《二次函数》知识点梳理与总结

九年级《二次函数》知识梳理与总结

考点1、二次函数的概念

定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.

注意点：

（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。

（2）当b=c=0时，二次函数2axy是最简单的二次函数。

（3）二次函数cbacbxaxy,,(2是常数，)0a自变量的取值为全体实数 （cbxax2为整式）

典型例题：

例1： 函数y=（m＋2）x22m＋2x－1是二次函数，则m= ．

例2：已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时， 是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数．

例3：函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）

A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠n

C．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数

例4： 下列函数中是二次函数的有（ ）

①y=x＋x1；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=21x＋x．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点2、三种函数解析式：

（1）一般式： y=ax2+bx+c（a≠0）， 对称轴：直线x=ab2

顶点坐标：( abacab4422， )

（2）顶点式：khxay2（a≠0），

对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h,k ）

（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,

对称轴:直线x=22x1x

(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).

例1：抛物线822xxy的顶点坐标为 ；对称轴是 。

例2：二次函数y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是

例3：已知函数2)(22xmmmxy的图象关于y轴对称，则m＝________；

例4：抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点坐标是______ __.

例5：把方程x（x+2）=5（x-2）化为一元二次方程的一般形式后a=( ),b=( ),c=( )

例6：

考点3、用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.

例1：一个二次函数的图象顶点坐标为（-5，1），形状与抛物线y=2x2相同，这个函数解析式为______ _

_____．

例2：已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。

例3：已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。

例4：已知二次函数的图像与x轴的2个交点为（1，0），（2，0），并且过（3，4），求该二次函数的解析式。

考点4.二次函数的图象

1、二次函数 cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.

2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③ 2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.

注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到

3、二次函数cbxaxy2的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是：

(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；

(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；

(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.

典型例题：

例1：函数y=x2的顶点坐标为 ．若点（a，4）在其图象上，则a的值是 ．

例2：若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m= ．

例3：函数y=x2与y=－x2的图象关于 对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕

旋转得到．

例4：若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为 ．

例5：．函数y=x2的图象的对称轴为

，与对称轴的交点为

，是函数的顶点．

例6：点A（21，b）是抛物线y=x2上的一点，则b= ；点A关于y轴的对称点B是 ，它在函数 上；点A关于原点的对称点C是 ，它在函数 上．

例7：若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？

例8：如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（ ）

A．y=3 B．y=6 C．y=9 D．y=36

考点5.二次函数的性质

函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标

2axy

当0a时

开口向上

当0a时

开口向下 0x（y轴） （0,0）

kaxy2 0x（y轴） (0, k)

2hxay hx (h,0)

khxay2 hx (h,k)

cbxaxy2 abx2 (abacab4422，)

注：常用性质：

1、开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；

当a<0时，函数开口方向向下；

2、增减性：

当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；

当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；

3、最大或最小值： 当a>0时，函数有最小值，并且当x=ab2 ， y最小 ＝abac442

当a<0时，函数有最大值，并且当x=ab2

， y最大 ＝abac442

典型例题：

例1：抛物线的顶点在y轴上，则m的值为______________。

例2：按要求求出下列二次函数的解析式：

（1）形状与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，－3）的 抛物线的解析式；

（2）与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式；

（3）对称轴是y轴，顶点的纵坐标是，且经过（1，1）点的抛物线的解析式。

例3： 已知函数

（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；

（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；

（3）观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大；

（4）观察图象：当x为何值时，y>0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y<0。

例4：已知二次函数，根据下列给出的条件求出相应的k的值。

（1）抛物线的顶点在x轴上；

（2）抛物线的顶点在y轴上；

（3）抛物线的顶点在y=4x上。

考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。

①a的符号决定抛物线的开口方向

②对称轴平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.

③顶点决定抛物线的位置.

几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

典型例题

例1： 函数在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）

例2： (2009年四川省内江市)抛物线3)2(2xy的顶点坐标是（ ）

A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）

例3：（2009年桂林市、百色市）二次函数2(1)2yx的最小值是（ ）．

A．2 B．1 C．－3 D． 23

例4：(2009年上海市)抛物线22()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（ ）

A．()mn， B．()mn， C．()mn， D．()mn，

例5：（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）

考点8.抛物线cbxaxy2中a、b、c的作用

1、a决定抛物线的开口方向和开口大小 A． B． C． D． 1111xo yyo xyo xxo ya的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上；

当a<0时，函数开口方向向下；

a的大小决定抛物线的开口大小：当a越大时，开口越小；

当a越小时，开口越大；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=ab2）

左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。

②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。

注意点：①0b时，对称轴为y轴；

②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；

③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.

3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同）

当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：

注意点：①0c，抛物线经过原点;

②0c,与y轴交于正半轴；

③0c,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 0ab.

典型例题

例1： 已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，则（ ）

A. a>0，b<0，c=0

B. a<0，b<0，c=0

C. a<0，b<0，c<0

D. a>0，b>0，c=0

例2：在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线的图象只可能是图中的（ ）