3x2，∵k＝3，∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．
5.110523
解析 s′＝155t4.
当t＝4时，s′＝15·1544＝110523.
6．2x
解析 ∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，
∴f(x)＝x2，f′(x)＝2x.
7．x＋2y－3－π6＝0
解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
∴k＝－sin π6＝－12，
∴在点A处的切线方程为y－32＝－12x－π6，
即x＋2y－3－π6＝0.
8.12，14
解析 设切点坐标为(x0，x20)，
则tan π4＝f′(x0)＝2x0，∴x0＝12.
∴所求点为12，14. 文档从网络中收集，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.
5word版本可编辑.欢迎下载支持. 9．解 (1)∵y＝log4x3－log4x2＝log4x，
∴y′＝(log4x)′＝1xln 4.
(2)∵y＝2x2＋1x－2x＝2x2＋1－2x2x＝1x.
∴y′＝1x′＝－1x2.
(3)∵y＝－2sin
x22sin2 x4－1
＝2sin x21－2sin2 x4
＝2sin x2cos x2＝sin x.
∴y′＝(sin x)′＝cos x.
10．解 (1)kAB＝4－12－1＝3.
(2)平均变化率ΔyΔx＝1＋Δx2－1Δx＝2Δx＋Δx2Δx＝2＋Δx.
(3)∵y′＝2x，∴k＝f′(1)＝2，
即点A处的切线斜率为kAT＝2.
(4)点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
11．解 ∵p0＝1，∴p(t)＝(1＋5%)t＝1.05t.
根据基本初等函数的导数公式表，有
p′(t)＝(1.05t)′＝1.05t·ln 1.05.
∴p′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨
