高中数学人教A版必修二课件：4.2.1圆与直线的位置关系

§4.2.1直线、圆的位置关系

学习目标

1．理解直线与圆的几种位置关系；

2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；

3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

学习过程

一、课前准备

（预习教材P126~ P128，找出疑惑之处）

1．把圆的标准方程222()()xaybr整理为圆的一般方程 .

把22220(40)xyDxEyFDEF整理为圆的标准方程为 .

2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？

4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？

二、新课导学

※ 学习探究

新知1：设直线的方程为:0laxbyc，圆的方程为22:0CxyDxEyF，圆的半径为r，圆心(,)22DE到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

⑴当rd时，直线l与圆C相离；

⑵当rd时，直线l与圆C相切；

⑶当rd时，直线l与圆C相交；

新知2：如果直线的方程为ykxm，圆的方程为222()()xaybr，将直线方程代入圆的方程，消去y得到x的一元二次方程式20PxQxR，那么：⑴当0时，直线与圆没有公共点；

⑵当0时，直线与圆有且只有一个公共点；

⑶当0时，直线与圆有两个不同的公共点；

※ 典型例题

例1 用两种方法来判断直线3460xy与圆22(2)(3)4xy的位置关系.

例2 如图2,已知直线l过点5,5M且和圆22:25Cxy相交,截得弦长为45,求l的方程

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直线与圆的位置关系

【一】、圆的定义及其方程．

（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）

（2）圆的标准方程：)0()()(222rrbyax；圆心),(ba，半径为r；

圆的一般方程：)04(02222FEDFEyDxyx；圆心)2,2(ED，半径为FED42122；

【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）

设),(00yxP与圆222)()(rbyax；若P到圆心之距为d；

①P在在圆C外22020)()(rbyaxrd；

②P在在圆C内22020)()(rbyaxrd；

③P在在圆C上22020)()(rbyaxrd；

【三】、直线与圆的位置关系：

设直线0:CByAxl和圆222)()(:rbyaxC，圆心C到直线l之距为d，由直线l和圆C联立方程组消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：

相离0rd；相切0rd；相交0rd；

注意：这里用d与r的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

【四】、两圆的位置关系：

（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。

（2）几何法：设圆1O的半径为1r，圆2O的半径为2r

①两圆外离2121||rrOO；

②两圆外切2121||rrOO； ====Word行业资料分享--可编辑版本--双击可删====

直线与圆的位置关系》教学设计

（人教A版高中课标教材数学必修2第四章4.2节）

一、教学内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心编著）必修2中第四章《圆与方程》第二节“直线、圆的位置关系”的第一课时，它是在学生已经掌握“直线的方程”和“圆的方程”的基础上，进一步研究直线与圆的位置关系．

17世纪初期，笛卡尔发明了坐标系，人们开始在坐标系的基础上，用代数方法研究几何问题．上一章，我们学习了直线与方程．知道在直角坐标系中，直线可以用方程表示，通过方程，可以研究直线间的位置关系，直线与直线的交点等问题．本章在上一章的基础上，将继续用坐标法探究圆的几何特征，建立它的方程，通过方程研究它的简单性质，并用坐标法解决一些与圆有关的简单几何问题和实际问题，如直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，进一步让学生感受数形结合的基本思想方法，形成用代数方法解决几何问题的能力．

解析几何是数学的一个重要分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系．本节课将研究直线与圆的位置关系，它的核心内容是如何借助直线的方程和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，通过学习让学生掌握两种判断方法．一种方法，根据学生初中学习直线与圆相交、相切、相离的定义的基础上，将直线的方程与圆的方程联立方程组，通过讨论方程组的解的不同情况来判断．本方法主要突出坐标法的思想且具有一般性，可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中．另一种方法，根据学生初中学习的直线与圆三种位置关系的判定，即利用圆心到直线的距离与半径比较．该方法，涉及到把点与坐标、直线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合．需要特别指出的是：该方高效课堂 法属圆的个性范畴，不能推广．通过分析不难看出，“直线与圆的位置关系”起到了承上启下的重要作用．

直线与圆的位置关系这一内容，蕴含着丰富的数学思想．首先，直线与圆的位置这一几何特征，是通过点的坐标和直线、圆的方程来研究，体现了数形结合的思想方法．这在学习直线的方程、圆的方程时，学生已经接触过，结合本节课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的研究过程来看，由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．再有，通过具体例子判断直线与圆的位置关系，来归纳总结判断直线与圆位置关系的方法，充分体现了由特殊到一般的思想方法．

1 高中数学人教新课标A版必修2 第四章 圆与方程 4.2.1直线与圆的位置关系

选择题

直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是（ ）

A.相离

B.相交

C.相切

D.不确定

【答案】B

【解析】当a＝0时，直线y＝0显然与该圆相交；当a≠0时，圆心（0,0）到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝ （半径），也与该圆相交．

故答案为：B。分a为零和a不为零两种情况来讨论。

选择题

已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（ ）

A.x2＋y2－2x－3＝0

B.x2＋y2＋4x＝0 2 C.x2＋y2＋2x－3＝0

D.x2＋y2－4x＝0

【答案】D

【解析】设圆心为（a,0）（a＞0），则 即a＝2，∴圆C的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.

故答案为：D。

由直线与圆相切的性质可以求出圆的方程。

选择题

圆心坐标为（2，－1）的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为

，那么这个圆的方程为（ ）

A.（x－2）2＋（y＋1）2＝4

B.（x－2）2＋（y＋1）2＝2

C.（x－2）2＋（y＋1）2＝8

D.（x－2）2＋（y＋1）2＝16

【答案】A

【解析】圆心到直线的距离 ，圆的半径

，

∴圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝4.

所以答案是：A。

选择题 3 已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y＋10＝0上任意一点，点A关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a的值为（ ）

A.10

B.－10

C.－4

D.4

【答案】B

【解析】通过配方可得圆C的标准方程为（x＋ ）2＋（y＋2）2＝ ，由题意，可知直线x＋2y－1＝0过圆心C（－ ，－2），∴－ －4－1＝0，∴a＝－10.又a＝－10时， ＞0，∴a的值为－10，

所以答案是：B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识，掌握圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，以及对圆的一般方程的理解，了解圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．